山东省惠民一中08-09学年高二综合测试题(数学)选修2-2,2-3

高二综合题一(数学) 选修 2-2,2-3
一、选择题 1.复数

1 等于( (1 ? i)2
B. ?



A.

1 2

1 2

C.

1 i 2

D. ?

1 i 2

2.现有 5 种不同颜色的染料,要对如图中的四个不同区域进行着 色,要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色,则不同的着色方
B A D

法的种数是( A.120

) B.140 C.240 ) D.260
C

x2 ?1 3.函数 y ? 的导数是( x
A.

x2 ?1 x

B.

x2 ? 1 x2

C.

x2 ?1 x2
D、1440

D.

1 ? x2 x2


4、 个男生, 个女生排成一排, 5 2 若女生不能排在两端, 但又必须相邻, 则不同的排法有 ( A、480 B、960 C、720

5. 观察如图中各正方形图案, 每条边上有 n(n ? 2) 个圆点, n 个图案中圆点的总数是 S n . 第

n=2

n=3 )

n=4

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

按此规律推断出 S n 与 n 的关系式为( A. S n = 2n B。 S n =4n

C。 S n = 2

n

D。 S n = 4n ? 4

6.已知 f(x)=2x3-6x2+a (a 是常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么在[-2,2]上的最小值是 ( ) A.-5 B.-11 C.-29
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D.-37

7、定积分

?

2

1

x2 ? 2 x ? 3 dx 的值为( x
B、

) C、 3 ? 3ln 2 )个 D、 ?

A、

1 2
B。 64

1 ? 3ln 2 2
D。 52

1 ? 3ln 2 2

8、以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( A. 70 C。 58

9.已知函数 f(x)=x3-ax2+1 在区间(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≥3 B.a=3 C.a≤3 D.0<a<3

10、甲、乙、丙三位同学上课后独立完成 5 道自我检测题,甲及格概率为

4 ,乙及格概率 5

2 2 ,丙及格概率为 ,则三人中至少有一人及格的概率为( ) 5 3 1 24 16 59 A. B. C. D. 25 25 75 75
为 11.定积分

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

? 0 1 ? x dx 的值为(
B.ln2

1 1



A.1

C. )

2 1 ? 2 2

D.

1 1 ln 2 ? 2 2

12. 函数 f ( x) ? x ln x 的大致图像为( y

y

y

y

o o A 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 1 x B

1

x o C 1 x

o

1

x

D

13 、 若 在 区 间 [-1, 1] 上 , 函 数 f ( x) ? x ? ax ? 1 ? 0 恒 成 立 , 则 a 的 取 值 范 围 是
3

_________________。 14、若集合 A ? {a | a ? 100, a ? 3k , k ? N } ,集合 B ? {b | b ? 100, b ? 2k , k ? N } ,在
* *

A ? B 中随机地选取一个元素, 则所选取的元素恰好在 A ? B 中的概率为____________.

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

15、.设平面内有n条直线 (n ? 3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同
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一点.若用 f (n) 表示这n条直线交点的个数,则 f (4) =______;当n>4时, f (n) = __ __.

16. 把 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字填在图中的九个 空格内.每格只填一个数,并且每行从左到右,每列从上到下, 都是依次增大.且数字 4 在正中间位置.共有 种填法. 4

三、解答题(共 75 分,写出必要文字) 17、 (本题满分 12 分)已知复数 z1 ? (m 2 ? 2m ? 3) ? mi , z 2 ? 2m ? (m 2 ? m ? 1)i ,其中

m? R .
(1)若 z1、z2 互为共轭复数,求实数 m 的值; (2)求| z1+z2|的最小值.
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

? 3 1 ? 18. (本小题满分 11 分) 若 ? x ? 2 ? 展开式中,只有第 6 项的二项式系数最大,求展 x ? ?
开式中的常数项。

n

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19、(本 题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax ? d 的图象 过点 p(0, 2) ,且在 点
3 2

M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 , (1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 求函数 f ( x) 的单调区间。

20. (本小题满分 13 分) 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: ①能组成多少个没有重复数字的七位数? ②上述七位数中三个偶数相邻排在一起的有几个? ③在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个?

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21、(本题满分 14 分) 旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条. (1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率 (2)求恰有 2 条线路没有被选择的概率. (3)求选择甲线路旅游团数的期望.

22、(本题满分 14 分) 已知:

( x ? 1) n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) 2 ? a3 ( x ? 1) 3 ? ?? ? a n ( x ? 1) n (n ? 2, n ? N ? )
(1)当 n ? 5 时,求 a0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a5 的值。 (2)设 bn ?

a2 , Tn ? b2 ? b3 ? b4 ? ? ? bn 。试用数学归纳法证明: 2 n ?3

当 n ? 2 时, Tn ?

n(n ? 1)( n ? 1) 3

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参考答案
一、选择题 1-5 DDBBD 6-10DDCAB

11,12 BA 二、填空题

13、 [0, 16.12 种

33 2 ] 2

14、

16 67

15、 f (4) =___5___;当n>4时, f (n) =

(n ? 1)(n ? 2) 2

三、解答题 17、 (1)由条件 ?
?m 2 ? 2m ? 3 ? 2m
2 ? m ? m ?1? m

?? (4?) ? m ? 1 --------- (6′)

(2)z1+z2=(m2+3)+(m2-1)i--------- (8′) |z1+z2|= (m 2 ? 3) 2 ? (m 2 ? 1) 2 -----(10′) = 2m 4 ? 4m 2 ? 10 ? 10 ,|z1+z2|min= 10 --------- (12′)

18、解: n ? 10 ----------------------3 分

Tr ?1 ? C

r 10

?x ?

3 10? r

? 1 ? ?? 2 ? ?x ?

r
r ? C10 x 30?5 r ---------------- 7 分

令 30 ? 5r ? 0 ,得: r ? 6 ---------------10 分 所以展开式中的常数项为: T6?1 ? C10 ? 210 。----------------------11 分
6

19、解: (Ⅰ)由 f (x) 的图象经过 P(0,2) ,知 d=2,所以 f ( x) ? x ? bx ? cx ? 2,
3 2

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c.

----------------------2 分

由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,知

? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.
?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. ---------------------6 分 ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0,
故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2. ----------------------7 分
3 2

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(Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3.
2

令3x 2 ? 6 x ? 3 ? 0,即x 2 ? 2 x ? 1 ? 0.

解得 x1 ? 1 ? 2 , x 2 ? 1 ? 当1 ? 2 ? x ? 1 ?

2. 当 x ? 1 ? 2 , 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0;

2时, f ?( x) ? 0.

故 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2在(??,1 ? 2 ) 内是增函数,在 (1 ? 2 ,1 ? 在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数. ----------------------14 分 20.解:①分步完成:第一步在 4 个偶数中取 3 个,可有 第二步在 5 个奇数中取 4 个,可有
3 4 7

2 ) 内是减函数,

种情况; 种情况;
7

第三步 3 个偶数,4 个奇数进行排列,可有 A7 种情况, 所以符合题意的七位数有 C4 C5 A7 ? 100800 个. ②上述七位数中,三个偶数排在一起的有个. C4 C5 A5 A3 ? 14400
3 4 5 3

③上述七位数中,偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数分别插入 5 个空档,共有 A5 C4 A5 ? 28800 个.
4 3 3

21、解: (1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1=

3 A4 3 ? 43 8

-----------------3 分

(2)恰有两条线路没有被选择的概率为:P2=

2 2 C 4 ? C32 ? A2 9 ? --------------6 分 3 16 4

(3)设选择甲线路旅游团数为ξ ,则ξ =0,1,2,3 -----------------7 分 P(ξ =0)=
33 27 ? 43 64

P(ξ =1)=

1 C3 ? 3 2 27 ? 64 43

1 C3 ? 3 9 ? P(ξ =2)= 3 64 4

P(ξ =3)=

3 C3

4

3

?

1 ------------------11 分 64

∴ξ 的分布列为:

?
P

0
27 64

1
1 64

2
1 64

3
1 64

----------------------12 分 ∴期望 Eξ =0×
27 27 9 1 3 +1× +2× +3× = ---------------------14 分 64 64 64 64 4

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22、(1)当 n ? 5 时,

原等式变为

( x ? 1) 5 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) 2 ? a3 ( x ? 1) 3 ? a 4 ( x ? 1) 4 ? a5 ( x ? 1) 5 ---2 分
令x ? 2得

a0 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? 35 ? 243 ---------------------5 分
n n

(2)因为 ( x ? 1) ? [2 ? ( x ? 1)]

所以 a 2 ? C n ? 2
2

n?2

bn ?

a2 2 ? 2C n ? n(n ? 1)( n ? 2) ----------------------7 分 n ?3 2

①当 n ? 2 时。左边= T2 ? b2 ? 2 ,右边 ?

2(2 ? 1)( 2 ? 1) ?2 3 k (k ? 1)( k ? 1) -------9 分 3

左边=右边,等式成立。---------------------8 分 ②假设当 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时,等式成立,即 Tk ? 那么,当 n ? k ? 1 时, 左边 ? Tk ? bk ?! ?
?

k (k ? 1)( k ? 1) k (k ? 1)( k ? 1) ? (k ? 1)[( k ? 1) ? 1] ? ? k (k ? 1) 3 3 k ?1 k (k ? 1)( k ? 2) (k ? 1)[( k ? 1) ? 1][( k ? 1) ? 1] ? k (k ? 1)( ? 1) ? ? ? 右 边 。 3 3 3

-------------1`2 分 故当 n ? k ? 1 时,等式成立。 综上①②,当 n ? 2 时, Tn ?

n(n ? 1)( n ? 1) -------------------14 分 3

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