立体几何解答题

高频考点(2015 年 1 月 10 日) 立体几何解答题 总第 19 次 1. [2014· 北京卷] 如图 15,在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1, E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. 图 15 (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E ? ABC 的体积. 解:(1)证明:在三棱柱 ABC A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC,所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC,所以 AB⊥平面 B1BCC1.所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG. 因为 E,F,G 分别是 A1C1,BC,AB 的中点, 1 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC,EC1= A1C1.因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 2 2 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1,所以四边形 FGEC1 为平行四边形,所以 C1F∥EG. 又因为 EG?平面 ABE,C1F?平面 ABE,所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以 AB= AC2-BC2= 3.所以三棱锥 E ABC 的体积 1 1 1 3 V= S△ABC·AA1= × × 3×1×2= . 3 3 2 3 2.【2014 年湖南卷(理 19) 】 如图 6,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的所有棱长都相等, AC ? BD ? O , A1C1 ? B1 D1 ? O1 , 四边形 ACC1 A1 和四边形 BDD1 B1 均为矩形. (1) 证明: O1O ? 底面 ABCD ; (2)若 ?CBA ? 60 ,求二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值. ? A1 B1 O1 C1 D1 A B 图6 第 1 页 共 10 页 O C D 高频考点(2015 年 1 月 10 日) 立体几何解答题 总第 19 次 解: (1)如图 (a),因为四边形 ACC1 A1 为矩形,所以 CC1 ? AC ,同理 DD1 ? BD . 由题知, OO1 // CC1 , OO1 // DD1 ,所以 OO1 ? AC , OO1 ? BD ,又 AC ? BD ? O , 故 O1O ? 底面 ABCD . (2)解法 1 如图(a),过 O1 作 O1 H ? OB1 于 H ,连接 HC1 . 由(1)知, O1O ? 底面 ABCD ,所以 O1O ? 底面 A1 B1C1 D1 ,于是. O1O ? A1C1 , 又因为四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的所有棱长都相等,所以四边形 A1 B1C1 D1 为菱形, 因此 A1C1 ? B1 D1 ,从而 A1C1 ? 平面 BDD 1 B1 ,所以 A 1C1 ? B1O ,于是 B1O ? 平面 O1 HC1 , 进而 B1O ? HC1 ,故 ?C1 HO1 是二面角 C1 ? OB1 ? D 的平面角. 不妨设 AB ? 2 ,因为 ?CBA ? 60 ,所以 OB ? 3, OC ? O1C1 ? 1 , OB1 ? ? 7, 在 Rt?OO1 B1 中,易知 O1 H ? OO1 ? O1 B1 19 3 2 2 , C1 H ? O1C1 ? O1 H ? , ?2 7 OB1 7 3 OH 2 57 7 2 57 故 cos ?C1 HO1 ? 1 ? ,即二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值为 . ? 19 C1 H 19 19 7 解法 2 因为四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的所有棱长都相等,所以四边形 ABCD 为菱形,因此 AC ? BD , 又 O1O ? 底面 ABCD ,从而 OB , OC , OO1 两两垂直. 2 如图(b),以 O 为坐标原点, OB , OC , OO1 分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间坐标系 O ? xyz . 不妨设 AB ? 2 ,因为 ?CBA ? 60 ,所以 OB ? 3, OC ? 1,于是相关各点的坐标为: ? O(0, 0, 0) , B1 ( 3, 0 , 2) , C1 (0 , 1, 2) ,易知 n1 ? (0 , 1, 0) 是平面 BDD1 B1 的一个法向量, ? ? 3x ? 2 z ? 0 ?n 2 ? OB1 ? 0 设 n2 ? ( x , y , z) 是平面 OB1C1 的一个法向量 ,则 ? ,即 ? ,取 z ? ? 3 ,则 y ? 2 z ? 0 ? ? ?n2 ? OC1 ? 0 x ? 2, y ? 2 3 ,于是 n2 ? (2, 2 3, ? 3) . 设二面角 C1 ? OB1 ? D 的大小为 ? ,易知 ? 为锐角,于是 cos? ?| cos ? n1 , n2 ?| ? | n1 ? n 2 | | n1 |? | n 2 | ? 2 3 19 ? 2 57 2 57 .即二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值为 . 19 19 3.【2014 年山东卷(理 17) 】 如图, 在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是等腰梯形,?DAB ? 60 , AB ? 2CD ? 2 ,M 是 线段 AB 的中点. 第 2 页 共 10 页 高频考点(2015 年 1 月 10 日) 立体几何解答题 D1 A1 C1 B1 总第 19 次 D A C M B (I)求证: C1M / / 平面A1 ADD1 ; (II)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1 = 3 ,求平面 C1 D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值. 解: (Ⅰ)连接 AD1 ? ABCD ? A1B1C1D1 为四棱柱,?C

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