【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第5章 第2节 平面向量基本定理及向量的坐标运算_图文

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第五章
平面向量

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第五章 第二节 平面向量基本定理及向量
的坐标运算

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1

高考目标导航

3

课堂典例讲练

2

课前自主导学

4

课 时 作 业

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高考目标导航

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考纲要求

命题分析

平面向量的坐标表示是通过坐标 运算将几何问题转化为代数问题来 1.了解平面向量的基本 解决.特别地,用坐标表示的平面 定理及其意义. 向量共线的条件是高考考查的重 2.掌握平面向量的正 点,属中低档题目,常与向量的数 交分解及其坐标表示. 量积、运算等交汇命题.注意对转 3.会用坐标表示平面 化与化归、函数与方程思想的考 向量的加法、减法与数乘运 查. 算. 预测2016年高考仍以向量的坐标 4.理解用坐标表示的 运算、向量共线的表示为主要考 平面向量共线的条件. 点,重点考查运算能力与应用能 力,题型以选择、填空为主,或在 解答题中作为工具出现.

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1.平面向量基本定理及坐标表示

(1)平面向量基本定理
定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线 ______ 向量,那么 对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 λ1 ,λ2 ,使 a λ1e1+λ2e2 =______________. 其中,不共线的向量 e1 , e2 叫作表示这一平面内所有向量 基底 . 的一组________

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(2)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直 ________的向量,叫作把向量正交 分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两

个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有
(x,y) 叫作向量a的坐 一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对______ x 叫 a 在 x 轴上的坐标, ______ y (x,y) ,其中 ______ 标,记作 a = ______ 叫a在y轴上的坐标.

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→ → ( x , y ) ②设OA=xi+yj,则______就是终点 A 的 坐 标 , 即 若 OA= (x,y) ,反之亦成立.(O 是坐标原点) (x,y),则 A 点坐标为______

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2.平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算. 向 量 a b a+b a-b λa (λx1, λy1)

坐 标

(x1+x2,y1 (x1-x2,y1 (x1,y1) (x2,y2) +y2 ) -y2 )

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( 2 ) 向 量 坐 标 的 求 法 → 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一 起点 的相应坐标. 终点 的坐标减去______ 个向量的坐标等于其______ ( 3 ) 平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 其 中 b≠0,则 a 与 b 共线?a λb ?______________. x1y2-y1x2=0 =____

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3.平 面 向 量 的 坐 标 运 算 → - , y 2-y1) , ( 1 ) 已 知 点 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=_ _ _(x2 _ _ _ _ x1_ _ _ _ _ _ _ _ _ → ?x2-x1?2+?y2-y1?2 |AB|=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

(x1+x2,y1+y2) ( 2 ) 已 知 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则 a+b=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , (x1-x2,y1-y2) λx λy a-b=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,λa=( _ _ _ _ 1, _ _ _ _ _ 1) _ _ ,a∥b 的 充 要 条 x y2-x_ y 件 是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. 1 2 1=0
( 3 ) 非 零 向 量 a的 单 位 向 量 为

1 ± a | a | _ _ _ _ _ _ .

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1.(教材改编题)下列各组向量中,可以作为基底的是( A.e1=( 0 0 ,) ,e2=(2,-3) B.e1=(2,-3),e2=( 5 7 ,) C.e=(1,-2),e2=(-2,4)
? ? 3? 3? D.e1=?2,2?,e2=?-1,-4? ? ? ? ?

)

[ 答案]
[ 解析]

B
根 据 基 底 的 定 义 知 , 非 零 且 不 共 线 的 两 个 向 量 才

能可以作为平面内的一组基底.A 中显然 e1∥e2;C 中 e2=- 2e1,所以 e1∥e2;D 中 e1=-2e2,所以 e1∥e2.
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→ 2.(文)若 向 量 AB=( 1 2 ,) A.( 4 6 ,) C.(-2,-2)

→ ,BC=( 3 4 ,) D.( 2 2 ,)

→ ,则AC=(

)

B.(-4,-6)

[ 答案]

A

[ 解析]

本 题 考 查 平 面 向 量 的 加 法 , 坐 标 运 算 . +( 3 4 ,) =( 4 6 ,) .

→ → → AC=AB+BC=( 1 2 ,)

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→ (理)若向量BA=( 2 3 ,) A.(-2,-4) C.( 6 1 ,0 )

→ ,CA=( 4 7 ,) B.( 2 4 ,)

→ ,则BC=(

)

D.(-6,-10)

[ 答案]

A

[ 解析]

本 题 考 查 向 量 的 线 性 运 算 . -( 4 7 ,) =(-2,-4).

→ → → → → BC=BA+AC=BA-CA=( 2 3 ,)

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3.(文)(2014·合肥调研)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1), 则a-2b=( A.(7,3) C.(1,7) ) B.(7,7) D.(1,3)

[答案] A
[解析] 依题意得a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).

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(理)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a、3b-
2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c=( A.(4,6) C.(4,-6) [答案] C B.(-4,-6) D.(-4,6) )

[ 解析]

设 c=(x,y),则 4a+(3b-2a)+c=0,
? ?x=4, ∴? ? ?y=-6.

? ?4-6-2+x=0, ∴? ? ?-12+12+6+y=0,

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4 .设向量 a=(m,1) ,b= (1,m) ,如果a 与 b 共线且方向相 反,则m的值为( A.-1 C.-2 ) B.1 D.2 设 a=λb(λ<0),即 m =λ 且1= λm. 解得 m=±1 ,由

[答案] A
[ 解析 ] 于λ<0,∴m=-1.

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5. 若 点 O( 0 , 0),A( 1 2 ,)

→ → → ,B(-1,3),且OA′=2OA,OB′=

→ 3OB,则点 A′的坐标为________,点 B′的坐标为________, → 向量A′B′的坐标为________.

[ 答案]

( 2 4 ,)

(-3 9 ,)

(-5 5 ,)

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[ 解析]

∵O( 0 0 ,)

,A( 1 2 ,)

,B(-1 3 ,) .

→ ∴OA=( 1 2 ,)

→ ,OB=(-1,3), =( 2 4 ,) ,

→ OA′=2×( 1 2 ,)

→ OB′=3×(-1,3)=(-3,9), → A′B′=(-3-2,9-4)=(-5 5 ,) .

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6. 已 知 点

A(1,-2), 若 点 A、B 的中点坐标为( 3 1 ,) λ=________.

→ ,且AB

与向量 a=(1,λ)共 线 , 则 3 [ 答案] 2
[ 解析] → ∴AB=( 4 6 ,)

由 A、B 的中点坐标为( 3 1 ,) ,

可知 B( 5 4 ,)



3 → 又∵AB∥a,∴4λ-1×6=0,∴λ=2.

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平面向量基本定理的应用

(2014· 宜春质检)如图所示,在△ABC 中,H 为 → → → BC 上异于 B, C 的任一点, M 为 AH 的中点, 若AM=λAB+μAC, 则 λ+μ=________.

[ 思路分析] → 示AH.

→ → 由 B,H,C 三点共线可用向量AB,AC来表

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[规 范 解 答 ]

由 B,H,C 三 点 共 线 , 可 令

→ → AH=xAB+(1-

→ x)AC, 又 M 是 AH 的 中 点 , 所 以

→ 1→ 1 → 1 → AM=2AH=2xAB+2(1-x)AC,

1 1 1 → → → 又AM=λAB+μAC.所 以 λ+μ=2x+2(1-x)=2. 1 [ 答案] 2

[ 方法总结] 共 线 向 量 定 理 的 应 用 起

应 用 平 面 向 量 基 本 定 理 表 示 向 量 的 实 质 是 利 着 至 关 重 要 的 作 用 . 当 基 底 确 定 后 , 任

用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、 减或数乘运算, 一向量的表示都是唯一的.
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(文)如 图 , 在 平 行 四 边 形

A B C D

中, → AM

M,N 分别为 DC,BC 的 中 点 , 已 知

→ → → =c,AN=d,试用 c,d 表示AB,AD. → → [ 解析] 设AB=a,AD=B.
因 M,N 分别为 CD,BC 的 中 点 , → 1 → 1 所以BN=2b,DM=2a,

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1 ? ?c=b+2a, 因而? ?d=a+1b 2 ?

2 ? ?a=3?2d-c?, ?? ?b=2?2c-d?, 3 ?

→ 2 → 2 即AB=3(2d-c),AD=3(2c-d).

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(理)如 图 , 在 梯 形 F分 别 为 线 段 为 基 底 表 示 向 量

A B C D

1 中 , AD∥BC, 且 AD=3BC,E, → → BA=a,BC=b, 试 用 a,b

AD 与 BC 的 中 点 . 设 → → → EF,DF,CD.

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[ 解析]

1 1 → → → → EF=EA+AB+BF=-6b-a+2b

1 =3b-a, 1 1 1 → → → DF=DE+EF=-6b+(3b-a)=6b-a, 1 1 2 → → → CD=CF+FD=-2b-(6b-a)=a-3B.

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平面向量的坐标运算

已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4). → → → → → 设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → (3)求 M,N 的坐标及向量MN的坐标.

[ 思路分析 ]

利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起

点、终点坐标的关系求解.

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[规 范 解 答 ]

由 已 知 得

a=(5, -5 ), b=(-6, -3 ), c=( 1 8 ,)



( 1 ) 3 a+b-3c=3 ( 5 ,-5 ) +(-6, -3 ) -3 ( 1 8 ,) =( 1 5 -6-3, -1 5 -3-2 4 ) =(6, -4 2 ) . ( 2 ) ∵mb+nc=(-6m+n, - 3m+8n)=(5,-5 ),
? ?-6m+n=5 ∴? ? - ?-3m+8n= ? -1 ?m= ? ? -1 ?n=

5

, 解 得

.

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→ → → ( 3 ) ∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=( 3 2 ,4 ) ∴M( 0 2 ,0 ). +(-3,-4)=( 0 2 ,0 ) .

→ → → 又∵CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=( 1 2 6 ,) ∴N( 9 2 ,) +(-3,-4)=( 9 2 ,) .

→ ,∴MN=(9,-18).

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[方法总结]

(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘

运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向

量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用.
(2)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量 和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.

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已知 A(1,-2),B( 2 1 ,)

,C( 3 2 ,)

,D(-2,3),

→ → → ( 1 ) 求AD+2BD-3BC; → → → → → ( 2 ) 设CM=3CA,CN=-2BC,求MN及 M、N 点的坐标.

[ 解析]

( 1 ) ∵A(1,-2),B( 2 1 ,)

,C( 3 2 ,)

,D(-2,3),

→ ∴AD=(-2-1,3+2)=(-3,5), → BD=(-2-2,3-1)=(-4 2 ,) , → BC=(3-2,2-1)=( 1 1 ,) ,
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→ → → ∴AD+2BD-3BC =(-3 5 ,) +2 ( -4 2 ,) -3 ( 1 1 ,) =(-3-8-3 5 , +4-3 ) =(-1 4 6 ,) → → → → ( 2 ) ∵CM=3CA,CN= - 2BC, → → → → → → → ∴MN=CN-CM= - 2BC-3CA= - 2BC+3AC, 由 A、B、C、D 点 坐 标 可 得 → ∴MN= -2 ( 1 1 ,) +3 ( 2 4 ,) → AC=( 3 2 ,) . -(1, -2 ) =( 2 4 ,) . .

=( 4 1 ,0 )

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设 M(xM,yM),N(xN,yN). → → 又CM=3CA, → → → → ∴OM-OC=3 ( OA-OC),∴(xM,yM)-( 3 2 ,) =3[ ( 1 , - 2)-( 3 2 ,) ] =(-6, -1 2 ) . ∴xM= - 3,yM= -1 0 ,∴M(-3, -1 0 ) . → → → → → 又CN= - 2BC, 即 ON-OC= - 2BC, ∴(xN,yN)-( 3 2 ,) = -2 ( 1 1 ,) , . ∴xN=1,yN=0,∴N( 1 0 ,)

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平面向量共线的坐标表示

平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c= (4,1),请解答下列问题: (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 D. [ 思路分析] (1)向量相等对应坐标相等,列方程解之.
(2)由两向量平行的条件列方程解之. (3)设出 d=(x,y),由平行关系列方程,由模为 5列方程, 联立方程组求解.
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[规 范 解 答 ]

( 1 ) 由 题 意 得 ( 3 2 ,)

=m(-1 2 ,) +n( 4 1 ,)



5 ? ? ?m=9 ?-m+4n=3 所 以? , 得? ? ?2m+n=2 ?n=8 ? 9 ∵(a+kc)∥(2b-a),

.

( 2 ) a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5 2 ,) , 1 6 ∴2×(3+4k)-(-5 ) ×(2+k)=0,∴k= -1 3.

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( 3 ) 设 d=(x,y),则 d-c=(x-4,y-1),a+b=( 2 4 ,)
? ?4?x-4?-2?y-1?=0 由题意得? 2 2 ? ? x - 4 ? + ? y - 1 ? =5 ? ? ?x=3 解得? ? ?y=-1 ? ?x=5 或? ? ?y=3



, .

,∴d=(3,-1)或 d=( 5 3 ,)

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[方法总结]

(1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全

代数化,将数与形有机的结合.

(2)根据平行的条件建立方程求参数,是解决这类题目的常
用方法,充分体现了方程思想在向量中的应用. 提醒:利用共线向量证明三点共线,有坐标时,只需使三 点构成的两个向量的坐标对应成比例或利用共线向量定理.

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已知 a=( 1 0 ,)

,b=( 2 1 ,)



( 1 ) 当k为 何 值 时 ,

ka-b 与 a+2b 共线;

→ → ( 2 ) 若AB=2a+3b,BC=a+mb 且 A,B,C 三 点 共 线 , 求 m 的值.

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[解 析] +2 ( 2 1 ,) =( 5 2 ,)

( 1 ) ka-b=k( 1 0 ,) .

-( 2 1 ,)

=(k-2, -1 ), a+2b=( 1 0 ,)

∵ka-b 与 a+2b 共 线 , ∴2 ( k-2 ) -(-1 ) ×5=0, 1 即 2k-4+5=0, 得 k= - 2. ( 2 ) ∵A,B,C 三 点 共 线 , ∴存 在 实 数
? ?2=λ, ∴? ? ?3=mλ

→ → λ, 使 AB=λBC, 即 2a+3b=λ(a+mb). 3 , 解 得 m=2.

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向量问题坐标化解题 向量具有代数和几何的双重特征,比如向量运算的平行四

边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从
几何的角度来研究向量的特征;而引入坐标后,就可以通过代 数运算来研究向量,凸显出了向量的代数特征,为用代数的方 法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题 时,坐标化是一种常见的思想,利用坐标可以使许多问题变得 更加简捷.

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→ → 给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB, 它 们 的 2π 夹角为 3 .如 图 所 示 , 点 C 在以 O 为圆心的圆孤AB 上 运 动 . 若



→ → → OC=xOA+yOB,其中 x,y∈R,求 x+y 的最大值.

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[ 规范解答 ] → 点 ,OA所 在 的 直 线 为

以 O 为坐标原 x轴 建 立 平 面 A( 1 0 ,) ,

直 角 坐 标 系 , 如 图 所 示 , 则

1 3 B(-2, 2 ),设∠A O C =α(α∈[0, 2 π 则 C=( c o s α,s n i α), 3 ]),

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→ → → 由OC=xOA+yOB, 1 ? o s α=x-2y ?c 得? 3 ?s n i α= 2 y ?



3 2 3 所 以 x=c o s α+ 3 s n i α,y= 3 s n i α, 所 以 x+y=c o s α+ 3 s n i α=2 s n i( 值2 . π 2 π α+6),又 α∈[0, 3 ], 所 以 当 π α=3时 , x+y 取 得 大

[ 答案]

2
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[方法总结]

本题首先通过建立平面直角坐标系,引入向

量的坐标运算,然后用三角函数的知识求出x+y的最大值.引 入向量的坐标运算使得本题比较容易解决,体现了坐标法解决

问题的优势.

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( 2 0 1 5 ·

南 昌 模 拟 )设 G 为△ABC 的 重 心 , 若

△ABC 所 在 平 面

→ |AP| → → → 内一点 P 满足PA+2BP+2CP=0,则 的值等于________. → |AG|

[ 答案]

2

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[ 解析] 角 形 为 腰 长 为

根 据 题 意 暗 示 结 果 能 得 到 定 值 , 因 此 , 可 以 令 三 3的 等 腰 直 角 三 角 形 (如 图 ), G 的 坐 标 为

则 根 据 重 心 坐 标 公 式 得 重 心 ( 1 1 ,)

→ → → , 根 据 PA+2BP+2CP=0, 可 设 P(x, ,

y) , 则 有 2 ( x-3,y)+2(x,y-3 ) =(4x-6 4 , y -6 ) =(x, y), 所 以 x = 2, y=2, 所 以 P( 2 2 ,) → |AP| 所 以 =2 . → |AG|

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忽视平行四边形的多样性致误 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0), ( 3 0 ,) ,(1,-5),求第四个顶点的坐标.

[ 错解]

设 A(-1,0),B( 3 0 ,)

,C(1,-5),D(x,y).

∵四边形 A B C D → → ∴AB=DC. → 而AB=( 3 0 ,)

是 平 行 四 边 形 ,

-(-1,0)=( 4 0 ,)



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→ DC=(1, -5 ) -(x,y)=(1-x, - 5-y), ∴( 4 0 ,) 解 之 得 =(1-x, - 5-y), 即
? - ?x= ? ? - ?y= ? ?4=1-x, ? ? - 5-y, ?0=

3, 5 .

∴点 D 的 坐 标 为 (-3, -5 ).

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[ 错因分析]

( 1 ) 此 解 错 因 是 思 维 定 势 , 认 为 平 行 四 边 形 只

是 如 图 所 示 中 的 一 种 情 形 , 由 此 在 解 题 构 思 中 丢 掉 了 两 种 情 形 .

( 2 ) 若 平 行 四 边 形 为(-1 ,0 ) ,( 3 0 ,) 可 能 有 ?A B C D 示 .

A B C D

的 三 个 顶 点

A、B、C 的 坐 标 分 别

,(1,-5 ), 求 D 点 坐 标 , 就 只 有 一 种 情 况 , ?A C D 2B、?A C B D 1、 种 情 形 , 如 解 答 中 的 图 所 3三

此 题 目 中 给 出 了 平 行 四 边 形 的 三 个 顶 点 , 并 没 有 规 定 顺 序 , 就

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[正 确 解 答 ] D(x,y).

( 1 ) 如 图 所 示 ,

A(-1 0 ,) ,B( 3 0 ,)

,C(1, -5 ),

若 四 边 形

A B C D

平 行 四 边 形 , 则 1为

→ → AD1=BC,

→ → 而AD1=(x+1,y),BC=(-2, -5 ).
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? ? - 2, - 3, ?x+1= ?x= → → 由AD1=BC, 得? ∴? ? ? -5 . -5 . ?y= ?y=

∴D1(-3, -5 ). ( 2 ) 若 四 边 形 → 而AB=( 4 0 ,) A C D 2B 为 平 行 四 边 形 , 则 → ,CD2=(x-1,y+5 ).
? ?x=5, ∴? ? -5 . ?y=

→ → AB=CD2.

? ?x-1=4, ∴? ? . ?y+5=0

∴D2(5, -5 ).

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( 3 ) 若 四 边 形

A C B D

平 行 四 边 形 , 则 3为 , .

→ → AD3=CB.

→ → 而AD3=(x+1,y),CB=( 2 5 ,)
? ?x+1=2, ∴? ? . ?y=5 ? ?x=1, ∴? ? . ?y=5

∴D3( 1 5 ,)

综 上 所 述 , 平 行 四 边 形 第 四 个 顶 点 的 坐 标 为 -5 ) 或( 1 5 ,) .

(-3, -5 ) 或(5,

第五章

平面向量

走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学

[误区警示] 思想求解.

平行向量与平面几何中两线段平行既有联系

又有区别,在解决此类问题时,要注意画图,利用数形结合的

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平面向量

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一个区别 向量坐标与点的坐标的区别: 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 以 原 点 为 起 点 的 向 量 的位置被向量 a 唯 一 确 定 , 此 时 点 (x,y), 但 应 注 意 其 表 示 形 式 的 区 别 , 如 点 =(x,y). → OA=a,点 A → A(x,y), 向 量 a=OA

A 的坐标与 a 的坐标统一为

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平面向量

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当 平 面 向 量

→ OA平 行 移 动 到

→ O1A1时 , 向 量 不 变 , 即

→ → O1A1=OA

→ =(x,y),但O1A1的 起 点 O1 和 终 点 A1 的 坐 标 都 发 生 了 变 化 . 两 个 防 范 ( 1 ) 要 区 分 点 的 坐 标 与 向 量 坐 标 的 不 同 , 尽 管 在 形 式 上 它 们 完 全 一 样 , 但 意 义 完 全 不 同 , 向 量 坐 标 中 既 有 方 向 也 有 大 小 的 信 息 . ( 2 ) 若 a=(x1,y1),b=(x1,y2),则 a∥b 的 充 要 条 件 不 能 表 x 1 y1 示 成 x =y , 因 为 x2,y2 有 可 能 等 于 2 2 =0 .
第五章 平面向量

0, 所 以 应 表 示 为

x1y2-x2y1

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