1.3三角函数的诱导公式w


1.3三角函数的诱导公式

探究 给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系? y 公式二
sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα
π +α
O

P(x,y)

α
x

P(-x,-y)

(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系? 公式三
y

sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα

P(x,y)
α
O



x

P(x,-y)

练习

将下列三角函数转化为锐角三角函数,并 填在题中横线上
4 13 ? cos ? ?1? cos ? ? ______; 9 9 ? ? ? ? ? sin 5 ? 3? sin ? ? ? ? ______; ? 5?

? sin1 ? 2 ? sin ?1 ? ? ? ? ______;
? cos 70 16? . ? 4 ? cos ?70 6? ? ______

?

?

?

P27练习 1

(2)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系? 公式四
y

sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα

P(-x,y)
α
O

π- α
α

P(x,y)
x

公式二

sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα

公式三

公式四

α+ k· 2 π( k ∈ Z), -α,π±α的三 角函数值 , 等于 α 的同名函数值 , 前面加上一个 把 α 看成锐角时 原函数值的符 号 .

例1.利用公式求下列三角函数值:
?1? cos 225 ;
?

11? ? 2? sin ; 3
? ? ?

? 16? ? 3? sin ? ? ? 3
?

? ?; ?

? 4 ? cos ? ?2040

?

?.

2 ?1? cos 225 ? cos ?180 ? 45 ? ? ? cos 45 ? ? 2 11? ?? ? 3 ? ? sin ? 4? ? ? ? ? sin ? ? ? 2? sin 3 3? 3 2 ?

16? ?? ?? 3 ? 16? ? ? ? ? ? sin ? 5? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? 3? sin ? ? ? ? ? sin 3 3? 3? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 4 cos ? 2040 ? cos 2040 ? cos 6 ? 360 ? 120 ? ? ? ? ? ?

1 ? ? cos120 ? ? 2
?

利用公式一~四把任意角的三角函数转 化为锐角函数,一般可按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数 用公式 三或一 任意正角的 三角函数 用公式一 锐角三 角函数 用公式 二或四 0~2π的角 的三角函数

函数名不变,符号看象限

练习 利用公式求下列三角函数值:
1 ?1? cos ?420 ? cos ? ?60 ? ? cos 60 ? 2 ? 7 ? ? sin 5 ? ? sin ? ? 1 ? 2 ? sin ? ? ? ? 6 6 2 ? 6 ?
?
? ?

?

?
?

? 3? sin ? ?1300 ? ? sin 140 ? ? sin 40 ? ? 0.6428
5 ? 3 ? 79 ? ? 4 ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? 6 6 2 ? 6 ?

P27练习 2

例2 化简

? ? 解:sin ? -? -180? ? ? sin ? ? 180 ? ? ? ? ? ?

sin ? ?? ? 180 ? ? cos ? ?180 ? ? ?
? ?

cos ?180? ? ? ? ? sin ?? ? 360? ?

.

? ? sin ?180? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? sin ? ? cos ?180? ? ? ? ? ? cos?

? ? cos ? ?180? ? ? ? ? cos ? ? 180 ? ? ? ? ? ?

? cos ? ? sin ? 原式= ?1 sin ? ? ? ? cos ? ?

练习 ? ? 1 sin ? ? 180 cos ? ? sin ? ? ? 180 ? ? ? ? ? 化简 ? ? ? 3 ? 2 ? sin ? ?? ? cos ? 2? ? ? ? tan ? ?? ? ? ?

?1? 原式= ? sin? cos? sin? ? ? sin ? cos?
2

? 2? 原式= ? sin ? cos? tan? ? ? sin ?
3 4

P27练习 3

?

公式五 复习初中知识
sin 30?

? cos60? sin45? ? cos45? sin60? ? cos30?
猜想

即sin 30? ? cos(90? ? 30? ) 即sin 45? ? cos(90? ? 45?) 即sin 60? ? cos(90? ? 60?)

归纳

sin ? ? cos(90? ? ? ) cos ? ? sin(90? ? ? )

公式五
sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin ?

y
?

cos(

?
2

?

?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 2 ?2 ?

由公式四和公式五得

公式六
?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

公式五

?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

公式六

的正弦 2 (余弦)函数值,分 别等于α的余弦 (正弦)函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原函 数值的符号. 公式一~公式六 叫到诱导公式

?

??

? 3? ? 例3 证明 : ?1? sin ? ? ? ? ? ? cos ? ; ? 2 ? ? 3? ? ? 2 ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ? 2 ? ? ? 3? ? ?? ?? ?1? sin ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?? ? 2 ? ?2 ?? ? ? ?? ?? ? sin ?? ? ? ? ? ?? ?2 ?? ?
?? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? cos? ?2 ?

? 3? ? 例3 证明 : ?1? sin ? ? ? ? ? ? cos ? ; ? 2 ? ? 3? ? ? 2 ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ? 2 ?

? ? 3? ? ?? ?? ? 2? cos ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ?? ? 2 ? ?2 ?? ? ?? ? ? ? cos ? ? ? ? ?2 ?
? ? sin ?

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan(? ? k ? 2? ) ? tan ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?
sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin ?

cos(
sin(

?
2

3? ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

奇 变 偶 不 变 , 符 号 看 象 限

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ? sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ? ? sin( ? ? ) ? cos ?
2 2 3? sin( ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? sin ? 2 cos(

?

? ? ) ? ? sin ?

诱导公式总结:
口诀:奇变偶不变,符号看象限 意义:k ? ? ? ? (k ? Z)的三角函数值

2 1 )当k为偶数时,等于?的同名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号; 2)当k为奇数时,等于?的异名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号;

?? ? ? 11? ? sin ? 2? ? ? ? cos ?? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ?? ? ?2 ? ? 2 ?. 例4 化简 ? 9? ? cos ?? ? ? ? sin ? 3? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? sin ? ?? ? ? 2 ? ? ?? ?? ? sin ? ? cos ? ? sin ? cos 5 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? 2 ? ?? ? 原式= ? ?? ?? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? 4? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? sin 2 ? cos ? ? ? cos ? ? ? ? ? ?2 ?? ? = ?? ? ? cos ? sin ? ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 ? ?
? sin ? = ? ? tan ? cos ?

填表:
α sinα cosα tanα
4? ? 3 5? ? 4 5? ? 3 7? ? 4 8? ? 3 11? ? 4

3 2 1 ? 2

2 2 2 ? 2
?1

3 2 1 2

2 2 2 2
1

3 ? 2 1 ? 2

2 ? 2 2 2
?1

? 3

3

3

P28练习 4

将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填 在题中横线上:
2 3 ?1? tan ? = ? tan ? 5 5 ______________________ 5 31 ? 3? tan ? ? ? tan 36 ? _______________________ 36
? ? tan 79 39? ? 2 ? tan100 21? ? __________;
?

? ? tan 35 28? ? 4 ? tan 324 32? ? _________;

?

P28练习 5

?? ? cos ? ? ? ? 化简 ?1? ? 2 ? ? sin ?? ? 2? ? ? cos ? 2? ? ? ? ; ? 5? ? sin ? ?? ? ? 2 ? ?? ? cos ? ? ? ? 2 ? ? ? sin ? ? cos ?? ?1? 原式= ? ? ?? ? sin ? ? ? ? ?2 ?
sin ? = ? sin ? ? cos ? ?? ? cos ?

= sin 2 ?

化简 ? 2 ? cos ? ?? ? ?
2

tan ? 360? ? ? ? sin ? ?? ?

.

tan ? 原式=cos ? ? ? sin ?
2

=cos 2? ?

1 cos ?

1 ? cos3? = cos ?

P28练习 7

小结
三角函数的诱导公式
sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα

?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα

作业

课本习题1.3A组2,3


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