江苏省扬州中学2014-2015学年高一上学期期中考试 数学试题


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江苏省扬州中学 2014-2015 学年高一上学期期中考试 数学试题
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.已知全集 U ? ? 1,2,3,4?,集合 A ? ?1,2? , B ? ?2,3? ,则 A ? ? CU B ? 等于 2.集合 x 0 ? x ? 3 且x ? Z 的子集个数为 3.函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ?
2





?

?

▲ ▲

. . ▲ .

x ? 1 定义域为

4.若函数 f ( x) ? x ? 2ax 在 ? ??,5? 上递减,在 ?5, ?? ? 上递增,则实数 a = 5.下列各组函数中,表示相同函数的是 ① y ? x与 y ?
2

x2
2



y ? x与 y ?
④ y?

x2 x

③ y ? x 与s ?t 6.若函数 f ( x) ? ?

x ? 1 ? x ?1 与 y ? x2 ? 1
▲ .

?log3 x, ( x ? 0) ?2 , ( x ? 0)
x

,则 f ? f ( ) ? ?

? ?

1 ? 9 ?

7.已知幂函数的图象经过点 (2,

2 ) ,则 f (4) ? 2



. ▲ . ▲ .

8.如果函数 f ( x) ? ln x ? x ? 3 的零点所在的区间是 (n, n ? 1) ,则正整数 n ?

9.已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递减, f ? 2 ? ? 0 ,若 f ? x ? 1? ? 0 ,则实数 x 的取值范围是 10.如果指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 在 x ?[0,1] 上的最大值与最小值的差为
x

1 ,则实数 2

a?


x y



11.若 3 ? 4 ? m,

2 1 ? ? 1 ,则实数 m ? x y





12.对于函数 f ( x) 定义域中任意的 x1 , x2 ,给出如下结论: ① f ?x1 ? x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; ② f ?x1 ? x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ;

③当 x1 ? x2 时, ? x1 ? x2 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ; ④当 x1 ? x2 时, f (

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 )? , 2 2
▲ .

那么当 f ( x) ? lg x 时,上述结论中正确结论的序号是

?e ln x , (0 ? x ? 5) ? 13.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? f (b) ? f (c) (其中 a ? b ? c ) , ? ?10 ? x, ( x ? 5)
则 abc 的取值范围是 ▲ .
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14.已知实数 a, b 满足 a ? 3a ? 6a ? 2 , b ? 3b ? 6b ? ?10 ,则 a ? b ?
3 2 3 2





16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? kx ? 6kx ? k ? 8 ,
2

(1)当 k ? 2 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若函数 f ( x) 的定义域为 R ,求实数 k 的取值范围.

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18. (本小题满分 16 分)

[

某商场经调查得知,一种商品的月销售量 Q(单位:吨)与销售价格 x (单位:万元/吨)的关系可用下图的一 条折线表示. (1)写出月销售量 Q 关于销售价格 x 的函数关系式; (2)如果该商品的进价为 5 万元/吨,除去进货成本外,商场销售该商品每月的固定成本为 10 万元,问该商品每吨定价多少万元时,销售该商品的月利润最大?并求月利润的最大值.

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?
2

a , x

(1)判断 f ?x ? 的奇偶性并说明理由; (2)当 a ? 16 时,判断 f ?x ? 在 x ? ? 0, 2? 上的单调性并用定义证明; (3)当 a ? 16 时,若对任意 x ? (0, ??) ,不等式 f ? x ? ? m ? m ? 1 ? 9 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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20. (本小题满分 16 分) 已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c (其中 a ? 0 )满足下列 3 个条件:
2

① f ? x ? 的图象过坐标原点; ②对于任意 x ? R 都有 f (? ③方程 f ? x ? ? x 有两个相等的实数根, 令 g ? x? ? f ? x? ?

1 1 ? x) ? f (? ? x) 成立; 2 2

? x ? 1 (其中 ? ? 0 ),

(1)求函数 f ? x ? 的表达式; (2)求函数 g ? x ? 的单调区间(直接写出结果即可); (3)研究函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上的零点个数.

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命题、校对:高二数学备课组

高一数学试卷答案
一、填空题 1. {1} 2. 4 3.

2014.11

[1, 2)

4.

5

5.③

6. 1

4

7. 1

2

8. 2 13. (5,9)

9.

? ?1,3?

10.

3 1 或 2 2

11. 36 二、解答题

12. ① ③

14. -2

15.解:由题意得 4a 2 ? 6a ? 1 ? ?3 ,解得 a ? 1 或 a ? 当a ?

1 , 2

1 时, A ? ?3, 4, ?3? , B ? ?2, ?3? ,满足要求,此时 A ? B ? ?2,3, 4, ?3? ; 2

当 a ? 1 时, A ? ?3, 4, ?3? , B ? ?4, ?3? ,不满足要求, 综上得: a ?

1 , A ? B ? ?2,3, 4, ?3? 。 2

……………………………14 分

16.解: (1)当 k ? 2 时,由题意得 2 x2 ? 12 x ? 10 ? 0 , 即 ( x ? 1)( x ? 5) ? 0 ,即 x ? 5或x ? 1 ∴定义域为 {x | x ? 5或x ? 1} 。 ……………………………6 分

(2)由题意得不等式 kx2 ? 6kx ? k ? 8 ? 0 对一切 x ? R 都成立 当 k ? 0 时, f ( x) ? 2 2 ,满足要求; 当 k ? 0 时, ? ……………………………9 分

?k ? 0 ,解得 0 ? k ? 1 , ?? ? 0
……………………………14 分

综上可得:实数 k 的取值范围是 ? 0,1? 。 17.解: (1)由

1? x ? 0 得 ?1 ? x ? 1 ,所以定义域为 (?1,1) ; ……………………3 分 1? x
1? x 1? x ? ? log a ? ? f ( x) 1? x 1? x
……………………7 分

f (? x) ? log a

∴ f ( x) 为奇函数 (2) a ? 1 时,由 f ( x) ? log a

1? x 1? x ? 0 ,得 ? 1 ,得 ?1 ? x ? 0 1? x 1? x
……………13 分
[

0 ? a ? 1时,由 f ( x) ? log a

1? x 1? x ? 0 ,得 0 ? ? 1 ,得 0 ? x ? 1 1? x 1? x

综上得, a ? 1 时, x ? (?1,0) ; 0 ? a ? 1 时, x ? (0,1)
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……………………14 分

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19. 解: (1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? x ,( x ? 0) 为偶函数;
2

…………2 分

当 a ? 0 时, f ?1? ? 1 ? a , f ? ?1? ? 1 ? a , 故 f ? ?1? ? f ?1? 且 f ? ?1? ? ? f ?1? ,所以 f ?x ? 无奇偶性. 综上得:当 a ? 0 时, f ?x ? 为偶函数;当 a ? 0 时, f ?x ? 无奇偶性. (2) f ? x ? ? x 2 ? …………5 分

16 , x

任取 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x12 ?

16 2 16 x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? 16? ? x2 ? ? ?, x1 x2 ? x1 x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ? 2 ∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 , x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? 16 , ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,所以 f ?x ? 在区间 ? 0, 2? 上递减. (3)由题意得 f ? x ?min ? m ? m ? 1 ? 9 , 由(2)知 f ?x ? 在区间 ? 0, 2? 上是递减,同理可得 f ?x ? 在区间 ? 2, ?? ? 上递增, 所以 f ? x ?min ? f ? 2 ? ? 12 , 所以 12 ? m ? m ? 1 ? 9 ,即 m ? 1 ? m ? 1 ? 2 ? 0 , 令 m ? 1 ? t ,(t ? 0) ,则 t 2 ? t ? 2 ? 0 ,解得 ?1 ? t ? 2 ,故 0 ? t ? 2 ,
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…………9 分

…………12 分

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即0?

m ? 1 ? 2 ,即 1 ? m ? 5 。

…………16 分 …………1 分

20.解: (1)由题意得 f ? 0 ? ? 0 ,即 c ? 0 . ∵对于任意 x ? R 都有 f ? ? ∴对称轴为 x ? ?
2

? 1 ? ? 1 ? ? x? ? f ?? ? x? , ? 2 ? ? 2 ?

1 b 1 ,即 ? ? ? ,即 a ? b . 2 2a 2

∴ f ? x ? ? ax ? ax , ∵方程 f ? x ? ? x 仅有一根,即方程 ax ? ? a ? 1? x ? 0 仅有一根,
2

∴ ? ? 0 ,即 ? a ? 1? ? 0 ,即 a ? 1 .
2

∴ f ? x? ? x ? x .
2

…………4 分

1 ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1, x ? , ? ? ? ? ? (2) g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 1 ? ? ? x 2 ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? 1 . ? ? ?
① 当x?

1

?

时,函数 g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1 的对称轴为 x ?
2

? ?1
2





? ?1
2

?
?

1

?
1

,即 0 ? ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ? ,即 ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ?
2

?1 ? , ?? ? 上单调递增; ?? ?



? ?1
2

?

? ? ?1 ? ? 1 ? ?1 ? , ?? ? 上单调递增,在 ? , ? 上递减. ?? 2 ? ? 2 ?
1? ? 1 ? , 2 ?

② 当x ?

1

?

时,函数 g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1的对称轴为 x ? ?

则函数 g ? x ? 在 ? ? 综上所述,

1? ? ? ? 1? ? 1 ? ? , ? 上单调递增,在 ? ??, ? ? 上单调递减. 2 ?? 2 ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? , ?? ? ,减区间为 ? ??, ? ?; 2 2 ? ? ? ?

当 0 ? ? ? 2 时,函数 g ? x ? 增区间为 ? ? 当 ? ? 2 时,函数 g ? x ? 增区间为 ? ?

? 1 ? ? 1 ? ? ? ?1 ? , ? 、? , ?? ? ,减区间为 2 ?? ? 2 ? ?
…………9 分

1 ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ??, ? ?、? , ?. 2 ? ?? 2 ? ?
(3) ① 当 0 ? ? ? 2 时,由(2)知函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上单调递增, 又 g ? 0 ? ? ?1 ? 0, g ?1? ? 2 ?

? ?1 ? 0 ,
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故函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点. ② 当 ? ? 2 时,则 …………12 分

1

?

?

1 ?1? 1 1 ? 1 ,而 g ? 0 ? ? ?1 ? 0, g ? ? ? 2 ? ? 0 , g ?1? ? 2 ? ? ? 1 , 2 ? ??? ?
1

(ⅰ)若 2 ? ? ? 3 ,由于

?

?
2

? ?1
2

?1,
2

? ? ? 1? ? ?1 ? ? ?1? ? ? ?1? 且g? ?1 ? 0 , ?1 ? ? ??? ? ? ?1 ? ? ?? 4 2 ? 2 ? ? 2 ?
此时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点; (ⅱ)若 ? ? 3 ,由于

? ?1
2

? 1 且 g ?1? ? 2 ? ? ? 1 ? 0 ,此时 g ? x ? 在区间 ? 0,1?

上有两个不同的零点. 综上所述, 当 0 ? ? ? 3 时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点; 当 ? ? 3 时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上有两个不同的零点. …………16 分

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高一数学试卷答案
一、填空题 1. {1} 6. 1 2. 4 7. 1 3. [1, 2) 8. 2 13. (5,9) 4. 5 9.

2014.11

5.③ 10.

4

2

? ?1,3?

3 1 或 2 2

11. 36 二、解答题

12. ①③

14. -2

15.解:由题意得 4a ? 6a ? 1 ? ?3 ,解得 a ? 1 或 a ?
2

1 , 2

当a ?

1 时, A ? ?3, 4, ?3? , B ? ?2, ?3? ,满足要求,此时 A ? B ? ?2,3, 4, ?3? ; 2

当 a ? 1 时, A ? ?3, 4, ?3? , B ? ?4, ?3? ,不满足要求, 综上得: a ?

1 , A ? B ? ?2,3, 4, ?3? 。 2
2

……………………………14 分

16.解: (1)当 k ? 2 时,由题意得 2 x ? 12 x ? 10 ? 0 , 即 ( x ? 1)( x ? 5) ? 0 ,即 x ? 5或x ? 1 ∴定义域为 {x | x ? 5或x ? 1} 。
2

……………………………6 分

(2)由题意得不等式 kx ? 6kx ? k ? 8 ? 0 对一切 x ? R 都成立 当 k ? 0 时, f ( x) ? 2 2 ,满足要求; 当 k ? 0 时, ? ……………………………9 分

?k ? 0 ,解得 0 ? k ? 1 , ?? ? 0
……………………………14 分

综上可得:实数 k 的取值范围是 ? 0,1? 。 17.解: (1)由

1? x ? 0 得 ?1 ? x ? 1 ,所以定义域为 (?1,1) ; ……………………3 分 1? x 1? x 1? x ? ? log a ? ? f ( x) 1? x 1? x
……………………7 分

f (? x) ? log a

∴ f ( x) 为奇函数 (2) a ? 1 时,由 f ( x) ? log a

1? x 1? x ? 0 ,得 ? 1 ,得 ?1 ? x ? 0 1? x 1? x
……………13 分

0 ? a ? 1时,由 f ( x) ? log a

1? x 1? x ? 0 ,得 0 ? ? 1 ,得 0 ? x ? 1 1? x 1? x

综上得, a ? 1 时, x ? (?1,0) ; 0 ? a ? 1 时, x ? (0,1)

……………………14 分

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18. 解: (1)由题设知,当 5 ? x ? 8 时, Q ? ? 当 8 ? x ? 12 时, Q ? ? x ? 13;

5 x ? 25; 2

? 5 ?? x ? 25,5 ? x ? 8, 所以 Q ? ? 2 ……………………6 分 ? ?? x ? 13,8 ? x ? 12.
(2)月利润为 f ( x) ? Q ? ( x ? 5) ? 10. 即 f ( x) ??

? 5 ( ? ? x ? 25)( x ? 5) ? 10,5 ? x ? 8, 2 ? ?(? x ? 13)( x ? 5) ? 10,8 ? x ? 12,
…………10 分

15 2 45 ? 5 5? x?8 ?? ( x ? ) ? ?? 2 2 8 ??( x ? 9)2 ? 6 8 ? x ? 12 ?
所以当 x ?[5,8] 时, x ?

15 45 当 x ? (8,12] 时, x ? 9, f ( x)最大 ? 6. , f ( x)最 大 ? ; 2 8

所以当 x ? 9 时, f ( x) 取得最大值 6. 答:每吨定价为 9 万元时,销售该商品的月利润最大,最大利润为 6 万元。 …………16 分 19. 解: (1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? x ,( x ? 0) 为偶函数;
2

…………2 分

当 a ? 0 时, f ?1? ? 1 ? a , f ? ?1? ? 1 ? a , 故 f ? ?1? ? f ?1? 且 f ? ?1? ? ? f ?1? ,所以 f ?x ? 无奇偶性. 综上得:当 a ? 0 时, f ?x ? 为偶函数;当 a ? 0 时, f ?x ? 无奇偶性. (2) f ? x ? ? x ?
2

…………5 分

16 , x
16 2 16 x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? 16? ? x2 ? ? ?, x1 x2 ? x1 x2

任取 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x12 ?

∵ 0 ? x1 ? x2 ? 2 ∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 , x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? 16 , ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,所以 f ?x ? 在区间 ? 0, 2? 上递减. (3)由题意得 f ? x ?min ? m ? m ? 1 ? 9 , 由(2)知 f ?x ? 在区间 ? 0, 2? 上是递减,同理可得 f ?x ? 在区间 ? 2, ?? ? 上递增, 所以 f ? x ?min ? f ? 2 ? ? 12 , 所以 12 ? m ? m ? 1 ? 9 ,即 m ? 1 ? m ? 1 ? 2 ? 0 , 令 m ? 1 ? t ,(t ? 0) ,则 t ? t ? 2 ? 0 ,解得 ?1 ? t ? 2 ,故 0 ? t ? 2 ,
2

…………9 分

…………12 分

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即0?

m ? 1 ? 2 ,即 1 ? m ? 5 。

…………16 分 …………1 分

20.解: (1)由题意得 f ? 0 ? ? 0 ,即 c ? 0 . ∵对于任意 x ? R 都有 f ? ? ∴对称轴为 x ? ?
2

? 1 ? ? 1 ? ? x? ? f ?? ? x? , ? 2 ? ? 2 ?

1 b 1 ,即 ? ? ? ,即 a ? b . 2 2a 2

∴ f ? x ? ? ax ? ax , ∵方程 f ? x ? ? x 仅有一根,即方程 ax ? ? a ? 1? x ? 0 仅有一根,
2

∴ ? ? 0 ,即 ? a ? 1? ? 0 ,即 a ? 1 .
2

∴ f ? x? ? x ? x .
2

…………4 分

1 ? 2 x ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? , ? ? ? (2) g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 1 ? ? ? x 2 ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? 1 . ? ? ?
① 当x?

1

?

时,函数 g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1 的对称轴为 x ?
2

? ?1
2





? ?1
2

? ?

1

?
1

,即 0 ? ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ? ,即 ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ?
2

?1 ? , ?? ? 上单调递增; ?? ?



? ?1
2

?

? ? ?1 ? ? 1 ? ?1 ? , ?? ? 上单调递增,在 ? , ? 上递减. ?? 2 ? ? 2 ?
1? ? 1 ? , 2 ?

② 当x ?

1

?

时,函数 g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1的对称轴为 x ? ?

则函数 g ? x ? 在 ? ? 综上所述,

1? ? ? ? 1? ? 1 ? ? , ? 上单调递增,在 ? ??, ? ? 上单调递减. 2 ?? 2 ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? , ?? ? ,减区间为 ? ??, ? ?; 2 2 ? ? ? ?

当 0 ? ? ? 2 时,函数 g ? x ? 增区间为 ? ? 当 ? ? 2 时,函数 g ? x ? 增区间为 ? ?

? 1 ? ? 1 ? ? ? ?1 ? , ? 、? , ?? ? ,减区间为 2 ?? ? 2 ? ?
…………9 分

1 ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ??, ? ?、? , ?. 2 ? ?? 2 ? ?
(3) ① 当 0 ? ? ? 2 时,由(2)知函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上单调递增, 又 g ? 0 ? ? ?1 ? 0, g ?1? ? 2 ?

? ?1 ? 0 ,
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故函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点. ② 当 ? ? 2 时,则 …………12 分

1

?

?

1 ? 1 ,而 g ? 0 ? ? ?1 ? 0, 2
1

?1? 1 1 g ? ? ? 2 ? ? 0 , g ?1? ? 2 ? ? ? 1 , ? ??? ?

(ⅰ)若 2 ? ? ? 3 ,由于

?

?
2

? ?1
2

?1,
2

? ? ? 1? ? ?1 ? ? ?1? ? ? ?1? 且g? ?1 ? 0 , ?1 ? ? ??? ? ? ?1 ? ? ?? 4 2 ? 2 ? ? 2 ?
此时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点; (ⅱ)若 ? ? 3 ,由于

? ?1
2

? 1 且 g ?1? ? 2 ? ? ? 1 ? 0 ,此时 g ? x ? 在区间 ? 0,1?

上有两个不同的零点. 综上所述, 当 0 ? ? ? 3 时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点; 当 ? ? 3 时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上有两个不同的零点. …………16 分

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