基本初等函数习题

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绝密★启用前

xxx 学校 2013-2014 学年度 6 月月考卷

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx
题号 得分 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息\r\n2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明
评卷人 得分

一、选择题(题型注释)

1.若 x ? (??,1) ,则函数 y ? A.最小值 1

x2 ? 2 x ? 2 有( 2x ? 2

) C.最大值 ?1 D.最小值 ?1

B.最大值 1

答案及解析:
1.C

2.△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则△ABC 是(
2 2 2

) D.不确定

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

答案及解析:
2.D

3.下列函数中,在 (0, ??) 上单调递减,并且是偶函数的是 A. y ? x 2 B. y ? ? x 3 C. y ? ? lg | x | D. y ? 2 x

答案及解析:
3. C 四个函数中,是偶函数的有 A,C ,又 y ? x 在 (0, ??) 内单调递增,故选 C .
2

4.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1,若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________. 答案及解析:
4.-1
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5.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( A.y=cos 2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0

)

D.y=x3+1,x∈R 答案及解析:
5.B 略

6.设 a=log0.32,b=log0.33,c=20.3,d=0.32,则这四个数的大小关系是( A.a<b<c<d C.b<a<c<d 答案及解析:
6.B 略 7.函数 f ( x) ? lg x ? ( A) (0,2)

)

B.b<a<d<c D.d<c<a<b

2 ? x 的定义域是(
(B)[0,2]

) . (C) [0, 2) (D) (0, 2]

答案及解析:
7.D 略 8.在下列函数中,最小值为 2 的是( A. y ? x ? ) B. y ? sin x ?

1 x

1 ? (0 ? x ? ) sin x 2
?x

C. y ? lg x ?

1 (1 ? x ? 10) lg x

D. y ? 3 ? 3
x

答案及解析:
8.D

9.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图 1 所 示,则下列结论中一定成立的是( )

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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答案及解析: A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2)

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第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明
评卷人 得分

二、填空题(题型注释)
10.已知函数 f ( x) ?

2 ? sin x ,则 f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? 2 ?1
x



答案及解析:
10. 5 ∵ f ( x) ? f (? x) ?

f (0) ? 1 ,∴ f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? 5 .

11.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ 答案及解析:
11.-2 略

1 ,则 f(-1)=________. x

12.设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a,2a] 上的最大值与最小值之差为

1 ,则 a ? _____ 2

答案及解析:
12.4

? 1 x 1 ? ( ) , ?1 ? x ? 0 13.若函数 f ( x) ? ? 4 则 f( )? 2 x ? 0 ? x ?1 ?4 ,
答案及解析:
13.2

14.

?(
0

1

1? x2 ?

1 x)dx ? 2



答案及解析:

? ?1 14. 4

15.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取得极大值,则 a 的取 值范围是________.
答案第 4 页,总 13 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

2 2 2 2 x ?1 ? sin x ? ? sin x ? ? ? 2 ,且 2x ? 1 2? x ? 1 2x ? 1 1 ? 2x

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答案及解析:
15.(-1,0) 略 评卷人 得分

三、解答题(题型注释)
16.(本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足条件 S8 ? 36, a3 ? 3 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? 值范围.

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

1 1 1 ?1 ? ? ? ... ? ,若对任意正整数 n ? N * , log 2 ? x 2 ? x ? ? bn ? 0 恒成立,求 x 的取 an an ?1 a2 n 4 ? ?

答案及解析:
16. (1)设 an ? a1 ? (n ? 1)d

8? 7 ? d ? 36 ? S8 ? 8a1 ? 2 则? 解得: a1 ? 1, d ? 1 ? a ? a ? 2 d ? 3 1 ? 3
(2)∵ bn ?

∴ an ? n

1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? an an ?1 a2 n n n ? 1 2n

∴ bn?1 ? bn ?

1 1 1 ? ? 2n ? 2 2n ? 1 n

1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?? ? ? ??? ??0 ? 2n ? 2 2n ? ? 2n ? 1 2n ?
∴ ?bn ? 为递减数列 ∴ bn max ? b1 ? ?

1 1 3 ? 1 2 2

?1 ? ∵ log 2 ? x 2 ? x ? ? bn ? 0 恒成立 ?4 ? 3 ?1 ? ∴ log 2 ? x 2 ? x ? ? bn max ? 4 2 ? ?

3 1 2 x ? x ? 22 ? 2 2 4

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∴ x2 ? 4 x ? 8 2 ? 0 解得: x ? ?2 ? 2 1 ? 2 2 或 x ? ?2 ? 2 1 ? 2 2 17.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? x ( a ? R ) (1)当 0 ? a ?

1 5 时, f (sin x) ( x ? R ) 的最大值为 ,求 f ( x ) 的最小值; 4 2

(2)对于任意的 x ? R ,总有 f (sin x cos x) ? 1 ,试求 a 的取值范围。

答案及解析:
17. (1)由 0 ? a ?

1 1 5 5 ? ?1 ,故当 sin x ? 1 时 f (sin x) 取得最大值 ,即 f (1) ? a ? 1 ? ,所以 知? 4 2 2a 4 1 1 1 a ? ,所以 f ( x) ? x 2 ? x ? ( x ? 2) 2 ? 1,所以 f ( x) 的最小值为 ?1 。 4 4 4

(2)对于任意的 x ? R ,总有 f (sin x cos x) ? 1 ,

1 1 1 sin 2 x ? [? , ] , 2 2 2 1 1 则命题转化为:任给 t ? [ ? , ] ,不等式 f (t ) ? 1 , 2 2
令 t ? sin x cos x ? 当 t ? 0 时, f (t ) ? 0 满足 f (t ) ? 1 ;

1 1 1 1 1 1 2 1 ? ? ( ? ) ? 对于任意的 t ? [? , 0) (0, ] 恒成立; 2 2 2 t t t 2 4 1 1 1 1 1 2 1 由 t ? [? , 0) (0, ] 得 ? ( ??, ?2] [2, ?? ) ,所以 ( ? ) ? ? 2 , 2 2 t t 2 4 1 1 1 1 2 1 所以要使 a ? 2 ? ? ( ? ) ? 恒成立,则有 a ? 2 。 t t t 2 4 18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a , b, c ,∠A、∠B、∠C 的大小成等差数列,
当 t ? 0 时,有 a ? 且b ? 3 (1)若 a ? 1 ,求∠A 的大小; (2)求△ABC 周长的取值范围.

答案及解析:
18. (1)∵A,B,C 成等差 ∴ A ? B ? 2C ? ? ? C 解得 C ?

?
3

, A? B ?

2? 3

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又∵

1 a b ? ? , a ?1,b ? 3 ∴ sin A sin A sin B

3 3 2

∴ sin A ?

1 2

又∵ 0 ? A ?

2? ? ∴ A? 3 6
3 3 2 ?2

(2)∵

c a b ? ? ? sin C sin A sin B

∴ c ? 2sin C , a ? 2sin A 设周长为 y,则 y ? a ? c ? b ? 2sin A ? 2sin C ? 3

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? 2sin A ? 2sin C ? 3

?? ? ? 2sin A ? 2sin ? A ? ? ? 3 3? ?
? 2sin A ? 2sin A cos

?
3

? 2cos Acsin

?
3

? 3

? 3 ? 1 ? 2 3? sin A ? cos A ? ? 2 ?? 3 2 ? ? ? 3 ? 1 ? 2 3? sin A ? cos A ? ? 2 ?? 3 2 ? ?

?? ? ? 2 3 sin ? A ? ? ? 3 6? ?
∵0? A?

2? 3



?
6

? A?

?
6

?

5? 6



1 ?? ? ? sin ? A ? ? ? 1 2 6? ? ? ?

∴ 2 3 ? 2 3 sin ? A ?

??

?? 3 ?3 3 6?

∴周长的取值范围是 2 3,3 3 ? ? 19.(本小题满分 10 分)在等比数列 ?an ? 中, a2 ? , a5 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? log 9 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
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?

1 3

1 81

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答案及解析:
19. (1)设 an ? a1q
n ?1

n ?1 ? 1 ?a2 ? a1q ?1? 则? ,解得 a1 ? 1, q ? ∴ an ? ? ? 4 3 ? 3? ? ?a5 ? a1q

?1? (2) bn ? log9 an ? log9 ? ? ? 3?

n ?1

1? n ? ? n? 0 ? ? 2 1? n 2 ? n?n ? ? T ? ? ∴ n 2 2 4

20.已知函数 f(x)=2x+k· 2-x,k∈R. (1)若函数 f(x)为奇函数,求实数 k 的值; (2)若对任意的 x∈[0,+∞)都有 f(x)>2-x 成立,求实数 k 的取值范围. 答案及解析:
20.

【解】

(1)∵f(x)=2x+k· 2-x 是奇函数,

∴f(-x)=-f(x),x∈R, 即 2-x+k· 2x=-(2x+k· 2-x), ∴(1+k)+(k+1)· 22x=0 对一切 x∈R 恒成立, ∴k=-1. (2)∵x∈[0,+∞),均有 f(x)>2-x, 即 2x+k· 2-x>2-x 成立, ∴1-k<22x 对 x≥0 恒成立, ∴1-k<(22x)min, ∵y=22x 在[0,+∞)上单调递增, ∴(22x)min=1, ∴k>0. ∴实数 k 的取值范围是(0,+∞).
略 21.设函数 f ( x) ? a ? a (a ? 0且a ? 1) .
x ?x

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性;
2 (2)若 f ?1? ? 0 ,试判断函数 f ( x ) 的单调性.并求使不等式 f x ? tx ? f ? 4 ? x ? ? 0

?

?

对一切 x ? R 恒成立的 t 的取值范围;
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(3)若 f ?1? ? 求 m 的值.

3 , g ? x ? ? a2 x ? a?2 x ? 2mf ? x ? 且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 , 2

答案及解析: 21.(1) f ( x ) 的定义域为 R ,关于原点对称,

f (? x) ? a? x ? a x ? ? f ( x) ,? f ( x) 为奇函数。
(2) f ( x) ? a x ? a ? x (a ? 0且a ? 1),

…………4 分

? f (1) ? 0,? a ?

1 ? 0, 又a ? 0, 且a ? 1,? 0 ? a ? 1 a
…………6 分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

故 f(x)在 R 上单调递减

2 不等式化为 f x ? tx ? f ? x ? 4 ? , ? x2 ? tx ? x ? 4,即x2 ? (t ?1) x ? 4 ? 0恒成立

?

?

? = ? t ? 1? ? 16 ? 0 ,解得 ?3 ? t ? 5
2

…………9 分

(3)

f (1) ?

3 1 3 1 ,? a ? ? , 即2a 2 ? 3a ? 2 ? 0, ? a ? 2或a ? ? (舍去) …………10 分 2 a 2 2
2

? g ? x ? ? 22 x ? 2?2 x ? 2m ? 2 x ? 2? x ? ? ? 2 x ? 2? x ? ? 2m ? 2 x ? 2? x ? ? 2

令t ? f ? x ? ? 2x ? 2? x ,由(1)可知 f ? x ? ? 2x ? 2? x 为增函数
x ? 1,? t ? f ?1? ? 3 , 2

略 22. (本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x) ? x2=4. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f ( x) 的值域。.

x2 (a, b 为常数) 且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3, ax ? b

答案及解析:
22.
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? 9 ? ?9 ? ? 3a ? b (1)将 x1=3, x2=4 代人方程 f(x)-x+12=0 得 ? ? 16 ? ?8 ? 4a ? b ?
得 a ? ?1, b ? 2 ,∴

f ( x) ?

x2 , ( x ? 2) 2? x

x2 (2 ? t ) 2 4 (2)令 t ? 2 ? x ,则 x ? 2 ? t , t ? 0 ,∴ f ( x) ? ? ?t ? ?4 2? x t t
∵ ? (t ) ? t ?

∴函数 f ( x) 的值域为 (??, ?8] [0, ??)
2 23.(本题 12 分)已知 y ? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,当 x ??0, ??? 时, f ( x) ? x ? 2 x .

(l)写出函数 y ? f ( x) 的解析式: (2)若方程 f ( x) ? a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围

答案及解析:
23.

答案第 10 页,总 13 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

4 ? 4 在 (??, ?2) 递增, (?2, 0) 递减; (0, 2) 递减, (2, ??) 递增 t

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24.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2e x ? ( x ? a ) 2 ? 3 , a ? R . (1)若函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线与 x 轴平行,求 a 的值; (2)若 x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

答案及解析:
24. (1) f ?( x) ? 2(e ? x ? a )
x

………2 分

因为 y ? f ( x) 在 x ? 0 处切线与 x 轴平行,即在 x ? 0 切线斜率为 0 即 f ?(0) ? 2(a ? 1) ? 0 , ∴ a ? ?1 .
x

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

………5 分
x x

(2) f ?( x) ? 2(e ? x ? a ) , 令 g ( x) ? 2(e ? x ? a ) ,则 g ?( x) ? 2(e ? 1) ? 0 , 所以 g ( x) ? 2(e ? x ? a ) 在 ? 0, ?? ? 内单调递增, g (0) ? 2(1 ? a )
x

(i)当 2(1 ? a ) ? 0 即 a ? ?1 时, f ?( x) ? 2(e ? x ? a ) ? f ?(0) ? 0 , f ( x) 在
x

?0, ?? ? 内单调递增,要想 f ( x) ? 0 只需要 f (0) ? 5 ? a 2 ? 0 ,解得
? 5 ? a ? 5 ,从而 ?1 ? a ? 5
x

………8 分

(ii)当 2(1 ? a ) ? 0 即 a ? ?1 时,由 g ( x) ? 2(e ? x ? a ) 在 ? 0, ?? ? 内单调递增知, 存在唯一 x0 使得 g ( x0 ) ? 2(e 0 ? x0 ? a ) ? 0 ,有 e
x x0

? x0 ? a ,令 f ?( x) ? 0 解

得 x ? x0 ,令 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? x0 ,从而对于 f ( x) 在 x ? x0 处取最小值,

f ( x0 ) ? 2e x0 ? ( x0 ? a ) 2 ? 3 ,又 x0 ? e x0 ? a

f ( x0 ) ? 2e x0 ? (e x0 ) 2 ? 3 ? ?(e x0 ? 1)(e x0 ? 3) ,从而应有 f ( x0 ) ? 0 ,即
e x0 ? 3 ? 0 ,解得 0 ? x0 ? ln 3 ,由 e x0 ? x0 ? a 可得 a ? x0 ? e x0 ,有

ln 3 ? 3 ? a ? ?1 ,综上所述, ln 3 ? 3 ? a ? 5 .
1 25.已知函数 f(x)= x3-ax+1. 3

………12 分

(1)求 x=1 时,f(x)取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)在[0,1]上的最小值; (3)若对任意 m∈R,直线 y=-x+m 都不是曲线 y=f(x)的切线,求 a 的取值范围. 答案及解析:
第 11 页,总 13 页


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25.

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 习题2.1》_18
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