2018版高中数学人教A必修4课件:2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义_图文

新课标导学 2.4 平面向量的数量积 必修四 ·人教版 新课标导学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 必修四 ·人教版 精品导学 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义. 3.掌握平面向量数量积的重要性质及其运算律,并 能运用这些性质与运算律解决有关问题. 数 学 必 修 四 人 教 版 返回导航 · 精品导学 123 1.平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),其中 θ 是 a 与 b 的夹角 记法 记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为 0 投影 |a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的 投影 数 几何 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 学 必 修 意义 θ 的乘积 四 人 教 版 返回导航 · 精品导学 123 名师点拨1.两个向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其 值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当 a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时). 2.向量b在a上的投影不是向量而是数量,如图,即为|b|cos θ,它的 数 学 必 符号取决于θ角的范围. 修 四 3.a·b也等于|b|与a在b的方向上的投影的乘积.其中a在b的方向 人 教 上的投影与b在a的方向上的投影是不同的. 版 返回导航 · 精品导学 123 【做一做 1-1】 若向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°, 则 a·b 等于( ) A. 1 2 B. 3 2 C.1+ 3 2 D. 2 解析:a·b=|a||b|cos 60°= 12. 答案:A 【做一做1-2】 |a|=2,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向 数 量b方向上的投影等于( ) 学 必 A.2 B.120° 修 四 C.-1 D.由向量b的长度确定 人 教 解析:|a|cos 120°=2cos 120°=-1. 版 答案:C 返回导航 · 精品导学 123 2.运算律 交换律 结合律 分配律 a·b=b·a (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) (a+b)·c=a·c+b·c 名师点拨1.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc?a=c.但对于向量的数 量积,该推理不正确,即a·b=b·c a=c. 2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc);但对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)一 数 般不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一 学 必 个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)一般不成 修 四 立. 人 教 版 返回导航 · · 精品导学 123 【做一做2】 有下列各式: ①(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);②a·b=|a|·|b|; ③(a+b)·c=a·c+b·c;④(a·b)c=a(b·c). 其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:①③正确. 答案:C 数 学 必 修 四 人 教 版 返回导航 · 精品导学 123 3.向量数量积的性质 设a,b为两个非零向量,a与b的夹角为θ. 垂直 a⊥b?a·b=0 共线 同向 a·b=|a||b| a·a=a2=|a|2 反向 a·b=-|a||b| 绝对值 |a·b|≤|a||b| a·b>0 θ∈ 0, π 2 数 学 符号 必 a·b=0 θ= π 2 修 四 a·b<0 θ∈ π ,π 2 人 教 版 夹角公式 cos θ= · | || | |a|= · 返回导航 · 精品导学 123 归纳总结1.(a+b)2=a2+2a·b+b2; 2.(a-b)2=a2-2a·b+b2; 3.a2-b2=(a-b)·(a+b). 数 学 必 修 四 人 教 版 返回导航 精品导学 123 【做一做 3-1】在 Rt△ABC 中,A=90°,则 · = . 解析: · = ||||cos A=|| ·||cos 90°=0. 答案:0 【做一做 3-2】 已知|a|=7,则 a·a= . 解析:a·a=|a|2=72=49. 答案:49 【做一做 3-3】 已知|a|=8,|b|=1,a·b=8,则 a 与 b 的夹角 数 θ= . 学 必 修 四 解析:cos θ= · |||| = 1, 又θ∈[0,π],则 θ=0. 人 答案:0 教 版 返回导航 · 精品导学 向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别和 联系 剖析:从运算的定义、表示方法、性质和几何意义上来分析对比. (1)从定义上看,两个向量数量积的结果是一个实数,而不是向量; 向量数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数;两个实 数的积是一个实数. (2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成 a·b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量 积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不 数 学 必 能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的 修 四 写法我们就非常熟悉了. 人 教 版 返回导航 · 精品导学 (3)从运算的性质上看,在向量的数量积中,若a·b=0,则a=0或b=0 或a⊥b;在向量的数乘中,若

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