2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科数学试题及解答(WORD版)

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工农医类)
本试卷第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 4 页,共 150 分,考试用时 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。 3.考试结束后,监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知向量 a=( 3 ,1) 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a ?b= 3 ,则 b= ,b

A.(

3 1 , ) 2 2

B.(

1 3 ) , 2 2

C.(

1 3 3 ) D.(1,0) , 4 4

2.若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列,c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a= A.4 B.2 C.-2 D.-4 3.若Δ ABC 的内角 A 满足 sin2A=

2 ,则 sinA+cosA= 3
C.

A.

15 3

B. -

15 3

5 3

D.-

5 3

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x A.(-4,0) ? (0,4) B.(-4,-1) ? (1,4) C.(-2,-1) ? (1,2) D.(-4,-2) ? (2,4)
4.设 f ( x) ? lg 5.在 ? x ?

? ?

1 ? ? 的展开式中, x 的幂的指数是整数的项共有 3 x?

24

A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项 6.关于直线 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,有下列四个命题: 1 ○若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; 2 ○若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; 3 ○若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ;

4 ○若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n 。 其中真命题的序号式 A.○○ 1 2 B.○○ 3 4 C.○○ D.○○ 1 4 2 3

7. 设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA ,且 OQ?AB =1,则 P 点的轨迹方程是 A. 3x2+ C.

??? ?

??? ?

???? ??? ?

3 2 y =1 (x>0,y>0) 2

B.3x2D.

3 2 y =1(x>0, y>0) 2

3 2 2 x -3y =1(x>0,y>0) 2

3 2 2 x +3y =1(x>0,y>0) 2

8.有限集合 S 中元素的个数记作 card(S) 。设 A、B 都为有限集合,给出下列命题: ①A ? B= ? 的充要条件是 card(A ? B)=cad(A)+cad(B) ; ②A ? B 的必要条件是 cad(A) ? card(B) ; ③A B 的充分条件是 cad(A) ? card(B) ; ④A=B 的充要条件是 cad(A)=card(B). 其中真命题的序号是 . A.③④ B.①② C. ①④ D. ②③ 9. 已知平面区域 D 由以 A(1,3) 、B(5,2) 、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成. 若在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m= A. -2 B. -1 C. 1 D. 4 2 2 2 10. 关于 x 的方程(x -1) -|x -1|+k=0,给出下列四个命题: ①存在实数 k,使得方程恰有 2 个不同的实根 ②存在实数 k,使得方程恰有 4 个不同的实根 ③存在实数 k,使得方程恰有 5 个不同的实根 ④存在实数 k,使得方程恰有 8 个不同的实根 其中假命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

第Ⅱ卷(非选择题
11. 设 x、y 为实数,且

共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上.

x y 5 ? ? ,则 x+y=_________________. 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i

12. 接种某疫苗后, 出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗, 至少有 3 人出现发热 反应的概率为_______________.(精确到 0.01) 13.已知直线 5x+12y+a=0 与圆 x -2x+y =0 相切,则 a 的值为 __________. 14.某工程队有 6 项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工 程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这 6 项工程的不同排法种数是_____________.(用数字作答)
r 15.将杨辉三角中的每一个数 Cn 都换成分数
2 2

1 ,就 (n ? 1)Cn r

得到一个如右所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形,从 莱布尼茨三角形可看出

1 1 1 , ? ? r x (n ? 1)Cn (n ? 1)C n nCn ?1r
1 1 1 1 ? ? ? ? …+ 3 12 30 60

其中 x=_____________.令 a n =

1 1 ,则 lim an = ___________. ? 2 n ?? nCn ?1 (n ? 1)Cn 2
三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设 函 数 f ? x ? ? a ? (b ? c) , 其 中 向 量 a ? ?sin x, ? cos x ? , b ? ? sin x, ?3cos x ? ,

c ? ? ? cos x,sin x ? , x ? R 。
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)将函数 y ? f ? x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对 称,求长度最小的 d 。

17、 (本小题满分 13 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点, 其导函数为 f ?( x) ? 6 x ? 2 。 数列 ?an ? 的 前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N * ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

m 3 * , Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的 20 an an?1

最小正整数 m。

18、 (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧棱 CC1 上的一点,CP=m, (Ⅰ)试确定 m,使得直线 AP 与平面 BDB1D1 所成角的正切值为 3 2 ; (Ⅱ)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q,使得对任意的 m,D1Q 在平面 APD1 上的射影 垂直于 AP,并证明你的结论。

19、 (本小题满分 10 分) 在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N(70,100) 。已知 成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 名。 (Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人? (Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生,试问设奖的分数约为多少分? 可供查阅的(部分)标准正态分布表 ? x0 ? p ? x ? x0 ? x0 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 1 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 2 0.8888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 3 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 4 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 5 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 6 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 7 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 8 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 9 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

? ?

20.(本小题满分 14 分) 设 A、B 分别为椭圆

x2 x2 ? ? 1 ( a, b ? 0 )的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且 ... a 2 b2

x ? 4 为它的右准线。
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP、BP 分别与椭圆相交于 异于 A、B 的点 M、N,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。 (此题不要求在答题卡上画图)

21.(本小题满分 14 分) 设 x=3 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e3? x ( x ? R) 的一个极值点. (I)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x ) 的单调区间; (II)设 a >0, g ( x) =( a ?
2

25 x ) e .若存在 ?1 , ? 2 ?[0, 4] 使得| f (?1 ) ? g (? 2 ) |<1 成立,求 4

a 的取值范围.

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工农医类)参考答案
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分。 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.C 10.A 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 25 分。 11.4 12.0.94 13.—18 或 8 14.20 15.r+1,

1 2

三、解答题 16.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本 知识,考查推力和运算能力 解: (I)有题意的 f ( x) ? a? b ? c) ? (sin x, ? cos x)? ( (sin x ? cos x,sin x ? 3cos x) = sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x = 2 ? cos 2 x ? sin 2 x
2 2

3 2 sin(2 x ? ? ) 4 2? ?? 故 f(x)的最大值为 2 ? 2 ,最小正周期是 2 3 3? k? 3? ? k? ,即 x ? ? , k ? Z. (II)由 sin(2 x ? ? ) ? 0 得 2 x ? 4 4 2 8
= 2? 于是 d ? (

3? k? k? 3? ? , ?2), d ? ( ? )2 ? 4, k ? z 8 2 2 8

因为 k 为正数,要使 d 最小,则只要 k=1,此时 d ? ( ?

?
8

, ?2) 即为所求

17、本小题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础和基本的运算技能,考 查分析问题的能力和推理能力。 解: (I)依题意可设 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0), 则 f ( x) ? 2ax ? b
2 ` ` 2 由 f ( x) ? 6 x ? 2 得 a ? 3, b ? ?2, 所以 f ( x) ? 3x ? 2 x.

又由点 (n, Sn ) (n ? N *)

均在函数 y ? f ( x) 的图像上得 Sn ? 3n2 ? 2n

2 2 当 n ? 2 时 an ? S n ? S n ?1 ? 3n ? 2n ? ?3(n ? 1) ? 2(n ? 1) ? ? 6n ? 5 ? ?

当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 3 ?12 ? 2 ?1 ? 6 ?1 ? 5 所以 an ? 6n ? 5(n ? N * ) (II)由(I)得 bn ?

3 3 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (6n ? 5) ?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故, Tn ? 因此使得

1 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13 ) ?? ??( 6n ? 5 ? 6n ? 1) ? = ? 2 (1 ? 6n ? 1). 2? ?
1 1 m 1 m (1 ? )? (n ? N * ) 成立的 m 必须且必须满足 ? , 即 m ? 10 2 6n ? 1 20 2 20

故满足最小的正整数 m 为 10 18、 本小题主要考查线面关系、 直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能 力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法1: (1) 连AC, 设AC ? BD ? O,

AP与面BDD1 B1 交于点G,连OG. 因为PC // 面BDD1 B1 , 面BDD1 B1 ? 面APC ? OG,
故 OG // PC 。所以 OG ?

1 m PC ? 。 2 2

又 AO ? DB, AO ? BB1 , 所以AO ? 面BDD1 B1   . 故 ?AGO即为AP与面BDD1 B1 所成的角。

2 1 在 Rt △ AOG中, AGO ? 2 ? 3 2 ,即 m ? . tan m 3 2 1 故当 m ? 时,直线 AP与平面BDD1 B1所成的角的正切值为3 2 。 3
(Ⅱ)依题意,要在 A1 C1 上找一点 Q ,使得 D1 Q ? AP . 可推测 A1 C1 的中点 O1 即为所求的 Q 点。 因为 D1 O1 ? A C1 . D1 O1 ? AA ,所以 D1 Q ? 面ACC1 A . 1 1 1 又 AP ? 面ACC1 A . ,故 D1 O1 ? AP 。 1 从而 D1 O1 在平面AD1 P上的射影与AP垂直。 解法二: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).

???? ? ??? ? BD ? (?1, ?1, 0), BB1 ? (0, 0,1), 所以

??? ? ??? ? AP ? (?1,1, m), AC ? (?1,1,0).

又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0知 AC为平面BB1 D1 D 的一个法向量. 设 AP 与 面BDD1 B1   所成的角为 ? ,

???? ??? ?

? ???? ????

????

??? ???? ? | AP ? AC | 2 ? ???? ? 则 sin ? ? cos( ? ? ) ? ??? 2 | AP | ? | AC | 2 ? 2 ? m2

?

依题意有:

2 2 ? 2 ? m2

?

3 2 1 ? (3 2) 2

,解得 m ?

1 . 3

故当 m ?

1 时,直线 AP与平面BDD1 B1所成的角的正切值为3 2 。 3

(2)若在 A1 C1 上存在这样的点 Q ,设此点的横坐标为 x , 则 Q( x,1 ? x,1), DQ ? ( x,1 ? x,0) 。 1 依题意,对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP。等价于

???? ?

???? ? ??? ????? ? 1 D1Q ? AP ? AP ? D1Q ? 0 ? x ? (1 ? x) ? 0 ? x ? 2
即 Q 为 A1 C1 的中点时,满足题设的要求. 19.本小题主要考查正态分布、对立事件的概念和标准正态分布表的查阅,考查运用概率统 计知识解决实际问题的能力。 解: (1)设参赛学生的分布数为 ? ,因为 ? ? N (70,100) ,由条件知:

P(? ? 90) ? 1 ? P(? ? 90) ? 1 ? F(90)=1 ? ? ( 12 ? 526(人) 0.0228

90 ? 70 ) ? 1 ? ? (2) ? 1 ? 0.9772 ? 0.0228 10

这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28% 因此,参赛总人数约为

(2)假定设奖的分数线为 x 分,则

P(? ? x) ? 1 ? P(? ? x) ? 1 ? F ( x) ? 1 ? ? (
即?(

x ? 70 x ? 70 ) ? 0.9049 ,查表得 ? 1.31 ,解得 x ? 83.1 10 10

x ? 70 50 )? ? 0.0951 10 526

故设奖的分数线约为 83 分. 20.本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进 行推理运算的能力和解决问题的能力。

?a ? 2c ? 解(Ⅰ)依题意得 ? a 2 ? ?4 ?c

解得 ?

?a ? 2 ?c ? 1

从而 b ? 3

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(?2,0), B(2,0), 设 M ( x0 , y0 )

3 2 2 ? M 点在椭圆上,? y0 ? (4 ? x0 ) ① 4
由 P、A、M 三点共线可得 P(4,

又 M 点异于顶点 A、B,??2 ? x0 ? 2 从而 BM ? ( x0 ? 2, y0 ), BP ? (2,

6 y0 ) x0 ? 2

???? ?

??? ?

6 y0 ) x0 ? 2

∴ BM ?BP ? 2 x0 ? 4 ?

???? ??? ? ?

2 6 y0 2 2 2 ? ( x0 ? 4 ? 3 y0 ) x0 ? 2 x0 ? 2



将①式代入②式化简得 BM ?MP ?

???? ???? ?

???? ??? ? ? ?2 ? x0 ? 0, ? BM ?BP ? 0. 于是 ? M BP 为锐角,从而 ?MBN 为钝角,
故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法二:由(Ⅰ)得 A(?2, 0), B(2, 0) .设 P(4, ? )(? ? 0), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 则直线 AP 的方程为 y ?

5 (2 ? x0 ) 2

?
6

( x1 ? 2) ,直线 BP 的方程为 y ?

?
2

( x ? 2) .

? 点 M、N 分别在直线 AP、BP 上,
? y1 ?

?
6

( x1 ? 2), y2 ?

?
2

( x2 ? 2) .从而 y1 y2 ?

?2
12

( x1 ? 2)( x2 ? 2) ③

? ? y ? ( x ? 2) ? ? 6 联立 ? 2 消去 y 得 (27 ? ? 2 ) x2 ? 4? 2 x ? 4(? 2 ? 27) =0 2 ?x ? y ?1 ?4 3 ?
? x1, ?2 是方程的两根,? (?2)?x1 ?
4(? 2 ? 27) 2(27 ? ? 2 ) ,即 x1 ? ④ ? 2 ? 27 ? 2 ? 27

又 BM ? BN ? ( x1 ? 2, y1 )? x2 ? 2, y2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ⑤ ( 于是由③、④式代入⑤式化简可得 BM ?BN ?

???? ??? ? ?

???? ???? ?

5? 2 ( x ? 2) ? 2 ? 27 2

5? 2 ? 0, ? N 点在椭圆上,且异于顶点 A、B,? x2 ? 2 ? 0 又? ? ? 0,? 2 ? ? 27
从而 BM ?BN ? 0

???? ??? ? ?

故 ?MBN 为钝角,即点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 3:由(Ⅰ)得 A(?2, 0), B(2, 0) ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 则 ?2 ? x1 ? 2, ?2 ? x2 ? 2 .又 MN 的中点 Q 的坐标为 ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ?, 2 ? ? 2

? BQ ?
2

x ?x y ? y2 2 1 1 2 MN ? ( 1 2 ? 2) 2 ? ( 1 ) ? ?( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 4 2 2 4? 1 2 2 化简得 BQ ? MN ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ⑥ 4
直线 AP 的方程为 y ?

y1 y ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y ? 2 ( x ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2

? 点 P 在准线 x ? 4 上,
? 6 y1 2 y2 3( x2 ? 2) y1 ,即 y2 ? ⑦ ? x1 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
3 x12 y12 ? ? 1 ,即 y12 ? (4 ? x12 ) 4 4 3
2

又 M 点在椭圆上,?



于是将⑦、⑧式代入⑥式化简可得 BQ ? 从而 B 在以 MN 为直径的圆内。

1 5 2 MN ? (2 ? x1 )( x2 ? 2) ? 0 4 4

21.本小题主要考查函数、不等式和导数的应用知识,考查综合运用数学知识解决问题的能 力.
2 3? x 解: (1) f '( x) ? ? ? x ? (a ? 2) x ? b ? a ? e ? ?

2 3? x 由 f '(3) ? 0 得 b ? ?2a ? 3 所以 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3)e

f ?( x) ? ? ? x 2 ? (a ? 2) x ? 3a ? 3? e3? x ? ?( x ? 3)( x ? a ? 1)e3? x ? ?
令 f ( x) ? 0 得 x1 ? 3, x2 ? ?a ? 1
'

由于 x ? 3 是 f ( x ) 的极值点,故 x1 ? x2 ,即 a ? ?4 当 a ? ?4 时, x1 ? x2 ,故 f ( x ) 在 ? ??,3? 上为减函数,在 ?3, ?a ?1? 上为减函数,在

??a ?1, ??? 上为增函数
当 a ? ?4 时, x1 ? x2 ,故 f ( x ) 在 ? ??, ?a ?1? 上为减函数,在 ? ?a ?1,3? 上为增函数,在

?3, ?? ? 上为减函数.

(2) a ? 0 时,?a ? 1 ? 0 , f ( x ) 在 ?0,3? 上为增函数, ?3, 4? 上为减函数, ?3, ??? 当 故 在 在 上为减函数
3 因此 f ( x ) 在 ? 0, 4? 上的值域为 ? min ? f (0), f (4)? , f (3) ? ? ? ?(2a ? 3)e , a ? 6 ? ? ? ? ?

而 g ( x) ? (a ?
2

25 x 25 25 ? ? )e 在 ?0, 4? 上为增函数,所以值域为 ? a 2 ? , (a 2 ? )e4 ? 4 4 4 ? ?

注意到 (a ?
2

25 1 ? (a ? 6) ? (a ? ) 2 ? 0 , 4 2

? 2 25 3 ?(a ? ? (a ? 6) ? 1, 故由假设知 ? 解得 0 ? a ? 4 2 ?a ? 0. ?
故 a 的取值范围是 (0, )

3 2


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