第39讲 数学归纳法


第 39 讲 数学归纳法 1.(2017 浙江)已知数列 {xn } 满足: x1 ? 1 , xn ? xn?1 ? ln(1 ? xn?1 ) (n ? N* ) . 证明:当 n ? N* 时 (Ⅰ) 0 ? xn?1 ? xn ; xn xn ?1 ; 2 1 1 (Ⅲ) n ?1 ≤ xn ≤ n ? 2 . 2 2 (Ⅱ) 2 xn ?1 ? xn ≤ 2.(2015 湖北) 已知数列 {an } 的各项均为正数,bn ? n (1 ? )n an (n ? N? ) ,e 为自然 对数的底数. (Ⅰ)求函数 f ( x) ? 1 ? x ? e x 的单调区间,并比较 (1 ? )n 与 e 的大小; (Ⅱ)计算 b1 bb bb b bb , 1 2 , 1 2 3 ,由此推测计算 1 2 a1 a1a2 a1a2 a3 a1a2 1 1 n 1 n bn 的公式,并给出证明; an (Ⅲ)令 cn ? (a1a2 an ) n , Tn ? eSn . 数列 {an } , {cn } 的前 n 项和分别记为 Sn , Tn , 证明: 3.(2014 江苏)已知函数 f ( x) ? sin x ( x ? 0) ,设 f ( x) 为 f ( x) 的导数, n ? N . ? 0 (Ⅰ)求 2 f ? ? ? f ? 的值; 1 ? 2? 2 2 ?2? x n n?1 (2)证明:对任意的 n ? N ,等式 nf ? n?1 ? ? f ? ? 2 成立. ?? 4? 4 ? 4? 2 n 4.(2014 安徽)设实数 c ? 0 ,整数 p ? 1 , n ? N * . (Ⅰ)证明:当 x ? ?1 且 x ? 0 时, (1 ? x) p ? 1 ? px ; (Ⅱ)数列 ?an ?满足 a1 ? c , an?1 ? 1 1 p p ?1 c 1? p an ? an , p p 证明: an ? an?1 ? c p . 2 5.(2014 重庆)设 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2an ? 2 ? b(n ? N *) (Ⅰ)若 b ? 1 ,求 a2 , a3 及数列 {an } 的通项公式; 1 (Ⅱ)若 b ? ?1 ,问:是否存在实数 c 使得 a2n ? c ? a2n?1 对所有 n ? N * 成立?证明 你的结论. 6.(2012 湖北)(Ⅰ)已知函数 f ( x) ? rx ? xr ? (1 ? r ) ( x ? 0) ,其中 r 为有理数,且 0 ? r ? 1. 求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:设 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数. 若 b1 ? b2 ? 1 ,则 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 ; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法 证明你所推广的命题. ..... 注:当 ? 为正有理数时,有求导公式 ( x? )? ? ? x? ?1 . 7.(2011 湖南)已知函数 f ( x) ? x3 , g ( x) ? x ? x . (Ⅰ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点个数,并说明理由; (Ⅱ)设数列{ an }( n ? N * )满足 a1 ? a (a ? 0) ,f (an?1 ) ? g (an ) , 证明: 存在常数 M , 使得对于任意的 n ? N * ,

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