黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考理科数学试卷(解析版)


黑龙江省哈尔滨市第六中学 2014 届高三 9 月月考理科数学 试卷(解析版)
一、选择题 1.设 A ? {x || x ? 2 |? 3} , B ? {x | x ? t} ,若 A ? C R B ? ? ,则实数 t 的取值范围是( A. t ? ? 1 【答案】C 【解析】 B. t ? ? 1 C. t ? 5 D. t ? 5 )

试 题 分 析 : 因 为 , A ? {x || x ? 2 |? 3} ? {x | ?1 ? x ? 5} , B ? {x | x ? t} , 所 以 ,

CR B? { x| ? x } t ,
而 A ? C R B ? ? ,所以, t ? 5 ,选 C. 考点:集合的运算,绝对值不等式解法. 2.给定下列两个命题: ①“ p ? q ”为真是“ ?p ”为假的必要不充分条件; ②“ ?x ? R ,使 sin x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,使 sin x ? 0 ”.其中说法正确的是( ) A. ①真②假 B.①假②真 C. ①和②都为假 D.①和②都为真 【答案】D 【解析】 试题分析:①中, “ p ? q ”为真,说明, p, q 至少有一为真,但不一定 p 为真,即“ ?p ” 不一定为假;反之, “ ?p ”为假,那么 p 一定为真,即“ p ? q ”为真,命题①为真; 存在性命题的否定是全称命题,所以,②为真,综上知,①和②都为真,选 D. 考点:全称命题、存在性命题,简单逻辑联结词,充要条件. 3.设函数 f ( x) ? ? A. 6 【答案】C 【解析】

?log2 x, x ? 0
?x ?4 ? 1, x ? 0 B. 9

,则 f (1) ? f (? log2 3) 的值为( C. 10

) D. 12

试题分析:因为, f ( x) ? ?

?log2 x, x ? 0
?x ?4 ? 1, x ? 0



所以, f (1) ? f (? log 2 3) ? log 2 1 ? 4 考点:分段函数,指数、对数运算. 4.已知 sin ? ? cos? ?

? ( ? log 2 3)

? 1 ? 2log2 3 ? 1 ? 9 ? 1 ? 10 ,故选 C.

2

5? 2 ) 的值为( ,则 cos( 2? ? 2 3

)

A.

7 9

B. ?

7 9

C. ?

4 2 9

D.

4 2 9

【答案】A 【解析】 试题分析:因为, sin ? ? cos? ?

2 7 2 ,所以,两边平方得, 1 ? sin 2? ? ,sin 2? ? ? , 9 9 3

由诱导公式, cos(2? ?

5? 7 ) ? ? sin 2? ? ,故选 A. 2 9

考点:三角函数诱导公式、倍角公式. 5.由直线 y ? 0, x ? e, y ? 2 x 及曲线 y ? A. 3 ? 2 ln 2 【答案】B 【解析】 试题分析:由定积分的几何意义,由直线 y ? 0, x ? e, y ? 2 x 及曲线 y ?

2 所围成的封闭的图形的面积为( x
2 C. 2e ? 3

)

B. 3

D. e

2 所围成的封闭 x

的图形的面积,实际上就是定积分

? 2 xdx ? ?
0

1

e

1

2 e dx ? x 2 |1 0 ?2 ln x |1 ? 1 ? 2 ? 3 ,故选 B. x

考点:定积分的应用
2 2 6.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? b ?

1 2 a cos B c ,则 的值为 4 c

( )

A.

1 4

B.

5 4

C.

5 8

D.

3 8

【答案】C 【解析】
2 2 试 题 分 析 : 因 为 , a ?b ?

1 2 c , 所 以 , 由 余 弦 定 理 得 , 4

a cos B a a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? b2 ? ? ? ? c c 2ac 2c 2
考点:余弦定理 7.已知函数 f ( x) ? 2 ? P ? 2
x ?x

1 b2 ? c 2 ? c 2 ? b2 5 4 ? ,选 C. 2 2c 8
( )

,则下列结论正确的是

A. P ? 1 , f ( x) 为奇函数且为 R 上的减函数 B. P ? ?1 , f ( x) 为偶函数且为 R 上的减函数 C. P ? 1 , f ( x) 为奇函数且为 R 上的增函数 D. P ? ?1 , f ( x) 为偶函数且为 R 上的增函数 【答案】C 【解析】
x ?x x ? x x 试题分析: P ? 1 时 , f ( x) ? 2 ? P? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

1 ,函数定义域为 R , 且 2x

1 1 x ? x 2 x 增大, x 减小,? x f (? x ) ? 2? x ? 2x ? ? (2 ? 2 )函数为奇函数; , 又随自变量增大, 2 2
增大, 所以,函数为增函数,故选 C. 考点:函数的单调性、奇偶性. 8.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0,?? ? ? ? ? ) ,其部分图 象如图所示,则( )

A. ? ?

?
4

,? ?

?
4

B. ? ?

?
4

,? ? ?

3? 4

C. ? ?

?
2

,? ?

?
4

D. ? ?

?
2

,? ? ?

3? 4

【答案】A 【解析】 试题分析:观察函数的图象知, A ? 1 , T ? 4(3 ? 1) ? 8, ? ?

2? ? ? , T 4
) 代 入 得 ,



f ( x) ? sin(

?
4

x ? ?)









1,1

sin( ? ? ) ? 1, ? ? ? 2k? ? , ? ? 2k? ? , k ? z , 4 4 2 4
但 ?? ? ? ? ? ,所以, ? ?

?

?

?

?

?
4

,故选 A.

考点:函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 图象和性质 9. 若函数 f ( x) 的零点与 g ( x) ? ln x ? 2 x ? 8 的零点之差的绝对值不超过 0.5 , 则 f ( x) 可 以是( ) A. f ( x) ? 3x ? 6 C. f ( x) ? e 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 :
x ?2

B. f ( x) ? ( x ? 4)

2

?1

D. f ( x) ? ln( x ? )

5 2

g ( x) ? ln x ? 2 x ? 8 的 定 义 域 为 (0, ??) , 因 为 ,

g (3) ? ln 3 ? 2 ? 3 ? 8 ? ln 3 ? 2 ? 0, g (4) ? ln 4 ? 2 ? 4 ? 8 ? ln 4 ? 0 ,所以,其零点在区间
(3,4)之间。 考查选项中的函数, f ( x) ? 3x ? 6 与 f ( x) ? e
x ?2

? 1 的零点为 2, f ( x) ? ( x ? 4) 2 为 4,

5 7 f ( x) ? ln( x ? ) 的零点为 ,故与 g ( x) ? ln x ? 2 x ? 8 的零点之差的绝对值不超过 0.5 2 2
的函数 f ( x) 应为 f ( x) ? ln( x ? ) ,选 D. 考点:函数零点存在定理 10.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 cos(A ? C ) ? 1 ? cos B, a ? 2c ,则

5 2

cos 2C 的值为 ( )
A.

1 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

【答案】A 【解析】 试题分析:三角形 ABC 中, B ? ? ? ( A ? C ) ,所以由 cos(A ? C ) ? 1 ? cos B, a ? 2c 及正 弦定理得, cos( A ? C ) ? 1 ? cos( A ? C ),sin A ? 2sin C , 即

cos AcocC ? sin A sin C ? 1 ? cos AcocC ? sin A sin C,sin A ? 2sin C,

sin 2 C ?

1 1 , cos 2C ? 1 ? 2sin 2 C ? ,选 A. 4 2

考点:两角和与差的三角函数 11. 已知 y ? f ( x) 与 g ( x) ? ln x 互为反函数, 若 f (2 x) ? af ( x) ? 1 ? 0 恒成立, 则实数 a 的 取值范围为( A. a ? 2 【答案】A 【解析】
x 试题分析:因为 y ? f ( x) 与 g ( x) ? ln x 互为反函数,所以 f ( x) ? e .

) B. a ? 2 C. ? 2 ? a ? 2 D. a ? ?2

f (2 x) ? af ( x) ? 1 ? 0 恒成立,即 e2 x ? ae x ? 1 ? 0 恒成立, a ? e x ?

1 , ex

x 由基本不等式, e ?

1 ? 2 ,所以, a ? 2 ,选 A. ex

考点:反函数,基本不等式的应用. 12.函数 y ? 和等于( ) A.2 【答案】B 【解析】 试题分析: y ?

x 2 ? x (?3 ? x ? 5) 的图像所有交点的纵坐标之 的图像与函数 y ? 2 cos x ?1 4
B.4 C.6 D.8

x 1 ? 1? c o s 其图象的对称中心为(1,1) ,y?2 x ?1 x ?1

2

?
4

c o sx ? 1

?
2

x?

的周期为 4,图象的对称中心也为(1,1) ,在 ?3 ? x ? 5 时,两函数图象共有 4 个交点,分 别关于点(1,1)对称,所以,所有交点的纵坐标之和等于 4,选 B.

考点:半角公式,三角函数的图象和性质,函数的图象.

二、填空题 13.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 b ? 等于 ____ . 【答案】 2 2 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 , b?

5 , ?B ?

?
4

, tan A ? 2 ,则 a

5 , ?B ?

?
4

,t aA n? 2 , A ? (0, ? ) , 所 以 ,

4?

sin 2 A sin 2 A 2 5 ? ,sin A ? , 2 2 cos A 1 ? sin A 5

由正弦定理得, a ?

b sin A ? sin B

5? sin

2 5 5 ?2 2 .

?

4

考点: ,三角函数同角公式,正弦定理.
2 14 . 已 知 函 数 f ( x) ? 1 ? x , 函 数 g ( x) ? 2a cos(

?
3

x) ? 3a ? 2(a ? 0) , 若 存 在

x1 , x2 ?[0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 ____

【答案】 【解析】

1 ?a?2 2

试 题 分 析 : 当

x ? [0,1] 时 ,

f ( x) ? 1 ? x 2 的 值 域 是 [0,1] ,

g ( x) ? 2a cos(

?
3

x) ? 3a ? 2(a ? 0) 的值域是 [2 ? 2a , 2? a ] ,为使存在 x1 , x2 ?[0,1] 使得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,须 [0,1] ? [2 ? 2a, 2 ? a] ? ? ,
由 [0,1] ? [2 ? 2a, 2 ? a] ? ? 得,1 ? ?2a ? 2 或 2 ? a ? 0 ,解得 a ?

1 或 a ? 2 ,所以,若 2 1 ?a?2. 2

存在 x1 , x2 ?[0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 考点:函数的定义域、值域 15.若 0 ? ? ? 值为 ____ . 【答案】 【解析】 试题分析: 因为,0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,sin(

?
3

??) ?

3 ? ? ? 2 5 ??) 的 , cos( ? ) ? ,则 cos( 5 2 2 3 5

11 5 25

?
2

,0 ? ? ?

?
2

, 所以,?

?
6

?

?
3

?? ?

?
3

,?

?
3

?

?
2

?

?
3

??

?
12



又 sin(

?
3

??) ?

3 ? 4 ? ? 2 5 ? ? 5 , cos( ? ) ? ,所以, cos( ? ? ) ? , sin( ? ) ? ? , 5 3 5 2 3 5 2 3 5

cos(

?
2

? ? ) ? cos[(

?

? ) ? ( ? ? )] ? cos( ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ) sin( ? ? ) 2 3 3 2 3 3 2 3 3

?

?

?

?

?

?

?

?

=

2 5 4 5 3 11 5 ? ? (? ) ? ? 5 5 5 5 25
ln( 2 ? ax ) 在区间 (0,1] 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ____ . a ?1

考点:同角公式,两角和与差的三角函数. 16.已知 f ( x ) ?

【答案】 a ? 0 或 1 ? a ? 2 【解析】 试题分析:a ? 1 时,a ? 1 ? 0 ,u ? 2 ? ax 是减函数,y ? ln u 是增函数, 同时须 u ? 2 ? ax 在 (0,1] 满足大于 0,即 2 ? a ? 0 ,所以, 1 ? a ? 2 ;

0 ? a ? 1 时,a ? 1 ? 0 ,u ? 2 ? ax 是减函数, y ? ln u 是增函数,函数 f ( x ) ?

ln( 2 ? ax ) a ?1

为增函数;

a ? 0 时, a ? 1 ? 0 , u ? 2 ? ax 是增函数, y ? ln u 是增函数,函数 f ( x ) ?
减函数,同时, u ? 2 ? ax 在 (0,1] 满足大于 0,所以, a ? 0 ; 综上知,实数 a 的取值范围是 a ? 0 或 1 ? a ? 2 . 考点:复合函数的单调性,对数函数的的性质. 三、解答题 17.已知函数 f ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? a ,且当 x ? [0,
2

ln( 2 ? ax ) 为 a ?1

?
6

] 时, f ( x) 的最小值

为 2. (1)求 a 的值,并求 f ( x) 的单调增区间; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原的

1 倍,再把所 2

得图象向右平移 根之和.

? ? 个单位,得到函数 y ? g ( x) ,求方程 g ( x) ? 2 在区间 [0, ] 上的所有 12 2

【答案】 (1)0, x ? [k? ?

?
3

, k? ?

?
6

], k ? z ; (2) x1 ? x2 ?

?
12

?

?
4

?

?
3

.

【解析】 试题分析: (1)首先利用三角函数的和差倍半公式,将原三角函数式化简,根据三角函数的 性质, 确定得到最小值的表达式, 求得 a ; (2) 遵循三角函数图象的变换规则, 得到 y ? g ( x) , 利用特殊角的三角函数值,解出方程 g ( x) ? 2 在区间 [0,

?
2

] 上的所有根,求和.

试题解析: (1) f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? a ?1

2分

因为, x ? [0,

?
6

] 时, f ( x) 的最小值为 2,所以, a ? 2 ? 2, a ? 0 .

4分

x ? [ k? ?

?
3

, k? ?

?
6

], k ? z

6分

(2) g ( x) ? 2sin(4 x ?

?
6

) ?1

9分

由 g ( x) ? 2sin(4 x ?

?

? 1 ) ? 1 ? 2,sin(4 x ? ) ? , 6 6 2
11 分

x1 ?

?
12

, x2 ?

?
4

,.

x1 ? x2 ?

?
12

?

?
4

?

?
3

12 分

考点:三角函数的和差倍半公式,三角函数图象的变换. 18.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? ae ( a ? R ) (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 2 与曲线 y ? f ( x) 在 (??,0) 上有公共点,求 k 的取 值范围. 【答案】 (1) a ? 2e ; (2) k ? 2 ? e . 【解析】 试题分析: (1)本题较为简单,通过求导数值令其为 0,可得 a ? 2e ; (2)根据线 l : y ? kx ? 2 与曲线 y ? f ( x) 在 (??,0) 上有公共点,
?x 得到方程 kx ? 2 ? 2 x ? 2 ? ae 在 (??,0) 有解,转化成 k ? 2 ?

?x

1 有解,通过构造函数 xe x

u( x) ? 2 ?

1 并研究其最大值,确定得到 k 的取值范围. xe x
?x

试题解析: (1) f ' ( x) ? 2 ? ae

2分 4分

f ' (1) ? 2 ? ae?1 ? 0 , a ? 2e

(2)因为直线 l : y ? kx ? 2 与曲线 y ? f ( x) 在 (??,0) 上有公共点, 则 kx ? 2 ? 2 x ? 2 ? ae 即k ? 2?
?x

在 (??,0) 有解

6分

1 1 u ( x) ? 2 ? x ? 2 ? e x 有解, xe xe

11 分

所以, k ? 2 ? e . 考点:导数计算,应用导数研究函数的最值. 19.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, 3c sin B ? b cosC ? 2c ? a (1)求 B ; (2)若 a ? c ? 2 6 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

【答案】 (1) B ? 【解析】

2? . (2) ?ABC 的面积为 3 3 . 3

试题分析: (1)应用正弦定理,将 3c sin B ? b cosC ? 2c ? a 化为 3 sin B ? cos B ? 2 , 即得

? 2? sin( B ? ) ? 1, B ? . 6 3
(2)根据 a ? c ? 2 6 , b ? 2 3 ,应用余弦定理可得到 ac ? 12 ,利用三角形面积公式得 到 ?ABC 的面积为 3 3 . 试题解析: (1)由正弦定理: 3 sin B ? cos B ? 2 3分

? 2? sin( B ? ) ? 1, B ? . 6 3

6分

(2)因为, a ? c ? 2 6 , b ? 2 3 ,所以,应用余弦定理可得 ac ? 12 ,

?ABC 的面积为 3 3 .
考点:正弦定理、余弦定理的应用,三角形面积公式.
2 20.已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax ? (2a ? 1) x a ? R .

(1)当 a ?

1 时,求 f ( x) 的单调区间; 2

(2)若函数 f ( x) 在 [1,??) 单调递减,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) f ( x) 在 (0,??) 上单调递增.(2) a ?

1 . 2

【解析】 试题分析:(1)通过“求导数,求驻点,分区间讨论” ,可得函数的单调区间.也可利用导数 大于 0 或小于 0 ,解不等式,得到单调区间. ( 2 ) 问 题 转 化 成

f ' ( x) ? ln x ? 2ax ? 2a ? 0 在 [1,??) 上 恒 成 立 , 由

f ''( x) ?

1 ? 2ax 1 ? 0, x ? ,对 a 进行分类讨论,求得其范围. x 2a
1分

试题解析:(1) f ' ( x) ? ln x ? 2ax ? 2a

a?
4分

1 2

,

f ' ( x) ? ln x ? x ? 1

,

f ' ' ( x) ?

1 ?1 ? 0 x

,

x ?1

,

f ' ( x) ? 0

,

f ( x) 在 (0,??) 上单调递增

5 分

(2) f ' ( x) ? ln x ? 2ax ? 2a ? 0 在 [1,??) 上恒成立, f ''( x) ?

1 ? 2ax 1 ? 0, x ? x 2a
7

① a ? 0 时, f '( x) ? ln x ? 2ax ? 2a 在 [1,??) 是增函数,其最小值为 0,不合题意; 分 ②0? a ? 题意; ③a ?

1 1 1 ? 1 ,函数 f '( x) ? ln x ? 2ax ? 2a 有最大值 ln ? 1 ? 2a ? 0 ,不合 时, 2 2a 2a
9分

1 1 ? 1 ,函数 f '( x) ? ln x ? 2ax ? 2a 在 [1,??) 单调递增,在 x ? 1 处取到最 时, 2 2a
11 分

小值 0; 综上: a ?

1 2

12 分

考点:应用导数研究函数的单调性、最值. 21.已知函数 f ( x) ? ax ? (1)当 a ?

a ?1 ? ln x x

1 时,试讨论函数 f ( x) 的单调性; 2

? (2)证明:对任意的 n ? N ,有

ln1 ln 2 ln(n ? 1) ln n n2 ? ??? ? ? . 1 2 n ?1 n 2(n ? 1)

【答案】 (1)① a ? 0 时, f ( x ) 在(0,1)是增函数,在 (1, ??) 是减函数; ②0?a?

1 1? a 1? a , ?? ) 是增函数,在 (1, ) 是减函数; 时, f ( x ) 在(0,1) ,( 2 a a

③a?

1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数. 2

(2)见解析. 【解析】 试题分析: (1)求导数得到 f '( x) ? a ?

a ? 1 1 ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? ? ( x ? 0) ,而后根据两 x2 x x

个驻点的大小比较,分以下三种情况讨论. ① a ? 0 时, f ( x ) 在(0,1)是增函数,在 (1, ??) 是减函数; ②0?a?

1 1? a 1? a , ?? ) 是增函数,在 (1, ) 是减函数; 时, f ( x ) 在(0,1) ,( 2 a a

③a?

1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数. 2 1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数 2 1 1 1 1 ( x ? ) .从而得到:对任意的 n ? N ? ,有 ln n ? (n ? ) 2 x 2 n

(2)注意到 a ?

当 x ? 1 时,有 ln x ?

通过构造

1 1 1 1 ln n 1 1 ? (1 ? 2 ) ,并放缩得到 2 ? ? ? n 2 n n(n ? 1) n n ? 1 n

利用裂项相消法求和,证得不等式。涉及数列问题,往往通过“放缩、求和”转化得到求证 不等式. 试题解析: (1) f '( x) ? a ?

a ? 1 1 ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? ? ( x ? 0) x2 x x

1分

① a ? 0 时, f ( x ) 在(0,1)是增函数,在 (1, ??) 是减函数; ②0?a? 分 ③a?

3分

1 1? a 1? a , ?? ) 是增函数,在 (1, ) 是减函数; 时, f ( x ) 在(0,1) ,( 2 a a

5

1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数. 2

6分

(2)由(1)知 a ?

1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数 2 1 1 (x ? ) . 2 x

当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0, ln x ?

对任意的 n ? N ? ,有 ln n ?

1 1 (n ? ) 2 n
8分

ln n 1 1 ? (1 ? 2 ) n 2 n

1 1 1 1 ? ? ? 2 n(n ? 1) n n ? 1 n
所以

10 分

ln 1 ln 2 ln( n ? 1) ln n 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? [n ? (1 ? ? ? ? ? ? ? )] 1 2 n ?1 n 2 2 2 3 n n ?1
12 分

ln1 ln 2 ln(n ? 1) ln n n2 ? ??? ? ? 1 2 n ?1 n 2(n ? 1)

考点:应用导数研究函数的单调性,应用导数证明不等式, “裂项相消法”求和. 22.已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直 角坐标系,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 1 ? t ? y ? 2 ? 3t

( t 为参数).

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

?x ' ? x ? (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? ' 1 得到曲线 C ? ,设 M ( x, y ) 为曲线 C ? 上任一点,求 ?y ? y 2 ?
x2 ? 3xy ? 2 y 2 的最小值,并求相应点 M 的坐标。
【答案】 (1) 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0 , x ? y ? 4 ;
2 2

(2)当 M 为( 1,

3 3 ) 时, x 2 ? 3xy ? 2 y 2 的最小值为 1. )或 (?1,? 2 2

【解析】 试题分析: (1)消参数方法有“加减消元法” “代入消元法” “平方关系消元法”等;将极坐 标方程转化成直角坐标方程,一般利用 ? ?

x 2 ? y 2 , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , tan ? ?

y x

?x ' ? x x2 ? 2 2 ? y 2 ? 1 ,应用“三角换元”思想, (2)将 ? ' 1 代入 x ? y ? 4 ,即得 C ' : 4 ?y ? y 2 ?
令 M 的坐标为: x ? 2 cos? , y ? sin ? ,将问题转化成三角函数值域. 试题解析: (1) 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0 2分

x2 ? y2 ? 4
(2) C ' :

4分

x2 ? y2 ? 1 4

5分

设 M 为: x ? 2 cos? , y ? sin ?

x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 ? 3 ? 2 cos( 2? ?

?
3

)

7分

所以当 M 为( 1,

3 3 ) )或 (?1,? 2 2

9分

x 2 ? 3xy ? 2 y 2 的最小值为 1
考点:参数方程与极坐标,三角函数的和差倍半公式. 23.设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 证明:(1) ab ? bc ? ca ?

10 分

1 ; 3

(2)

a2 b2 c2 ? ? ?1. b c a

【答案】 (1)证明:见解析; (2)证明:见解析. 【解析】
2 2 2 2 2 2 试题分析: (1)利用基本不等式,得到 a ? b ? 2ab , a ? c ? 2ac , c ? b ? 2cb ,

利用 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? 1 ,首先得到 3(ab ? ac ? bc) ? 1 ,
2 2 2 2

得证; ( 2 )为应用 a ? b ? c ? 1 ,结合求证式子的左端,应用基本不等式得到

a2 ? b ? 2a , b

c2 b2 ? a ? 2c , ? c ? 2b ,同向不等式两边分别相加,即得证. a c
2 2 2 2 2 2 试题解析: (1) a ? b ? 2ab , a ? c ? 2ac , c ? b ? 2cb ,

2分 4分

所以 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? 1
2 2 2 2

所以 3(ab ? ac ? bc) ? 1

5分

a2 c2 b2 ? a ? 2c , ? c ? 2b ? b ? 2a , (2) a c b
a2 b2 c2 ? ? ?1 b c a
10 分

7分

考点:基本不等式,不等式证明方法.


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