【走向高考】(通用版)高考数学二轮总复习 专题1 第2讲函数的概念、图象与性质检测试题

【走向高考】 (通用版)2015 高考数学二轮总复习 专题 1 第 2 讲函 数的概念、图象与性质检测试题

一、选择题 1 1. (文)(2013·朝阳一模)已知函数 y=f(x)是奇函数, 当 x>0 时, f(x)=lgx, 则 f(f( )) 100 的值等于( A. 1 lg2 ) 1 B.- lg2 D.-lg2

C.lg2 [答案] D

[解析] 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=lg(-x). 又函数为奇函数,f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-lg(-x). 1 1 1 ∴f( )=lg =-2,f(f( ))=f(-2)=-lg2. 100 100 100 1 2 (理)(2013·辽宁文,7)已知函数 f(x)=ln( 1+9x -3x)+1,则 f(lg2)+f(lg )= 2 ( ) A.-1 C.1 [答案] D [解析] 本题主要考查函数的性质与换底公式. ∵f(x)=ln( 1+9x -3x)+1=-ln( 1+9x +3x)+1,
2 2

B.0 D.2

f(-x)=ln( 1+9x2+3x)+1,∴f(x)+f(-x)=2,
1 1 又 lg =-lg2,∴f(lg2)+f(lg )=2,故选 D. 2 2 2.已知 f(x)=2 ,则函数 y=f(|x-1|)的图象为(
x

)

[答案] D [解析] 法一:f(|x-1|)=2
|x-1|

.

当 x=0 时,y=2.可排除 A、C.

当 x=-1 时,y=4.可排除 B. 法二:y=2 →y=2 →y=2
x
|x| |x-1|

,经过图象的对称、平移可得到所求.

3.(2014·新课标Ⅰ文,5)设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x)是奇函数,g(x) 是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 [答案] C [解析] 本题考查函数的奇偶性. 由 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,得 )

f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
∴f(x)·g(x)是奇函数,|f(x)|g(x)是偶函数,

f(x)|g(x)|是奇函数,|f(x)g(x)|是偶函数,选 C.
4.(2013·山东文,5)函数 f(x)= 1-2 + A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] [答案] A [解析] 本题考查了定义域的求法.
?1-2 ≥0, ? 由题意知? ?x+3>0, ?
x x

1

x+3

的定义域为(

)

B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3,1]

?2 ≤1, ? 即? ?x>-3, ?

x

即?

?x≤0, ? ?x>-3, ?

∴3<x≤0,∴f(x)定义域为(-3,0]. 5.(文)(2013·北京东城区模拟)对于函数 y=f(x),部分 x 与 y 的对应关系如下表:

x y

1 7

2 4

3 5
*

4 8

5 1

6 3

7 5

8 2

9 6

数列{xn}满足 x1=2,且对任意 n∈N ,点(xn,xn+1)都在函数 y=f(x)的图象上,则 x1 +x2+x3+x4+…+x2012+x2013 的值为( A.9394 C.9396 [答案] A [解析] ∵点(n,xn+1))在函数 y=f(x)的图象上, ∴xn+1=f(xn),n∈N ,∵x1=2,∴x2=f(x1)=f(2)=4,x3=f(4)=8,x4=f(8)=2,
*

) B.9380 D.9400

x5=f(2)=4,即数列{xn}为周期数列,周期为 3,

∴x1+x2+…+x2013=671×(2+4+8)=9394. (理)(2013·和平区质检)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x) 1 单调递减,设 a=f(- ),b=f(3),c=f(0),则 a、b、c 的大小关系为( 2 A.b<a<c C.b<c<a [答案] A [解析] ∵f(x+1)为偶函数, ∴f(x)的图象关于直线 x=1 对称, ∴f(3)=f(-1),∵x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减, ∴x∈(-∞,1)时,f(x)单调递增, 1 ∴f(-1)<f(- )<f(0),∴b<a<c. 2 6. (文)(2013·霍邱二中模拟)若 f(x)=-x +2ax 与 g(x)= 函数,则实数 a 的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) [答案] D [解析] 由 f(x)在(1,2)上为减函数得 a≤1; 由 g(x)= ∴0<a≤1. 1 2 2 (理)(2013·江西师大附中、鹰潭一中联考)函数 f(x)=( )-x +2mx-m -1 的单调增 2 区间与值域相同,则实数 m 的取值为( A.-2 C.-1 [答案] B [解析] ∵-x +2mx-m -1=-(x-m) -1≤-1, 1 2 2 ∴( )-x +2mx-m -1≥2, 2 ∴f(x)的值域为[2,+∞), 1 x 2 ∵y=( ) 单调递减,y=-(x-m) -1 的单调减区间为[m,+∞),∴f(x)的单调增区 2 间为[m,+∞). 由条件知 m=2.
2 2 2 2

)

B.c<b<d D.a<b<c

a 在区间(1,2)上都是减 x+1

) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]

a 在(1,2)上为减函数得 a>0, x+1

) B.2 D.1

二、填空题 7. (文)(2013·上海黄浦区模拟)设 a 为常数, 函数 f(x)=x -4x+3, 若 f(x+a)在[0, +∞)上是增函数,则 a 的取值范围是________. [答案] [2,+∞) [解析] ∵f(x)=x -4x+3 在[2, +∞)上为增函数, f(x+a)在[0, +∞)上为增函数, ∴应将 f(x)的图象至少向左平移 2 个单位得到 f(x+a)的图象,∴a≥2. (理)已知函数 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(x+1).若 f(a)=-2,则实 数 a=__________. [答案] -1 [解析] 令 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=-x(1-x),又 f(x)为奇函数,所以当 x<0 时有 f(x)=x(1-x),当 a≥0 时,f(a)=a(a+1)=-2,无解;当 a<0 时,f(a)=a(1-a) =-2,得 a -a-2=0,解得 a=-1 或 a=2(舍去),综上知 a=-1.
?log4x,x>0 ? 8.(2014·吉林市质检)已知函数 f(x)=? x ? ?3 ,x≤0
2 2 2

1 ,则 f[f( )]=________. 4

[答案]

1 3

1 1 1 1 -1 [解析] f( )=log4 =-1,∴f[f( )]=f(-1)=3 = . 4 4 4 3 2π 2π 9.(2014·唐山市一模)函数 y=log3(2cosx+1),x∈(- , )的值域为________. 3 3 [答案] (-∞,1] 2π 2π 1 [解析] ∵x∈(- , ),∴cosx∈(- ,1], 3 3 2 ∴2cosx+1∈(0,3],∴log3(2cosx+1)≤log33=1.
?2 -a, ? 10.(2013·北京海淀区期中)已知函数 f(x)=? 2 ?x -3ax+a, ?
x

x≤0, x>0

有三个不同的

零点,则实数 a 的取值范围是________. [答案] 4 <a≤1 9
? ?2 -a=0, 由条件知? ?x≤0, ?
x

[解析]

且方程 x -3ax+a=0 有两不等正根,

2

3a>0, ? ? ∴0<a≤1,且?a>0, ? ?9a2-4a>0,

4 ∴ <a≤1. 9

一、选择题
?8x-8,x≤1, ? 11.(2013·吉林省吉大附中二模)已知函数 f(x)=? ?0,x>1, ?

g(x)=log2x,则

f(x)与 g(x)两函数图象的交点个数为(
A.4 C.2 [答案] C

) B.3 D.1

[解析] 画出两函数的图象知,当 0<x<1 时,有一个交点,又 f(1)=g(1)=0;当 x>1 时,f(x)>g(x)恒成立,故选 C. 12.(文)(2014·湖南理,3)已知 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且

f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=(
A.-3 C.1 [答案] C [解析] 本题考查函数的奇偶性.

) B.-1 D.3

分别令 x=1 和 x=-1 可得 f(1)-g(1)=3 且 f(-1)-g(-1)=1? f(1)+g(1)=1, 则
?f ? ? ? ?f

-g +g

=3, =1.

??

?f ? ? ?g

=2, =-1.

? f(1)+g(1)=1,故选 C.

? ?log2 -x ,x<0 (理)(2013·江西八校联考)已知 f(x)=? ?f x- ,x≥0 ?

,则 f(2013)等于(

)

A.-1 C.0 [答案] D

B.2 D.1

[解析] ∵2013=403×5-2,∴f(2013)=f(-2)=log22=1. 1 π π 13.(文)(2013·福建质检)函数 f(x)=log cosx(- <x< )的图象大致是( 2 2 2 )

[答案] C [解析] 解法 1: 由奇偶性定义易知函数为偶函数, 故其图象关于 y 轴对称, 排除 A, B; π 1 又 x∈[0, ]时,cosx∈(0,1],f(x)=log cosx>0,排除 D,故选 C. 2 2 π π 解法 2:利用复合函数单调性的判断方法,由于 u=cosx 在区间(- ,0)、(0, )上 2 2 1 1 π 分别为增函数和减函数, 而 y=log u 为减函数, 故复合函数 f(x)=log cosx 在区间(- , 2 2 2 π 0)、(0, )上分别为减函数和增函数,故选 C. 2 (理)(2013·北京东城训练)已知定义在 R 上的函数 f(x)的对称轴为 x=-3,且当 x≥ -3 时,f(x)=2 -3.若函数 f(x)在区间(k-1,k)(k∈Z)上有零点,则 k 的值为( A.2 或-7 C.1 或-7 [答案] A [解析] ∵f(1)=-1<0,f(2)=1>0,∴f(x)在(1,2)上有零点,又 f(x)的图象关于直 线 x=-3 对称, ∴f(x)在(-8,-7)上有零点,∴k=2 或-7. 14. (2014·豫东、 豫北十所名校联考)已知 f(x+1)为偶函数, 且 f(x)在区间(1, +∞) 1 上单调递减,a=f(2)、b=f(log32)、c=f( ),则有 ( 2 A.a<b<c C.c<b<a [答案] D B.b<c<a D.a<c<b ) B.2 或-8 D.1 或-8
x

)

[解析] ∵f(x+1)为偶函数,∴其图象关于 y 轴对称, ∴函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 又∵函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减, ∴函数 f(x)在(-∞,1)上单调递增, 1 1 ∵2> >0>log32,∴f(2)<f( )<f(log32), 2 2 ∴a<c<b. 2 15.(文)(2014·长春市三调)已知函数 f(x)= x +sinx,则 f(-2)+f(-1)+f(0) 2 +1 +f(1)+f(2)=( A. 5 2 ) B. 2 5

C.4 [答案] D [解析] ∵f(x)+f(-x)= 1,

D.5

2 2 2 2 +sinx+ -x -sinx= x + x=2,且 f(0)= 2 +1 2 +1 2 +1 1+2
x

x+1

∴f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=5. ( 理 )(2014· 东 北 三 省 三 校 第 一 次 联 考 ) 已 知 函 数
?log2 -x +1,-1≤x<k ? ? 5 ? ?x -3x+2,k≤x≤a

f(x) =

,若存在 k 使得函数 f(x)的值域是[0,2],则实数 a 的取值

范围是(

) 1 B.[ , 3] 2 D.{2}

A.[ 3,+∞) C.(0, 3] [答案] B

[解析] 当 a=2 时,f(x)=x -3x+2,k≤x≤2,f(2)=28 不合题意,∴a≠2,排除 1 1 1 1 2 2 A、D;当 a= 时,∵k≤x≤a,∴k≤ ,当 k= 时,-1≤x< , <1-x≤2,∴log2 <log2(1 3 3 3 3 3 3 2 -x)≤1,又 log2 <0,∴不合题意,排除 C,故选 B. 3 16.(文)(2014·沈阳市质检)已知函数 f(x)满足:①定义域为 R;②对任意 x∈R,有
?e ? f(x+2)=2f(x);③当 x∈[-1,1]时,f(x)= 1-x .若函数 g(x)=? ?lnx ?
2

5

x

x x

,则函

数 y=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上零点的个数是( A.7 B.8

)

C.9 [答案] D

D.10

[解析] 如图,当 x≤0 时,y=f(x)与 y=e 的图象有 6 个交点;当 x>0 时,y=f(x) 与 y=lnx 的图象有 4 个交点.故选 D.

x

(理)(2014·河北衡水中学模拟)设 f(x)是定义在 R 上的函数,若 f(0)=2008,且对任 意 x∈R,满足 f(x+2)-f(x)≤3·2 ,f(x+6)-f(x)≥63·2 ,则 f(2008)=( A.2 C.2
2006

x

x

)

+2007 +2007

B.2 D.2

2008

+2006 +2008

2008

2006

[答案] C [解析 ] +3×(2
2006

由题意 f(2008)≤f(2006)+3×2
2 2004

2006

≤f(2004)+3×2

2006

+3×2

2004

≤…≤f(0)

1004 2

+2

+…+2 +2 )=2008+3×

2

0

2 -1

-1 2008 =2007+2 ①

f(2008)≥f(2002)+63×22002≥f(1996) +63×21996≥…≥f(4)+63×(22002 + 21996 +…+
2)
6 344 4

=f(4)+63×

2 -1

6

-1] 2008 4 =f(4)+2 -2 ②
x x

又由条件 f(x+2)-f(x)≤3·2 ,f(x+6)-f(x)≥63·2 , 可得 f(x+6)-f(x+2)≥60·2 =15·2 即 f(x+4)-f(x)≥15·2
x x x+2

再由 f(x+2)-f(x)≤3·2 得 f(x+4)-f(x+2)≤3·2 两式相加得 f(x+4)-f(x)≤15·2 , ∴f(x+4)-f(x)=15·2
x x

x

x+2

∴f(4)-f(0)=15,∴f(4)=f(0)+15=2023,代入②解得 f(2008)≥2007+2 由①③得 f(2008)=2007+2 二、填空题
2008

2008



.

2a-3 17.(文)设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)= ,则实 a+1 数 a 的取值范围是________.

2 [答案] (-1, ) 3 [解析] f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),得 f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1),又

f(1)>1,所以 f(2)<-1,即

2a-3 2 <-1,解得-1<a< . a+1 3

(理)设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合:在定义域内存在 x0,使得 f(x0+ 1 x 2 1)=f(x0)+f(1)成立. 已知下列函数: ①f(x)= ; ②f(x)=2 ; ③f(x)=lg(x +2); ④f(x)

x

=cosπ x.其中属于集合 M 的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号). [答案] ②④ [解析] 对于①,方程 1

x+1 x
2

1 x +1 x = +1,显然无实数解;对于②,由方程 2 =2 +2,解
2

得 x=1; 对于③, 方程 lg[(x+1) +2]=lg(x +2)+lg3, 也无实数解; 对于④, 方程 cos[π (x 1 +1)]=cosπ x+cosπ ,即 cosπ x= ,显然存在 x 使等式成立,故填②④. 2 18.(2013·眉山市二诊)如图所示,f(x)是定义在区间[-c,c](c>0)上的奇函数,令

g(x)=af(x)+b,并有关于函数 g(x)的四个论断:

①若 a>0,对于[-1,1]内的任意实数 m、n(m<n), ②函数 g(x)是奇函数的充要条件是 b=0; ③? a∈R,g(x)的导函数 g′(x)有两个零点;

g n -g m >0 恒成立; n-m

④若 a≥1,b<0,则方程 g(x)=0 必有 3 个实数根; 其中所有正确结论的序号是________. [答案] ①②③ [解析] ①∵g(x)=af(x)+b,∴

g n -g m a[f n -f m = n-m n-m

,由图知对于

f n -f m f(x)在[-1,1]上任意两点 A(m,f(m)),B(n,f(n)),有 kAB= >0,又 a>0, n-m


g n -g m >0 恒成立,故①正确; n-m

② g(x) 为奇函数 ?g( - x) =- g(x) ?af( - x) + b =- af(x) - b ?2b =- a[f( - x) +

f(x)],∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,故 g(x)为奇函数?b=0,故②正确;
③g′(x)=af ′(x),由图知 f(x)在[-c,c]上减、增、减,∴f ′(x)在[-c,c]上 取值为负、正、负,从而当 a≠0 时,g′(x)=0 在[-c,c]上与 x 轴必有两个交点,又 a =0 时,g′(x)=0 在[-c,c]上恒成立,∴? a∈R,g′(x)在[-c,c]上有两个零点,故 ③正确; ④取 a=1,b=-5,则 g(x)=f(x)-5 与 x 轴无交点,∴方程 g(x)=0 无实根,∴④ 错误. 三、解答题 1 19.已知函数 f(x)的定义域为 R,对任意的实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+ , 2 1 1 且 f( )=0,当 x> 时,f(x)>0. 2 2 (1)求 f(1); (2)判断 f(x)的增减性并证明. 1 1 1 1 1 [解析] (1)令 x=y= ,得 f(1)=f( )+f( )+ = . 2 2 2 2 2 (2)f(x)为增函数,证明:任取 x1、x2∈R,且 x2>x1,Δ x=x2-x1>0,则: 1 1 Δ y = f(x2) - f(x1) = f(x1 + Δ x) - f(x1) = f(Δ x) + f(x1) + - f(x1) = f(Δ x) + = 2 2

f(Δ x)+f( )+ =f(Δ x+ ),
1 1 1 又∵Δ x>0,∴Δ x+ > ,∴f(Δ x+ )>0, 2 2 2 ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在 R 上是增函数.

1 2

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