陕西省延安市黄陵县2016_2017学年高二数学下学期第四学月考试试题高新部文

高新部高二第四次学月考试文科数学试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.化简 cos 15°cos 45°-sin15°sin 45°的值为( A.- 1 2 B. 3 2 1 C. 2 ) D.- ) D.10 3 2

2.等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 , a3 ? a5 ? 10,则 a7 ? ( A.5 B.6 C.8

3.下列命题:①平行向量一定相等;② 不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量 是共线向量;④相等向量一定共线.其中 不正确 命题的序号是( ... A.①②③ 4.已知直线?
? ?x=3+4t ?y=-4+3t ?

) D.②④ )

B.①②

C.②③

(t 为参数),下列命题中错误的是(

A.直线经过点(7,-1) 3 B.直线的斜 率为 4 C.直线不过第二象限 D.|t|是定点 M0(3,-4)到该直线上对应点 M 的距离 1 ? ?x=1-2t 5.以 t 为参数的方程? 3 y=-2+ t ? ? 2 A.过点(1,-2)且倾斜角为 B.过点(-1,2)且倾斜角为 π 的直线 3

表示(

)

π 的直线 3 2π 的直线 3

C.过点(1,-2)且倾斜角为 D.过点(-1,2)且倾斜角为

2π 的直线 3 )

6.双曲线 - =1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是 ( 9 4 A.8x-9y=7 C.4x-9y=6 B.8x+9y=25 D.不存在 )

x2 y2

7.设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列结论正确的是( A.a+c>b+d B.a-c>b-d

1

C.ac>bd

D. >

a b d c
)

8.设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( A.b-a>0 C.b+a>0 9.曲线?
? ?x=1+cos θ ?y=-2+sin θ ?

B.a +b <0 D.a -b <0 的中心坐标为( ) B.(-1,2) D.(1,2)
? ?x=2cosθ ?y=2sinθ ?
2 2

3

3

A.(-2,1) C.(1,-2) 10.直线 x- 3y+4=0 与曲线? A.0 个 C.2 个
2 2

(θ 为参数)的公共点有( B.1 个 D.3 个 )

)

11.若 m=2x +2x+1,n=(x+1) ,则 m,n 的大小关系为( A.m>n C. m<n B.m≥n D.m≤n )

12.若 a<b<0,则下列不等式关系中不能成立的是( 1 1 A. >

a b

B.

1
2

a-b a
2

1 >

C.|a| >|b|

D.a >b

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1 x=t+ , ? ? t 13.过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线和曲线? 1 y=t- ? ? t 则线段 AB 长为__________ ________.

(t 为参数)相交于 A,B 两点,

?x=2cos θ , ? π 14.已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角α = ,设 l 与曲线? 6 ? ?y=2sin θ

(θ 为参数)交于两点

A,B,则点 P 到 A,B 两点的距离之积为__________ ________.

15.直线 l:x-y+4=0 与圆 C:?

? ?x=1+2cos θ ? ?y=1+2sin θ

,则 C 上各点到 l 的距离的最小值为_____.

2

x=2t, ? ? 16.点(-3,0)到直线? 2 (t 为参数)的距离为________. y= t ? 2 ?
三、解答题(17 题 10 分,其余 12 分,共 70 分) 5π 17.设直线 l 过点 P(-3,3),且倾斜角为 . 6 (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设此直线与曲线 C:?
?x=2cosθ , ? ? ?y=4sinθ

(θ 为参数)交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|;

(3)设 AB 中点为 M,求|PM|.

18.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐 标方程为ρ cosθ =4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|?|OP|=16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标 方程; (2)设点 A 的极坐标为(2, ) ,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值.

(2)求出曲线 C2 的圆心和半径,得出 B 到 OA 的最大距离,即可得出最大面积. 19.已知 a>0,b>0,a +b =2,证明: (1) (a+b) (a +b )≥4;
5 5 3 3

(2)a+b≤2. 3 a 3 b < ;

20.(1)已知 a>b>0,c<d<0,求证: (2)若 a>b>0,c<d<0,e<0, 求证: 2> 2. ?a-c? ?b-d?

d

c

e

e

21.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1( n ? N ). (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:

?

a a1 a2 n ? ? ? ? n ? ( n ? N ? ). a 2 a3 an?1 2

π? ? 22.在极坐标系中,P 是曲线ρ =12sin θ 上的动点,Q 是曲线ρ =12cos?θ - ?上的动点,试求 6? ? |PQ|的最大值.

3

参考答案 1-5. CCADC 6-10 AACCB 11-12.BB

13. 14.

2 17 2

15、2 2-2 16、1 17.解析: (1)直线 l 的参数方程是 5π 3 ? ?x=-3+tcos 6 =-3- 2 t, ? 5π 1 y=3+tsin =3+ t ? ? 6 2

(t 为参数).

(2)把曲线 C 的参数方程中参数θ 消去,得 4x +y -16=0.把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通 方程中,得 4?-3-
2

2

2

? ?

3 ?2 ? 1 ? 2 t? +?3+ t? -16=0. 2 ? ? 2 ?

即 13t +4(3+12 3)t+116=0. 由 t 的几何意义,知 |PA|·|PB|=|t1·t2|, 116 故|PA|·|PB|=|t1·t2|= . 13 (3)由 t 的几何意义,知 中点 M 的参数为

t1+t2
2



1 2?3+12 3? 故|PM|= |t1+t2|= . 2 13

4

18.【解答】解: (1)曲线 C1 的直角坐标方程为:x=4, 设 P(x,y) ,M(4,y0) ,则 ,∴y0= ,

∵|OM||OP|=16, ∴ =16,

即(x +y ) (1+

2

2

)=16,

整理得: (x﹣2) +y =4(x≠0) ,
2 2

2

2

∴点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程: (x ﹣2) +y =4(x≠0) . (2)点 A 的直角坐标为 A(1, ) , 显然点 A 在曲线 C2 上,|OA|=2, = . ,

∴曲线 C2 的圆心(2,0)到弦 OA 的距离 d= ∴△AOB 的最大面积 S= |OA|? (2+ )=2+

19.【解答】证明: (1)由柯西不等式得: (a+b) (a +b )≥( 当且仅当
3 3

5

5

+

) =(a +b ) ≥4,

2

3

3

2

=

,即 a=b=1 时取等号,
2 2

(2)∵a +b =2,∴(a+b) (a ﹣ab+b )=2, ∴(a+b)[(a+b) ﹣3ab]=2,∴(a+b) ﹣3ab( a+b)=2,∴ 由均值不等式可得: ∴(a+b) ﹣2≤
3 2 3

=ab,

=ab≤(
3

),

2

,∴ (a+b) ≤2,∴a+b≤2,当且仅当 a=b=1 时等号成立.

20.【证明】

(1)∵c<d<0,∴-c>-d>0.

1 1 ∴ 0<- <- .又 a>b>0,

c

d

∴- >- >0, 3 -a 3 -b 3 a 3 b >- .

a d

b c



d



c

,即-

d

c

两边同乘以-1,得

3 a 3 b < .

d

c

5

(2)∵c<d<0,∴-c>-d>0. ∵a>b>0,∴a-c>b-d>0, ∴(a-c) >( b-d) >0,∴ 又∵e<0, ∴
2 2

1 1 2< 2. ?a-c? ?b-d?

e
?a-c?

2

> 2. ?b-d?
*

e

21 解: (1)? an+1 = 2an + 1 (n ∈ N ) , ∴ an+1 + 1 = 2(an + 1) , ∴ {an + 1} 是以 a1 + 1 = 2 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ an + 1 = 2 . 即 an = 2 -1 .
n n

ak 2k ? 1 (2)证明:∵ ? ak ?1 2 k ?1 ? 1
2k ? 1 2k ? 1 1 ? ? , k ? 1,2,? n , < k k 2 ? 2 ? 1 ? 1 2(2 ? 1) 2


a a1 a2 n ? ??? n ? . a 2 a3 an?1 2

22.解析: ∵ρ =12sin θ ,∴ρ =1 2ρ sin θ , ∴x +y -12y=0, 即 x +(y-6) =36 π? ? 又∵ρ =12cos?θ - ?, 6? ? ∴ρ =12ρ (cos θ cos
2 2 2 2 2 2 2

2

π π +sin θ sin ), 6 6

∴x +y -6 3x-6y=0, ∴(x-3 3) +(y-3) =36. ∴|PQ|max=6+6+ ?3 3? +3 =18.
2 2 2 2

6


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