最新北师大版数学必修四课件:单位圆与诱导公式_图文

北师大版数学课件

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第4课时

单位圆与诱导 公式

我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义,以及终边 相同的角的正弦、余弦函数值也相等,即sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z)与cos(2kπ+α)=cos α(k∈Z),公式体现了求任意 角的正弦、余弦函数值转化为求0°~360°的角的正弦、余弦 函数值,那么我们能否将0°~360°间的角的正弦、余弦函数 值转化为锐角的正弦、余弦函数值呢?

问题1




三 四

问题2

(1)角α与-α的正弦函数、余弦函数关系 如图,在单位圆中对任意角∠MOP=α,作 ∠MOP'=-α,这两个角的终边与单位圆的交点分 别为P和P',可知OP与OP'关于 x 轴对称,设 P点的坐标为(a,b),则点P'的坐标为(a,-b),所 以sin(-α)=-b,cos α=a.即sin(-α)= -sin α ,cos(-α)= cos α . (2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系 如图,在直角坐标系的单位圆中,对任意角∠MOP=α, 其终边与单位圆的交点为P,当点P按逆(顺)时针方向 旋转π至点P'时,点P'的坐标为 :(cos(α+π),sin(α+π))或(cos(α-π),sin(απ)),此时点P与点P'关于原点对称,横、纵坐标都互 为 相反数 ,故sin(α+π)= -sin α ,cos(α+π)= -cos α ;sin(α-π)= -sin α ,cos(α-π)= -cos α .

(3)角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系

sin α -cos α

cos α
问题3

-sin α

任意角的正弦函数与余弦函数的诱导公式 (1)sin(2kπ+α)= sin α ;cos(2kπ+α)= cos α ; -sin α ;cos(-α)= cos α ; (2)sin(-α)= (3)sin(2π-α)= -sin α ;cos(2π-α)= cos α ;

sin α
-sin α cos α cos α
问题4

-cos α -cos α -sin α sin α

同名 锐
余弦 锐

1

下列等式不正确的是( D ). A.sin(α+180°)=-sin α B.cos(-α+β)=-cos(α-β) C.sin(-α-360°)=-sin α D.cos(-α-β)=cos(α+β)
【解析】由诱导公式可知,A 正确;对于 B,cos(α +β )=cos[-(α -β )]=cos(α -β ),故 B 不正确;对 于 C,sin(-α -360°)=sin(-α )=-sin α ,故 C 正 确;对于 D,cos(-α -β )=cos[(α +β )]=cos(α +β ),故 D 正确.

2

函数 f(x)=cos 3 (x∈Z)的值域为( B ). A.{-1,-2 ,0,2 ,1} C.{-1,- 2 ,0, 2 ,1}
π 3

π

1

1

B.{-1,-2 ,2 ,1} D.{-1,- 2 , 2 ,1}


1 1 3

3

3

3

【解析】对 x 依次赋值 0,1,2,3,4,…,很容易选出.
3

若 sin(6 -θ)= 3 ,则 sin( 6 -θ)=
7π 6 π 6 π 6

.
3 3

【解析】sin( -θ )=sin[π +( -θ )]=-sin( -θ )=- .

4

已知 sin(π+α)+sin(-α)=-m,求 sin(3π+α)+2sin(2π-α)的值.
【解析】∵sin(π +α )+sin(-α )=-sin α -sin α =-2sin α =-m,∴sin α = ,而
2

sin(3π +α )+2sin(2π -α )=sin[2π +(π +α )]2sin α =sin(π +α )-2sin α =-sin α -2sin α =3sin α ,故 sin(3π +α )+2sin(2π -α )=- m.
2 3

利用诱导公式化简

求特殊角的三角函数值. (1)sin 1320°; (2)cos(- π).
3 31

【解析】(1)sin 1320°=sin(3×360°+240°)=sin 240° =sin(180°+60°)=-sin 60°=- .
2 3 31 3 π 3 π π 1 3 2

(2)cos(- π )=cos(-10π - )=cos(- )=cos = .
3

诱导公式在三角函数中的综合运用
已知 f(θ)=
sin ( -3π )cos (2π - )sin (- + cos (-π - )sin (-π - ) 1
3π ) 2

.

(1)化简 f(θ); (2)若 sin( 2 -θ)=5 ,求 f(θ)的值.
【解析】(1)f(θ )=
3π 2 (-sin )cos (-cos ) (-cos )sin 1 5



=-cos θ .

(2)∵sin( -θ )=-cos θ = , ∴f(θ )=-cos θ = .
5 1

利用诱导公式对三角函数式化简、求值或证明恒等式

化简:sin(

4 -1 4

π-α)+cos(
π 4

4 +1 4

π-α)(n∈Z).
π 4

【解析】原式=sin[nπ -( +α )]+cos[nπ +( -α )] =sin( +α )-cos( -α ) =sin[ -( -α )]-cos( -α ) =cos( -α )-cos( -α )=0.
4 4 2 π 4 4 π 4 π 4 π π π π

[问题]以上化简过程正确吗?
[结论]不正确,在化简过程中未对 n 加以讨论而导致 错误. 于是,正确解答如下: 原式=sin[nπ -( +α )]+cos[nπ +( -α )].
4 4 π π

①当 n=2k+1(k∈Z)时, 原式=sin[2kπ +π -( +α )]+cos[2kπ +π +( -α )]
4 4 π π π 4 π 4 π 4 π 4

=sin( +α )-cos( -α ) =cos( -α )-cos( -α )=0. ②当 n=2k(k∈Z)时, 原式=sin[2kπ -( +α )]+cos[2kπ +( -α )]
4 4 π π π 4 π 4

=-sin( +α )+cos( -α )=0. 综上可得,原式=0.

求 sin(- π)cos π+cos(- π)·sin( π)的值.
3 6 3 6

20

43

17

35

【解析】原式= -sin(6π + )cos(6π + π )+cos(4π + π )·sin(4π + π )=
3 6 3 6 2π 7 5 11 π 3 π 6 π 3 π 6 π 3 π 6

-sin(π - )cos(π + )+cos(2π - )sin(2π - )=sin cos cos sin = · - · = .
3 6 2 2 2 2 2 π π 3 3 1 1 1

已知 f(x)=

sin (π - )cos (2π - ) cos (- +x )
sin cos sin 31π 3
π 2

·

sin (- +π )

cos (- +π )

,求 f(-

31π 3

)的值.

【解析】∵f(x)= ∴f(π 3 31π 3 2

·

sin

)=-sin(-

)=sin

-cos 31π 3

=-sin x,
π 3

=sin(10π + )

=sin = .

3

2 sin [ +(2 +1)π ]+sin [ -(2 +1)π ] sin ( +2π )cos ( -2π )

已知 cos(π+α)=- ,且 α 是第四象限角,计算 (n∈Z)的值.

1

【解析】∵cos(π +α )=- ,∴-cos α =- ,cos
2 2

1

1

α = ,
2

1

∴ = = =

sin [ +(2 +1)π ]+sin [ -(2 +1)π ]

sin ( +2π )cos ( -2π ) sin (2π +π + )+sin (-2π -π + ) sin (2π + )cos (-2π + ) sin (π + )+sin (-π + ) sin cos -sin -sin (π - ) sin cos 2 cos

=

-2sin sin cos

=-

=-4.

19 1.sin(- π)的值等于( C ). 6

A.- 2

3

B.-2
19 6

1

C.

1 2
5 6

D.

3 2

【解析】∵sin(- π )=sin(-4π + π )=sin
5 6

π =sin(π - )=sin = ,故选 C.
6 6 2

π

π 1

2.已知 sin(α- )= ,则 cos( +α)的值为( D ). A.
2 2 3

π

1

π

B.-

4 3 2 2 3

C.

4 1 3

D.-

1 3

【解析】cos( +α )=sin[ -( +α )]=-sin(α - )=- .
4 2 4 4 3

π

π

π

π

1

3.5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°= 0 .
【解析】5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°=5×1+2×1-3×(-1)+10×(-1)=0.

4.化简

sin (2π - )cos (π + )sin ( -3π ) sin (- )sin (π - )sin (- - )
π 2

.

【解析】原式= =sin α cos α sin α sin α sin α cos α

-sin α ·(-cos α )·sin (-4π +π +α ) -sin α ·sin α ·sin [-(α + )]
π 2

=-1.


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