甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题

甘肃省天水市秦安县第二中学 2015-2016 学年上学期期中考试

高二年数学(文科)试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 100 分, 考试时间 100 分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷(选择题,共 36 分)
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卡上 . ) .........
1.不等式

1 ? ?1 的解集为 x ?1





A.(-∞,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) C.[0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 1.平面内有一长度为 4 的线段 AB,动点 P 满足|PA|+|PB|=6,则点 P 的轨迹是( A.直线 B.射线 C.椭圆 D.双曲线 2. “m< ”是“方程 x +x+m=0 有实数解”的(
2





A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7,则 a5 等于( ) A. 3 B. 7 C. 10 D. 11 4.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3, 0) ,离心率等于 ,则 C 的方程是( )

A.

B.

C.

D.
2 2

5.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 的面积是( A. ) B. C. D.3

,则△ABC

6.设 m、n 为实数,若 m+n=2,则错误!未找到引用源。的最小值为( ) A. 18 B. 6 C. 2 错误! 未找到引用源。 7.下列命题中正确的是 ( A.函数 y ? x ?

D. 9 )

1 的最小值为 2. x

B.函数 y ?

x2 ? 3 x2 ? 2

的最小值为 2.

C.函数 y ? 2 ? 3x ? D.函数 y ? 2 ? 3x ?

4 ( x ? 0) 的最小值为 2 ? 4 3 . x 4 ( x ? 0) 的最大值为 2 ? 4 3 . x
( )

2 2 2 2 8.在 ?ABC 中,若 b sin C ? c sin B ? 2bc cos B cos C ,则 ?ABC 是

A.等边三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.直角三角形

9.如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心 立即把消息告知在其南偏西 30°,相距 20 海里的 C 处的乙船, 现乙船朝北偏东 ? 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,则

cos ? 等于
A.

( B.



21 7

21 14 21 28

C.

3 21 14

D.

?4 x ? 3 y ? 25 ? 0 ? 10.已知点 O 为直角坐标系原点,P,Q 的坐标均满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 ?x ? 1 ? 0 ?

cos?POQ 取最小值时的 ?POQ 的大小为
A.





? 6

B.

? 4

C.

? 3
2 2

D.
2

? 2

11.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小值为 ( ) A.

3 2

B.

2 2
1 n

C.

1 2

D. ?

12. 已知 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 ,a n ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( 的通项公式为 A. a n ? n ? 1 B. a n ? n

n ?1 ) ? f (1) (n ? N *) , 则数列 ?an ? n
( ) D . an ? n 2

1 2

C. an ? n ? 1

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,将答案写在答题卡上 . ) .........

13.对?x∈R,kx ﹣kx﹣1<0 是真命题,则 k 的取值范围是 _________ . 2 14.若关于 x 的不等式 2x ﹣3x+a<0 的解集为{m,1},则实数 m= _________ . 15.已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率为 ,焦距为 8,则该椭圆的方程是 _________ . 16. 设 F1 和 F2 是双曲线 ﹣y =1 的两个焦点, 点 P 在双曲线上, 且满足∠F1PF2=90°, 则△ F1PF2
2

2

的面积是 _________ .

三、 解答题(本大题共 5 小题,共 48 分)
17. (本小题 8 分)解关于 x 的不等式 x 2 ? x ? a(a ? 1) ? 0 , (a ? R) .

18. (本小题 8 分) (1)若 x ? 0 , y ? 0 , x ? y ? 1 ,求证:

1 1 ? ? 4 .(3 分) x y

(2)设 x , y 为实数,若 x 2 ? y 2 ? xy ? 1 ,求 x ? y 的最大值.(5 分) 19. (本小题 10 分) ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a ? 3 , cos A ?

6 , 3

B ? A?

?
2

.

(1)求 b 的值; (2)求 ?ABC 的面积. 20. (本小题 10 分) 已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an log 1 an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求 S n .
2

? 21.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 2 n?1 n ? N .

?

?

(1)令 bn ?

an ? 1 ,求证:数列 ?bn ?为等比数列; 2n

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)求满足 a n ? 240的最小正整数 n .

高二级期中数学(文科)答案
第 I 卷(选择题)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)
题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 B 5 C 6 B 7 D 8 D

9 B

10 B

11 C

12 C

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 错误!未找到引用源。 到引用源。 15. + =1 16. 14. 错误!未找

1

三、 解答题(本大题共 5 小题,共 48 分)
17. (本小题 8 分)解关于 x 的不等式 x 2 ? x ? a(a ? 1) ? 0 , (a ? R) . 解:∵关于 x 的不等式 x 2 ? x ? a(a ? 1) ? 0 , ∴ ( x ? a)(x ? 1 ? a) ? 0 ,

1 时, x ? a ? 1 或 x ? ?a , 2 1 当 a ? 1 ? ? a ,即 a ? 时, x ? ?a 或 x ? a ? 1 , 2 1 1 当 a ? 1 ? ?a ,即 a ? 时, x ? , 2 2 1 ∴当 a ? 时,原不等式的解集为: {x | x ? a ? 1 或 x ? ?a} , 2 1 当 a ? 时,原不等式的解集为: {x | x ? ?a 或 x ? a ? 1} , 2 1 1 当 a ? 时,原不等式的解集为: {x | x ? , x ? R} . 2 2
当 ? a ? a ? 1 ,即 a ? 18. (本小题 8 分) (1)若 x ? 0 , y ? 0 , x ? y ? 1 ,求证:

1 1 ? ? 4 .(3 分) x y

2 2 (2)设 x , y 为实数,若 x ? y ? xy ? 1 ,求 x ? y 的最大值.(5 分)

(1)证明:∵ x ? y ? 1 , x ? 0 , y ? 0



y x ? 0, ? 0, x y



1 1 x? y x? y ? ? ? x y x y

? 2?

y x y x ? ? 2?2 ? ? 4. x y x y
1 时,等号成立. 2

当且仅当 x ? y ?

(2)解:∵ x 2 ? y 2 ? xy ? 1 ,∴ ( x ? y) 2 ? xy ? 1, 即 ( x ? y) 2 ? 1 ? xy ? 1 ? ? ∴

? x? y? ? (当且仅当 x ? y 时,等号成立). ? 2 ?

2

3 ( x ? y) 2 ? 1 . 4

即?

2 3 2 3 ? x? y ? 3 3
2 3 3 (当 x ? y ? 时,等号成立). 3 3

∴ x ? y 的最大值为

19. (本小题 10 分) ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a ? 3 , cos A ?

6 , 3

B ? A?

?
2

.

(1)求 b 的值; (2)求 ?ABC 的面积. 解: (1)∵ cos A ?

? 6 ,B ? A? , 2 3
3 6 , sin B ? cos A ? , 3 3
3? 6 3 ?3 2 . 3 3

∴ A 必为锐角, sin A ?

a sin B ? 由正弦定理知: b ? sin A

(2)∵ B ? A ?

?
2

,∴ B 为锐角, cos B ? ?

3 , 3

∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 ? 3? 6 6 1 ?? ?? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3
1 1 1 3 ab sin C ? ? 3 ? 3 2 ? ? 2. 2 2 3 2

∴ S ?ABC ?

20. (本小题 10 分)

已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an log 1 an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求 S n .
2

解: (1)设等比数列 ?an ? 的首项 a1 ,公比为 q . 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 可得 a3 ? 8 , a2 ? a4 ? 20 ,∴ ?
2 ? ?a1q ? 8 , 3 ? a q ? a q ? 20 1 ? 1

1 ? ?q ? 2 ?q ? 解之得 ? 或? 2 ,又数列 ?an ? 单调递增, ?a1 ? 2 ? ?a1 ? 32
∴ q ? 2 , a1 ? 2 ,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 n .
(2)∵ bn ? 2 log1 2 ? ?n ? 2 ,
n n n 2

∴ ? Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n ? 2n ,①

? 2S n ?
① - ②,得

1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 .②

Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

2(1 ? 2 n ) ? ? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? n ? 2 n?1 ? 2 1? 2

? (1 ? n)2n?1 ? 2 .
21. (本小题 12 分)解: (1) an?1 ? 4an ? 2 n?1

an ?1 a a ?1 a ?4 n ? 2 ? 2? n ?4 n ?2 n n n ?1 2 2 2 2n a ?1 a ? 2? n ?2?4 n ?2?2 n ?1 2 2n ? a ?1 a ? 2? ( n ? 1) ? 2( n ? 1) n ?1 2 2n an ?1 ?a ? ?1 ? 2? n ? 1? n ?1 n 2 ?2 ?
即 bn?1 ? 2bn ,? 数列 ?bn ?是以 2 为首项以 2 为公比的等比数列; (2)由(1)得 bn ? 2 n ,? an ? 4 n ? 2 n ; -------4 分

----------8 分

n n (3)由 an ? 4 n ? 2 n ? 240 ,得 2 ? 16 ( 2 ? ?15 舍) ,解得 n ? 4 ,

? 满足 an ? 240的最小正整数 n 为 4 .


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