历年北京中考数学试题及答案(2010---2015)


2010 年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
学校 姓名 准考证号 1. 本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟。 考 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 生 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 须 4. 在答题卡上, 选择题、 作图题用 2B 铅笔作答, 其它试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5. 考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题 (本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的 1. ?2 的倒数是 (A) ?

1 2

(B)

1 2

(C) ?2 (D) 2。

2. 2010 年 6 月 3 日,人类首次模拟火星载人航天飞行试验 “火星-500”正式启动。包括中国志 愿 者王跃在内的 6 名志愿者踏上了为期 12480 小时的 “火星之旅”。 将 12480 用科学记数法表示 应为 (A) 12.48?103 (B) 0.1248?105 (C) 1.248?104 (D) 1.248?103。 3. 如图,在△ABC 中,点 D、E 分 AB、AC 边上,DE//BC,若 AD:AB=3:4, AE=6,则 AC 等于 (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8。 4. 若菱形两条对角线的长分别为 6 和 8,则这个菱形的周长为 (A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10。 5. 从 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 这十个数中随机取出一个数,取出 的数是 3 的倍数的概率是 (A)

6. 将二次函数 y=x2?2x?3 化为 y=(x?h)2?k 的形式,结果为 (A) y=(x?1)2?4 (B) y=(x?1)2?4 (C) y=(x?1)2?2 (D) y=(x?1)2?2。 7. 10 名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛,它们的身高(单位:cm)如下表所示: 甲队 乙对 正 确的是
2 2 (A) x甲 = x乙 , S甲 > S乙 2 2 (B) x甲 = x乙 , S甲 < S乙 2 2 (C) x甲 > x乙 , S甲 > S乙

1 5

(B)

3 10

(C)

1 3

(D)

1 。 2

队员 1 177 170

队员 2 176 175

队员 3 175 173

队员 4 172 174

队员 5 175 183

2 2 设两队队员身高的平均数依次为 x甲 , x乙 ,身高的方差依次为 S甲 , S乙 ,则下列关系中完全

(D)

x甲 < x乙 ,
2 2 > S乙 。 S甲

8. 美术课上,老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线剪开,用裁开的纸片和白 纸上的阴影部份围成一个立体模型,然后放在桌面上,下面四个示意图中,只有一 个符合上述要求,那么这个示意图是

二、填空题 (本题共 16 分,每小题 4 分) 9. 若二次根式 2x ? 1 有意义,则 x 的取值范围是 。 2 10. 分解因式:m ?4m= 。 11. 如图,AB 为圆 O 的直径,弦 CD?AB,垂足为点 E,连结 OC,若 OC=5, CD=8,则 AE= 。 12. 右图为手的示意图,在各个手指间标记字母 A、B、C、D。请你按图中箭头 所指方向(即 A?B?C?D?C?B?A?B?C?…的方式)从 A 开始数连续的 正整数 1,2,3,4…,当数到 12 时,对应的字母是 ;当字母 C 第 201 次出现时,恰好数到的数是 ;当字母 C 第 2n?1 次出现时(n 为正整数), 恰好数到的数是 (用含 n 的代数式表示)。 三、解答题 (本题共 30 分,每小题 5 分) ?1? 13. 计算: ? ? ?1?20100?|?4 3 |?tan60?。 ? 3?

14. 解分式方程

x 3 1 ? = 。 2x ? 4 x ? 2 2

15. 已知:如图,点 A、B、C、D 在同一条直线上,EA?AD,FD?AD,AE=DF, AB=DC。求证:?ACE=?DBF。 16. 已知关于 x 的一元二次方程 x2?4x?m?1=0 有两个相等的实数根,求 m 的值及方程的根。

17. 列方程或方程组解应用题: 2009 年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8 亿立方米,其中居民家庭用水比 生 产运营用水的 3 倍还多 0.6 亿立方米,问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米。 18. 如图,直线 y=2x?3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B。 (1) 求 A、B 两点的坐标; (2) 过 B 点作直线 BP 与 x 轴交于点 P,且使 OP=2OA,求△ABP 的 面积。

四、解答题 (本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC=AD=2,BC=4。 求?B 的度数及 AC 的长。

20. 已知:如图,在△ABC 中,D 是 AB 边上一点,圆 O 过 D、B、C 三点, ?DOC=2?ACD=90?。 (1) 求证:直线 AC 是圆 O 的切线; (2) 如果?ACB=75?,圆 O 的半径为 2,求 BD 的长。

21. 根据北京市统计局的 2006?2009 年空气质量的相关数据,绘制统计图如下: 2006?2009 年北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数统计图

(1) 由 统 计图中的信 息可知,北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相 比,增加最多的是 年,增加了 天; (2) 表上是根据 《中国环境发展报告(2010)》公布的数据会置的 2009 年十个城市供气质量达 到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表,请将表 1 中的空缺部分补充完整 (精确到 1%) 表 1 2009 年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计图 城市 北京 上海 天津 昆明 杭州 广州 南京 成都 沈阳 西宁 91% 84% 100% 89% 95% 86% 86% 90% 77% 百分比 (3) 根据表 1 中的数据将十个城市划分为三个组, 百分比不低于 95%的为 A 组,不低于 85%且低 于 95%的为 B 组,低于 85%的为 C 组。按此标 准,C 组城市数量在这十个城市中所占的百分 比为 %;请你补全右边的扇形统计图。

22. 阅读下列材料: 小贝遇到一个有趣的问题:在矩形 ABCD 中,AD=8cm,AB=6cm。 现有一动点 P 按下列方式在矩形内运动:它从 A 点出发,沿着 AB 边夹角为 45?的方向作直线运动,每次碰到矩形的一边,就会改变 运动方向,沿着与这条边夹角为 45?的方向作直线运动, 并且它一 直按照这种方式不停地运动,即当 P 点碰到 BC 边,沿着

BC 边夹 角为 45?的方向作直线运动,当 P 点碰到 CD 边,再沿着与 CD 边 夹角为 45?的方向作直线运动,…,如图 1 所示, 问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次,P 点 第一次与 D 点重合时所经过的路线的总长是多少。 小贝的思考是这样开始的:如图 2,将矩形 ABCD 沿直线 CD 折迭,得到矩形 A1B1CD,由轴对称的 知识,发现 P2P3=P2E,P1A=P1E。 请你参考小贝的思路解决下列问题: (1) P 点第一次与 D 点重合前与边相碰 次; P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是 cm; (2) 近一步探究:改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长,且满足 AD>AB,动点 P 从 A 点出发, 按照阅读材料中动点的运动方式,并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相 邻的两边上。若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次,则 AB:AD 的值为 。 五、解答题 (本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 8 分,第 25 题 7 分) 23. 已知反比例函数 y=

k 的图像经过点 A(? 3 ,1)。 x

(1) 试确定此反比例函数的解析式; (2) 点 O 是坐标原点,将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30?得到线段 OB。判断点 B 是否在此 反比例函数的图像上,并说明理由; (3) 已知点 P(m, 3 m?6)也在此反比例函数的图像上(其中 m<0),过 P 点作 x 轴的垂线, 交 x 轴于点 M。 若线段 PM 上存在一点 Q, 使得△OQM 的面积是 求 n2?2 3 n?9 的值。

1 , 设 Q 点的纵坐标为 n, 2

24. 在平面直角坐标系 xOy 中,拋物线 y= ?

m ? 1 2 5m x? x?m2?3m?2 4 4

与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A,点 B(2,n)在这条拋物线上。 (1) 求点 B 的坐标; (2) 点 P 在线段 OA 上,从 O 点出发向点运动,过 P 点作 x 轴的 垂线,与直线 OB 交于点 E。延长 PE 到点 D。使得 ED=PE。 以 PD 为斜边在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当 P 点运动 时,C 点、D 点也随之运动) ? 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此拋物线上时,求 OP 的长; ? 若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA 上另一 点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动,速度为每秒 2 个单位(当 Q 点到达 O 点时停止 运动,P 点也同时停止运动)。过 Q 点作 x 轴的垂线,与直线 AB 交于点 F。延长 QF 到点 M,使得 FM=QF,以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN(当 Q 点运动时,M 点,N 点也随之运动)。若 P 点运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻 t 的值。 25. 问题:已知△ABC 中,?BAC=2?ACB,点 D 是△ABC 内的一点,且 AD=CD,BD=BA。 探究?DBC 与?ABC 度数的比值。 请你完成下列探究过程: 先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当?BAC=90?时,依问题中的条件补全右图。 观察图形,AB 与 AC 的数量关系为 ; 当推出?DAC=15?时,可进一步推出?DBC 的度数为 ; 可得到?DBC 与?ABC 度数的比值为 ;

(2) 当?BAC?90?时,请你画出图形,研究?DBC 与?ABC 度数的比值 是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。

北京市 2011 年中考数学试卷—解析版
一、选择题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 1、 (2011?北京)﹣ 的绝对值是( A、﹣ B、 C、﹣ ) D、

考点:绝对值。 专题:计算题。 分析:数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值. 解答:解:数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值,在数轴上,点﹣ 到原点的距离 是 ,所以﹣ 的绝对值是﹣ . 故选 D. 点评:本题考查绝对值的基本概念:数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值. 2、 (2011?北京)我国第六次全国人口普查数据显示,居住在城镇的人口总数达到 665 575 306 人.将 665 575 306 用科学记数法表示(保留三个有效数字)约为( ) 7 8 8 7 A、66.6× 10 B、0.666× 10 C、6.66× 10 D、6.66× 10 考点:科学记数法与有效数字。 n 分析:科学记数法的表示形式为 a× 10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值是易错 点,由于 1 048 576 有 7 位,所以可以确定 n=7﹣1=6. 有效数字的计算方法是:从左边第一个不是 0 的数字起,后面所有的数字都是有效数字. 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关,与 10 的多少次方无关. 8 解答:解:665 575 306≈6.66×10 . 故选 C. 点评:此题考查科学记数法的表示方法,以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法. 3、 (2011?北京)下列图形中,即是中心对称又是轴对称图形的是( ) A、等边三角形 B、平行四边形 C、梯形 D、矩形 考点:中心对称图形;轴对称图形。 分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解,四个选项中,只有 D 选项既为中心对称图 形又是轴对称图形 解答:解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项错误; B、是不是轴对称图形,是中心对称图形.故本选项错误; C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项错误; D、既是轴对称图形,又是中心对称图形.故本选项正确. 故选 D. 点评:本题主要考察中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图 形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形的关键是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原 图重合. 4、 (2011?北京) 如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC,对角线 AC,BD 相交于点 O,若 AD ? 1 ,

BC ? 3 ,则

AO 的值为( CO

)

A、

B、

C、

D、

考点:相似三角形的判定与性质;梯形。

专题:证明题。 分析:根据梯形的性质容易证明△ AOD∽△COB,然后利用相似三角形的性质即可得到 AO: CO 的值. 解答:解:∵四边形 ABCD 是梯形,∴AD∥CB, ∴△AOD∽△COB,∴ ∵AD=1,BC=3. ∴ = . ,

故选 B. 点评:此题主要考查了梯形的性质,利用梯形的上下底平行得到三角形相似,然后用相似三角 形的性质解决问题. 5、 (2011?北京)北京今年 6 月某日部分区县的高气温如下表: 区县 大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门 头 延庆 昌平 密云 房山 沟 32 30 32 30 32 29 32 30 32 最高气温 32 则这 10 个区县该日最高气温的众数和中位数分别是( ) A、32,32 B、32,30 C、30,32 D、32,31 考点:众数;中位数。 专题:计算题。 分析:找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中 位数,众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个. 解答:解:在这一组数据中 32 是出现次数最多的,故众数是 32; 处于这组数据中间位置的数是 32、32,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是 32. 故选 A. 点评:本题为统计题,考查众数与中位数的意义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小) 重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数) ,叫做这组数据的中位数,如果中位 数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错. 6、 (2011?北京)一个不透明的盒子中装有 2 个白球,5 个红球和 8 个黄球,这些球除颜色外, 没有任何其他区别,现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到红球的概率为( ) A、 B、 C、 D、

考点:概率公式。 专题:计算题。 分析:根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值 就是其发生的概率. 解答:解:根据题意可得:一个不透明的盒子中装有 2 个白球,5 个红球和 8 个黄球,共 15 个, 摸到红球的概率为 = ,

故选 B. 点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事 件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= . 7、 (2011?北京)抛物线 y ? x ? 6x ? 5 的顶点坐标为( ) A、 (3,﹣4) B、 (3,4) C、 (﹣3,﹣4) D、 (﹣3,4) 考点:二次函数的性质。 专题:应用题。 分析:利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式,求顶点坐标;或者用顶点坐标公式求解.
2

解答:解:∵ y ? x ? 6x ? 5 ,
2

=x ﹣6x+9﹣9+5,

2

=(x﹣3) ﹣4, ∴抛物线 y ? x2 ? 6x ? 5 的顶点坐标是(3,﹣4) . 故选 A. 点评:本题主要考查了二次函数的性质,配方法求顶点式,难度适中. 8、 (2011?北京)如图在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90° ,∠BAC=30° ,AB=2,D 是 AB 边上的一个 动点(不与点 A、B 重合) ,过点 D 作 CD 的垂线交射线 CA 于点 E.设 AD=x,CE=y,则下列 图象中,能表示 y 与 x 的函数关系图象大致是( )

2

A、

B、

C



D、 考点:动点问题的函数图象。 专题:数形结合。 分析:本题需先根据题意,求出 y 与 x 的函数关系式,即可得出 y 与 x 的函数关系图象. 解答:解:∵∠ACB=90° ,∠BAC=30° ,AB=2 ∴当 x=0 时,y 的值是 .

∵当 x=2 时,y 的值无限大 ∴y 与 x 的函数关系图象大致是 B. 故选 B. 点评: 本题主要考查了动点问题的函数图象, 在解题时要能根据题意得出函数关系本题的关键. 二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 9、 (2011?北京)若分式 的值为 0,则 x 的值等于 8 .

考点:分式的值为零的条件。 专题:计算题。 分析:根据分式的值为零的条件:分子=0,分母≠0,可以求出 x 的值. 解答:解:x﹣8=0,x=8, 故答案为:8. 点评:此题主要考查了分式的值为 0 的条件,若分式的值为零,需同时具备两个条件: (1)分 子为 0; (2)分母不为 0.这两个条件缺一不可. 3 2 2 10、 (2006?巴中)分解因式:a ﹣10a +25a= a(a﹣5) . 考点:提公因式法与公式法的综合运用。 分析:先提取公因式 a,再利用完全平方公式继续分解. 3 2 解答:解:a ﹣10a +25a, 2 =a(a ﹣10a+25) , (提取公因式) 2 =a(a﹣5) . (完全平方公式) 点评:本题考查了提公因式法,公式法分解因式,关键在于提取公因式后可以利用完全平方公 式继续进行二次分解,分解因式一定要彻底. 11、 (2011?北京)若下图是某几何体的表面展开图,则这个几何体是 圆柱 . 考点:由三视图判断几何体。 专题:图表型。

分析:由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题. 解答:解:一个长方形和两个圆折叠后,能围成的几何体是圆柱. 故答案为:圆柱. 点评:本题考查了展开图折叠成几何体,熟记常见几何体的平面展开图的特征,是解决此类问 题的关键. 12、 (2011?北京)在右表中,我们把第 i 行第 j 列的数记为 ai,j(其中 i,j 都是不大于 5 的正整 数) ,对于表中的每个数 ai,j,规定如下:当 i≥j 时,ai,j=1;当 i<j 时,ai,j=0.例如:当 i=2, j=1 时,ai,j=a2,1=1.按此规定,a1,3= 0 ;表中的 25 个数中,共有 15 个 1;计算 a1,1?ai, 1+a1,2?ai,2+a1,3?ai,3+a1,4?ai,4+a1,5?ai,5 的值为 1 . a1,1 a2,1 a3,1 a4,1 a1,2 a2,2 a3,2 a4,2 a1,3 a2,3 a3,3 a4,3 a1,4 a2,4 a3,4 a4,4 a1,5 a2,5 a3,5 a4,5

a5,1 a5,2 a5,3 a5,4 a5,5 考点:规律型:数字的变化类。 分析:由题意当 i<j 时,ai,j=0.当 i≥j 时,ai,j=1;由图表中可以很容易知道等于 1 的数有 15 个. 解答:解:由题意,很容易发现,从 i 与 j 之间大小分析: 当 i<j 时,ai,j=0. 当 i≥j 时,ai,j=1; 由图表可知 15 个 1. 故填:0;15;1. 点评:本题考查了数字的变化,由题意当 i<j 时,ai,j=0.当 i≥j 时,ai,j=1;仔细分析很简单 的问题. 三、解答题(共 13 小题,满分 72 分)
?1 0 13、 (2011?北京)计算: ( ) ? 2 cos 30? ? 27 ? (2 ? ?? .

1 2

考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值。 专题:计算题。 分析:根据负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质化简,然后根据实数 运算法则进行计算即可得出结果. 解答:解:原式=2﹣2× +3 +1=2﹣ +3 +1=2 +3.

点评:本题主要考查了负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质及实数运 算法则,难度适中. 14、 (2011?北京)解不等式: 4( x ? 1) ? 5 x ? 6 . 考点:解一元一次不等式。 分析:根据不等式的解法,去括号,移项,合并同类项,把 x 的系数化为 1 解不等式,注意不 等式的两边同时除以同一个负数时,要改变不等号的方向. 解答:解:去括号得:4x﹣4>5x﹣6, 移项得:4x﹣5x>4﹣6, 合并同类项得:﹣x>﹣2, 把 x 的系数化为 1 得:x<2, ∴不等式的解集为:x<2. 点评:此题主要考查了不等式的解法,一定要注意符号的变化,和不等号的变化情况. 2 2 15、 (2011?北京)已知 a +2ab+b =0,求代数式 a(a+4b)﹣(a+2b) (a﹣2b)的值. 考点:整式的混合运算—化简求值。 专题:计算题。 分析:本题需先要求的式子进行化简整理,再根据已知条件求出 a+b 的值,即可求出最后结果.

解答:解:a(a+4b)﹣(a+2b) (a﹣2b) 2 2 2 2 =a +4ab﹣(a ﹣4b )=4ab+4b 2 2 ∵a +2ab+b =0 ∴a+b=0 ∴原式=4b(a+b)=0 点评:本题主要考查了整式的混合运算,在解题时要注意运算顺序和乘法公式的综合应用是本 题的关键. 16、 (2011?北京)如图,点 A、B、C、D 在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.求 证:AE=FC.

考点:全等三角形的判定与性质;平行线的性质。 专题:证明题。 分析:根据 BE∥DF,可得∠ABE=∠D,再利用 ASA 求证△ ABC 和△ FDC 全等即可. 解答:证明:∵BE∥DF,∴∠ABE=∠D, 在△ ABC 和△ FDC 中,∠ABE=∠D,AB=FD,∠A=∠F ∴△ABC≌△FDC,∴AE=FC. 点评:此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握,此 题的关键是利用平行线的性质求证△ ABC 和△ FDC 全等. 17、 (2011?北京)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=﹣2x 的图象与反比例函数 y= 的图象的一个交点为 A(﹣1,n) . (1)求反比例函数 y= 的解析式; (2)若 P 是坐标轴上一点,且满足 PA=OA,直接写出点 P 的坐标.

考点:反比例函数与一次函数的交点问题。 专题:代数综合题。 分析: (1)把 A 的坐标代入函数解析式即可求得 k 的值,即可得到函数解析式; (2)以 A 为圆心,以 OA 为半径的圆与坐标轴的交点就是 P. 解答:解: (1)∵点 A(﹣1,n)在一次函数 y=﹣2x 的图象上. ∴n=﹣2× (﹣1)=2 ∴点 A 的坐标为(﹣1,2) ∵点 A 在反比例函数的图象上.∴k=﹣2 ∴反比例函数的解析式是 y=﹣ . (2)点 P 的坐标为(﹣2,0)或(0,4) . 点评:本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式,用待定系数法确定函数的解析式,

是常用的一种解题方法.同学们要熟练掌握这种方法. 18、 (2011?北京)列方程或方程组解应用题: 京通公交快速通道开通后,为响应市政府“绿色出行”的号召,家住通州新城的小王上班由自驾 车改为乘坐公交车.已知小王家距上班地点 18 千米.他用乘公交车的方式平均每小时行驶的 路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的 2 倍还多 9 千米, 他从家出发到达上班地点, 乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的 .小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多 少千米? 考点:分式方程的应用。 专题:行程问题。 分析: 设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 x 千米, 根据已知小王家距上班地点 18 千米. 他 用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的 2 倍还 多 9 千米,他从家出发到达上班地点,乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的 ,可 列方程求解. 解答:解:设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 x 千米, = ×

x=27 经检验 x=27 是原方程的解,且符合题意. 小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 27 千米. 点评:本题考查理解题意的能力,关键是以时间做为等量关系,根据乘公交车方式所用时间是 自驾车方式所用时间的 列方程求解. 19、 (2011?北京)如图,在△ ABC 中,∠ACB=90° ,D 是 BC 的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若 AC=2,CE=4,求四边形 ACEB 的周长.

考点:平行四边形的判定与性质;勾股定理。 专题:几何图形问题。 分析:先证明四边形 ACED 是平行四边形,可得 DE=AC=2.由勾股定理和中线的定义可求 AB 和 EB 的长,从而求出 四边形 ACEB 的周长. 解答:∵ ?ACB=90?,DE?BC, ∴ AC//DE,又∵ CE//AD, ∴ 四边形 ACED 是平行四边形, ∴ DE=AC=2, 在 Rt△CDE 中,由勾股定理得 CD= CE2 ? DE 2 =2 3 , ∵ D 是 BC 的中点, ∴ BC=2CD=4 3 . 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AB= AC 2 ? BC 2 =2 13 , ∵ D 是 BC 的中点,DE?BC,

∴ EB=EC=4, ∴ 四边形 ACEB 的周长=AC?CE?EB?BA=10?2 13 。 点评:本题考查了平行四边形的判定与性质,勾股定理和中线的定义,注意寻找求 AB 和 EB 的长的方法和途径. 20、 (2011?北京)如图,在△ ABC,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 D、E, 点 F 在 AC 的延长线上,且∠CBF= ∠CAB. (1)求证:直线 BF 是⊙O 的切线; (2)若 AB=5,sin∠CBF= ,求 BC 和 BF 的长.

考点:切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形。 专题:证明题;综合题。 分析: (1)连接 AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形 两锐角相等得到直角,从而证明∠ABE=90° . (2)利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA,利用比例式求得线段的长即可. 解答:解: (1)证明:连接 AE, ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=90° ,∴∠1+∠2=90° . ∵AB=AC,∴∠1= ∠CAB. ∵∠CBF= ∠CAB,∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即∠ABF=90° ∵AB 是⊙O 的直径,∴直线 BF 是⊙O 的切线. (2)过点 C 作 CG⊥AB 于点 G. ∵sin∠CBF= ,∠1=∠CBF,∴sin∠1= , , ,

∵∠AEB=90° ,AB=5,∴BE=AB?sin∠1= ∵AB=AC,∠AEB=90° ,∴BC=2BE=2 在 Rt△ ABE 中,由勾股定理得 AE=2 ∴sin∠2= ,cos∠2= ,

在 Rt△ CBG 中,可求得 GC=4,GB=2,∴AG=3, ∵GC∥BF,∴△AGC∽△BFA ∴ ∴BF= =

点评:本题考查常见的几何题型,包括切线的判定,角的大小及线段长度的求法,要求学生掌

握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题. 解法 2: 连接 AE,作 CG 垂直 BF 于 G. 21、 (2011?北京)以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据,绘制统计图 的一部分.

请根据以上信息解答下列问题: (1)2008 年北京市私人轿车拥有是多少万辆(结果保留三个有效数字)? (2)补全条形统计图; (3)汽车数量增多除造成交通拥堵外,还增加了碳排放量,为了了解汽车碳排放量的情况, 小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关.如:一辆排量为 1.6L 的轿车,如果 一年行驶 1 万千米,这一年,它碳排放量约为 2.7 吨.于是他调查了他所居住小区的 150 辆私 人轿车,不同排量的轿车数量如下表所示. 1.6 1.8 排量(L) 小 1.6 大于 1.8 29 75 31 15 数量(辆) 如果按照小明的统计数据,请你通过计算估计,2010 年北京市仅排量为 1.6L 的这类私人轿车 (假设每辆车平均一行行驶 1 万千米)的碳排放总量约为多少万吨? 考点:折线统计图;条形统计图。 专题:数形结合。 分析: (1)用 2007 年北京市私人轿车拥有辆乘以增长率再加上 2007 年的拥有量即可解答. (1)根据上题解答补全统计图即可. (3)先求出本小区内排量为 1.6L 的这类私人轿车所占的百分比,再用样本估计总体的方法求 出排放总量即可解答. 解答:解: (1)146× (1+19%) , =173.74, ≈174(万辆) , 所以 2008 年北京市私人轿车拥有量约是 174 万辆; (2)如图. (3)276× × 2.7=372.6(万吨) ,

所以估计 2010 年北京市仅排量为 1.6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为 372.6 万吨.

点评:本题考查了折线统计图、条形统计图的知识,难度较大,注意解答此类综合题目时要抓 住每种统计图的特点,不要弄混. 22、 (2011?北京)阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题,如图 1,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC,BD 相交于点 O.若 梯形 ABCD 的面积为 1,试求以 AC,BD,AD+BC 的长度为三边长的三角形的面积.

小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形, 再计算其面积即可. 他先后尝试了翻折, 旋转, 平移的方法, 发现通过平移可以解决这个问题. 他 的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E, 得到的△ BDE 即是以 AC, BD, AD+BC 的长度为三边长的三角形(如图 2) . 参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题: 如图 3,△ ABC 的三条中线分别为 AD,BE,CF. (1)在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD,BE,CF 的长度为三边长的一个三角形(保留 画图痕迹) ; (2)若△ ABC 的面积为 1,则以 AD,BE,CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 . 考点:平移的性质;三角形的面积;作图—复杂作图。 专题:探究型。 分析:根据平移可知,△ ADC≌△ECD,且由梯形的性质知△ ADB 与△ ADC 的面积相等,即 △ BDE 的面积等于梯形 ABCD 的面积. (1)分别过点 F、C 作 BE、AD 的平行线交于点 P,得到的△ CFP 即是以 AD、BE、CF 的长 度为三边长的一个三角形. (2)由平移的性质可得对应线段平行且相等,对应角相等.结合图形知以 AD,BE,CF 的长 度为三边长的三角形的面积等于△ ABC 的面积的 . 解答:解:△ BDE 的面积等于 1. (1)如图.以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形是△ CFP.

(2)以 AD、BE、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 . 解法 2: △PFE 的面积=△AFE 的面积=△ABC 的面积/4 △FEC 的面积=△AFE 的面积=△ABC 的面积/4 △PEC 的面积=△AFC 的面积/2=△ABC 的面积/4 △CFD 的面积=△FEP 的面积+△FEC 的面积+△PEC 的面积=△ABC 的面积*3/4=3/4 点评:本题考查平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连 的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等. 2 23、 (2011?北京)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=mx +(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C. (1)求点 A 的坐标; (2)当∠ABC=45° 时,求 m 的值; (3)已知一次函数 y=kx+b,点 P(n,0)是 x 轴上的一个动点,在(2)的条件下,过点 P 垂 2 直于 x 轴的直线交这个一次函数的图象于点 M,交二次函数 y=mx +(m﹣3)x﹣3(m>0)的 图象于 N.若只有当﹣2<n<2 时,点 M 位于点 N 的上方,求这个一次函数的解析式.

考点:二次函数综合题。 专题:代数综合题。 分析: (1)令 y=0 则求得两根,又由点 A 在点 B 左侧且 m>0,所以求得点 A 的坐标; (2)二次函数的图象与 y 轴交于点 C,即求得点 C,由∠ABC=45° ,从而求得; (3)由 m 值代入求得二次函数式,并能求得交点坐标,则代入一次函数式即求得. 2 解答:解: (1)∵点 A、B 是二次函数 y=mx +(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象与 x 轴的交点, 2 ∴令 y=0,即 mx +(m﹣3)x﹣3=0 解得 x1=﹣1, 又∵点 A 在点 B 左侧且 m>0 ∴点 A 的坐标为(﹣1,0) (2)由(1)可知点 B 的坐标为 ∵二次函数的图象与 y 轴交于点 C ∴点 C 的坐标为(0,﹣3) ∵∠ABC=45° ∴ ∴m=1
2

(3)由(2)得,二次函数解析式为 y=x ﹣2x﹣3 依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2 和 2, 由此可得交点坐标为(﹣2,5)和(2,﹣3) ,将交点坐标分别代入一次函数解析式 y=kx+b 中, 得 解得: ∴一次函数解析式为 y=﹣2x+1

点评:本题考查了二次函数的综合运用, (1)令 y=0 则求得两根,又由 AB 位置确定 m>0, 即求得; (2)二次函数的图象与 y 轴交于点 C,再由 45 度从而求得. (3)由 m 值代入求得二 次函数式,求得交点坐标,则代入一次函数式即求得.本题比较模糊,按照一般计算,代入即 求得. 24、 (2011?北京)在? ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E,交直线 DC 于点 F. (1)在图 1 中证明 CE=CF; (2)若∠ABC=90° ,G 是 EF 的中点(如图 2) ,直接写出∠BDG 的度数; (3)若∠ABC=120° ,FG∥CE,FG=CE,分别连接 DB、DG(如图 3) ,求∠BDG 的度数.

考点:平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;菱形 的判定与性质。 专题:计算题;证明题。 分析: (1)根据 AF 平分∠BAD,可得∠BAF=∠DAF,利用四边形 ABCD 是平行四边形,求 证∠CEF=∠F.即可 (2)根据∠ABC=90° ,G 是 EF 的中点可直接求得. (3)分别连接 GB、GE、GC,求证四边形 CEGF 是平行四边形,再求证△ ECG 是等边三角形. 由 AD∥BC 及 AF 平分∠BAD 可得∠BAE=∠AEB,求证△ BEG≌△DCG,然后即可求得答案 解答:解: (1)如图 1, ∵AF 平分∠BAD, ∴∠BAF=∠DAF, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD, ∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F, ∴∠CEF=∠F. ∴CE=CF. (2)∠BDG=45° (3)解:分别连接 GB、GE、GC, ∵AD∥BC,∠ABC=120° ∴∠ECF=∠ABC=120° ∵FG∥CE 且 FG=CE, ∴四边形 CEGF 是平行四边形, 由 (1)得 CE=CF. ∴四边形 CEGF 是菱形, ∴GE=EC,① ∠GCF=∠GCE= ∠ECF=60° ,

∴△ECG 是等边三角形. ∴EG=CG,∠GEC=∠EGC, ∴∠GEC=∠FGC, ∴∠BEG=∠DCG,② 由 AD∥BC 及 AF 平分∠BAD 可得∠BAE=∠AEB, ∴AB=BE, 在? ABCD 中,AB=DC, ∴BE=DC,③ 由①②③得△ BEG≌△DCG, ∴BG=DG,∠1=∠2 ∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60° , ∴∠BDG= =60°

点评:此题主要考查平行四边形的判定方法,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与 性质,菱形的判定与性质等知识点,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条 件合理、灵活地选择方法. 25、 (2011?北京)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,我把由两条射线 AE,BF 和以 AB 为直径 的半圆所组成的图形叫作图形 C(注:不含 AB 线段) .已知 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,AE∥BF, 且半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上. (1)求两条射线 AE,BF 所在直线的距离; (2)当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时,写出 b 的取值范围; 当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时,写出 b 的取值范围; (3)已知? AMPQ(四个顶点 A,M,P,Q 按顺时针方向排列)的各顶点都在图形 C 上,且 不都在两条射线上,求点 M 的横坐标 x 的取值范围.

考点:一次函数综合题;勾股定理;平行四边形的性质;圆周角定理。 专题:综合题;分类讨论。 分析: (1)利用直径所对的圆周角是直角,从而判定三角形 ADB 为等腰直角三角形,其直角 边的长等于两直线间的距离; (2)利用数形结合的方法得到当直线与图形 C 有一个交点时自变量 x 的取值范围即可; (3)根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形 C 上,可能会出现四种情况,分类讨论即 可. 解答:解: (1)分别连接 AD、DB,则点 D 在直线 AE 上, 如图 1, ∵点 D 在以 AB 为直径的半圆上, ∴∠ADB=90° , ∴BD⊥AD,

在 Rt△ DOB 中,由勾股定理得,BD= 2 , ∵AE∥BF, ∴两条射线 AE、BF 所在直线的距离为 2 . (2)当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时,b 的取值范围是 b= 2 或﹣1 <b<1; 当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时,b 的取值范围是 1<b< 2 (3)假设存在满足题意的平行四边形 AMPQ,根据点 M 的位置,分以下四种情况讨论: ①当点 M 在射线 AE 上时,如图 2. ∵AMPQ 四点按顺时针方向排列,∴直线 PQ 必在直线 AM 的上方, ∴PQ 两点都在弧 AD 上,且不与点 A、D 重合,∴0<PQ< 2 . ∵AM∥PQ 且 AM=PQ,∴0<AM< 2 ∴﹣2<x<﹣1, ②当点 M 不在弧 AD 上时,如图 3, ∵点 A、M、P、Q 四点按顺时针方向排列,∴直线 PQ 必在直线 AM 的下方, 此时,不存在满足题意的平行四边形. ③当点 M 在弧 BD 上时,设弧 DB 的中点为 R,则 OR∥BF, 当点 M 在弧 DR 上时,如图 4,过点 M 作 OR 的垂线交弧 DB 于点 Q,垂足为点 S,可得 S 是 MQ 的中点. ∴四边形 AMPQ 为满足题意的平行四边形,∴0≤x< 当点 M 在弧 RB 上时,如图 5, 直线 PQ 必在直线 AM 的下方, 此时不存在满足题意的平行四边形. ④当点 M 在射线 BF 上时,如图 6, 直线 PQ 必在直线 AM 的下方, 此时,不存在满足题意的平行四边形. 综上,点 M 的横坐标 x 的取值范围是 ﹣2<x<﹣1 或 0≤x< . .

点评:本题是一道一次函数的综合题,题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周 角定理的相关知识,题目中还渗透了分类讨论思想.

2012 年北京市高级中等学校招生考试

数 学 试 卷
学校 姓名 准考证号 1.本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟。 考 生 须 知 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1. ?9 的相反数是 A. ?

1 9

B.

1 9

C. ? 9

D.9

2. 首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于 2012 年 6 月 1 日闭幕,本届京交会 期间签订的项目成交总金额达 60 110 000 000 美元, 将 60 110 000 000 用科学记数法表示应 为 A. 6.011 ? 109 B. 60.11 ? 109 C. 6.011 ? 1010 D. 0.6011? 1011

3. 正十边形的每个外角等于 A. 18 ? C. 45 ? B. 36 ? D. 60 ?

4. 右图是某个几何体的三视图,该几何体是 A.长方体 B.正方体 C.圆柱 D.三棱柱 5. 班主任王老师将 6 份奖品分别放在 6 个完全相同的不透明礼盒中,准备将它们奖给小英等 6 位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中 3 份是学习文具,2 份是科普读物,1 份是 科技馆通票.小英同学从中随机取一份奖品,恰好取到科普读物的概率是 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

CD 交于点 O , O M 6. 如图, 直线 AB , 射线 OM 平分 ?AOC , 若 ?BOD ? 76? , 则 ?B

等于 A. 38 ? C. 142? B. 104? D. 144?

7. 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用电量,如下表所示:
用电量(度) 户数 120 2 140 3 160 6 180 7 200 2

则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是 A.180,160 B.160,180 C.160,160 D.180,180

8. 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步, 他从点 A 出发, 沿箭头所示方向经过点 B 跑到点 C , 共用时 30 秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间 为 t (单位:秒) ,他与教练的距离为 y (单位:米) ,表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如 图 2 所示,则这个固定位置可能是图 1 中的 A.点 M B.点 N C.点 P D.点 Q

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. 分解因式: mn2 ? 6mn ? 9m ? . .

10.若关于 x 的方程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有两个相等的实数根,则 m 的值是 11.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度

AB ,他调整自己的位置,设法使斜边 DF 保持水平,并且边 DE 与 点 B 在 同 一 直 线 上 . 已 知 纸 板 的 两 条 直 角 边
DE ? 4 0 c m, EF ? 20 cm , 测 得 边 DF 离 地 面 的 高 度 AC ? 1.5m , CD ? 8m ,则树高 AB ?

m.

12.在平面直角坐标系 xOy 中,我们把横 、纵坐标都是 整数的点叫做整点.已知点 A ? 0 , 4? ,点 B 是 x 轴 正半轴上的整点,记 △ AOB 内部(不包括边界)的 整点个数为 m .当 m ? 3 时,点 B 的横坐标的所有 可能值是 正整数)时, m ? ;当点 B 的横坐标为 4 n ( n 为 (用含 n 的代数式表示. )

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)

?1? 13.计算: ? π ? 3? ? 18 ? 2sin 45? ? ? ? . ?8?
0

?1

?4 x ? 3 ? x , 14.解不等式组: ? ? x ? 4 ? 2 x ? 1.

15.已知

a b 5a ? 2b ? ≠ 0 ,求代数式 2 ? ? a ? 2b ? 的值. 2 3 a ? 4b2

16.已知:如图,点 E ,A ,C 在同一条直线上, AB ∥ CD ,
AB ? CE ,AC ? CD .

求证: BC ? ED .

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y ?
y ? kx ? k 的图象的交点为 A ? m , 2? .

4 ? x ? 0? 的图象与一次函数 x

(1)求一次函数的解析式; (2)设一次函数 y ? kx ? k 的图象与 y 轴交于点 B ,若 P 是 x 轴上一点, 且满足 △ PAB 的面积是 4,直接写出点 P 的坐标.

18.列方程或方程组解应用题: 据林业专家分析,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物,具 有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘 量的 2 倍少 4 毫克,若一年滞尘 1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550 毫克所需的

国槐树叶的片数相同,求一片国槐树叶一年的平均滞尘量.

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC ,BD 交于点 E ,

?BAC ? 90? , ?CED ? 45? , ?DCE ? 30? , DE ? 2 ,
BE ? 2 2 .求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积.

20.已知:如图, AB 是 ⊙O 的直径,C 是 ⊙O 上一点,OD ⊥ BC 于点 D , 过点 C 作 ⊙O 的切线,交 OD 的延长线于点 E ,连结 BE . (1)求证: BE 与 ⊙O 相切;

2 (2) 连结 AD 并延长交 BE 于点 F , 若 OB ? 9 ,n 求 BF i s ?ABC ? , 3
的长.

21.近年来,北京市大力发展轨道交通,轨道运营里程大幅增加,2011 年北京市又调整修订了 2010 至 2020 年轨道交通线网的发展规划.以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有 关数据制作的统计图表的一部分.

北京市轨道交通已开通线路 相关数据统计表(截至 2010 年底) 运营里程 开通时间 开通线路 (千米) 1971 31 1 号线 1984 23 2 号线 41 13 号线 2003 19 八通线 2007 28 5 号线 5 8 号线 2008 25 10 号线 28 机场线 2009 28 4 号线 22 房山线 22 大兴线 2010 23 亦庄线 21 昌平线 20 15 号线

请根据以上信息解答下列问题: (1)补全条形统计图并在图中标明相应数据; (2)按照 2011 年规划方案,预计 2020 年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米? (3)要按时完成截至 2015 年的轨道交通规划任务,从 2011 到 2015 这 4 年中,平均每年 需新增运营里程多少千米? 22.操作与探究:

1 (1)对数轴上的点 P 进行如下操作:先把点 P 表示的数乘以 ,再把所得数对应的点向 3
右平移 1 个单位,得到点 P 的对应点 P? . 点 A ,B 在数轴上,对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 A?B? ,其中点
A ,B 的对应点分别为 A? ,B? .如图 1 ,若点 A 表示的数是 ?3 ,则点 A? 表示的数



;若点 B? 表示的数是 2,则点 B 表示的数是

;已知线段 AB 上的 ;

点 E 经过上述操作后得到的对应点 E? 与点 E 重合,则点 E 表示的数是

(2)如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,对正方形 ABCD 及其内部的每 个点进行如下操作:把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数 a , 将得到的点先向右平移 m 个单位,再向上平移 n 个单位

( m ? 0 ,n ? 0 ) ,得到正方形 A?B ?C ?D ? 及其内部的点,其中点 A ,B 的对应点分别为
A? ,B? 。 已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F? 与点 F

重合,求点 F 的坐标。

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知二次函数 y ? (t ? 1) x2 ? 2(t ? 2) x ? 在 x ? 0 和 x ? 2 时的函数值相等。 (1) 求二次函数的解析式; (2) 若一次函数 y ? kx ? 6 的图象与二次函数的图象 都经过点 A(?3,m) ,求 m 和 k 的值; (3) 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B ,C (点 B 在 点 C 的左侧) ,将二次函数的图象在点 B ,C 间 的部分(含点 B 和点 C )向左平移 n(n ? 0) 个单 位后得到的图象记为 G ,同时将(2)中得到的直线 y ? kx ? 6 向上平移 n 个单位。 请结合图象回答:当平移后的直线与图象 G 有公共点时, n 的取值范围。

3 2

24. 在 △ ABC 中,BA ? BC ,?BAC ? ? ,M 是 AC 的中点,P 是线段 BM 上的动点, 将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2? 得到线段 PQ 。 (1) 若 ? ? ??? 且点 P 与点 M 重合(如图 1) ,线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D ,请 补全图形,并写出 ?CDB 的度数;

(2) 在图 2 中,点 P 不与点 B ,M 重合,线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ,猜想
?CDB 的大小(用含 ? 的代数式表示) ,并加以证明;

(3) 对于适当大小的 ? ,当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置(不与点 B , M 重合) 时,能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ,且 PQ ? QD ,请直接写出 ? 的 范围。

25.在平面直角坐标系 xOy 中,对于任意两点 P , 1 ( x1 ,y1 ) 与 P 2 ( x2 ,y2 ) 的“非常距离” 给出如下定义: 若 | x1 ? x2 |≥| y1 ? y2 | ,则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 | x1 ? x2 | ; 若 | x1 ? x2 |?| y1 ? y2 | ,则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 | y1 ? y2 | .

例如:点 P 2) ,点 P2 (3,5) ,因为 |1 ? 3 |?| 2 ? 5 | ,所以点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 1 (1,
| 2 ? 5 |? 3 , 也就是图 1 中线段 PQ 与线段 P2 Q 长度的较大值 (点 Q 为垂直于 y 轴的直线 PQ 1 1

与垂直于 x 轴的直线 P2 Q 的交点) 。

1 (1)已知点 A(? ,0) , B 为 y 轴上的一个动点, 2
①若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2,写出一个满足条件的点 B 的坐标; ②直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值; (2)已知 C 是直线 y ?

3 x ? 3 上的一个动点, 4

①如图 2,点 D 的坐标是(0,1) ,求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的 点 C 的坐标; ②如图 3, E 是以原点 O 为圆心,1 为半径的圆上的一个动点,求点 C 与点 E 的“非 常距离” 的最小值及相应的点 E 和点 C 的坐标。

2012 年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷参考答案
阅卷须知: 1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细,阅卷时,只要考生将

主要过程正确写出即可。 2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分。 3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 一、选择题 题 答 号 案 1 D 2 C 3 B 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D

二、填空题 题 答 号 案 9 10 11 5.5 3.4 12
6n ? 3

m(n ? 3)2

?1

三、解答题

1 13. 解: (? ? 3)0 ? 18 ? 2sin 45? ? ( )?1 8
?1? 3 2 ? 2? ? 2 2 ? 7.
?4 x ? 3 ? x, 14. 解: ? ? x ? 4 ? 2 x ? 1. ① ②

2 ?8 2

解不等式①,得 x ? 1 . 解不等式②,得 x ? 5 . ? 不等式组的解集为 x ? 5 . 5a ? 2b 15. 解: 2 ? (a ? 2b) a ? 4b2
5a ? 2b ? (a ? 2b) (a ? 2b)(a ? 2b) 5a ? 2b ? . a ? 2b a b ? ? ? 0, 2 3 ? 3a ? 2b. ? ? 原式 ? 5a ? 3a 2a 1 ? ? . a ? 3a 4a 2

16. 证明:? AB ∥ CD , ??BAC ? ?ECD. 在 ?ABC 和 ?CED 中,
? AB ? CE, ? ??BAC ? ?ECD, ? AC ? CD, ? ??ABC ? ?CED. ? BC ? ED.
B

E A D C

4 2) 在函数 y ? ( x ? 0) 的图象上, 17. 解: (1)? 点 A(m, x ? 2m ? 4. 解得 m ? 2 .
2) . ? 点 A 的坐标为 (2, 2) 在一次函数 y ? kx ? k 的图象上, ? 点 A(2,

y

2

A

P2 O B

P1

x

? 2k ? k ? 2. 解得 k ? 2 .
? 一次函数的解析式为 y ? 2 x ? 2 .
0) 或 (3,或 (2)点 P 的坐标为 (3, 0) (?1, 0) .

18. 解:设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 x 毫克. 1000 550 由题意,得 . ? 2x ? 4 x 解得 x ? 22 . 经检验, x ? 22 是原方程的解,且符合题意. 答:一片国槐树叶一年的平均滞尘量是 22 毫克. 四、解答题 19. 解:过点 D 作 DF ? AC 于点 F . 在 Rt ?DEF 中, ?DFE ? 90 ,?DEF ? 45 ,DE ? 2,
? ?

A E

D F C

?DF ? EF ? 1.
在 Rt ?CFD 中, ?CFD ? 90 ,?DCF ? 30 ,
? ?

B

? CD ? 2 DF ? 2 .

? FC ? 3 .
在 Rt ?ABE 中, ?BAE ? 90?,?AEB ? ?CED ? 45?,BE ? 2 2 ,
? AB ? AE ? 2. ? AC ? AE ? EF ? FC ? 3 ? 3.

? S四边形ABCD ? S?ACD ? S?ABC 1 1 AC ? DF ? AC ? AB 2 2 1 1 ? ? ?? ? 3 ? ?? ? ? (3 ? 3) ? 2 2 2 9 3 ? ? 3. 2 2 ?

? 四边形 ABCD 的面积是

9 3 ? 3. 2 2
C D

20. (1)证明:连结 OC . ? EC 与⊙ O 相切, C 为切点.

E

F

A

O

M

B

??ECO ? 90?. ? OB ? OC, ??OCB ? ?OBC. ? OD ? DC. ? DB ? DC.
? 直线 OE 是线段 BC 的垂直平分线.

? EB ? EC. ??ECB ? ?EBC. ??ECO ? ?EBO. ??EBO ? 90?.

? AB 是⊙ O 的直径. ?BE 与⊙ O 相切. (2)解:过点 D 作 DM ? AB 于点 M ,则 DM ∥ FB . 在 Rt ?ODB 中, 2 ? ?ODB ? 90?,OB ? 9, sin ?ABC ? , 3 ? OD ? OB ? sin ?ABC ? 6.
由勾股定理得 BD ? OB2 ? OD2 ? 3 5. 在 Rt ?DMB 中,同理得

DM ? BD ? sin ?ABC ? 2 5. BM ? BD2 ? DM 2 ? 5.
? O 是 AB 的中点, ? AB ? 18.

? AM ? AB ? BM ? 13. ?DM ∥ FB ,
? ?AMD ? ?ABF . MD AM ? ? . BF AB MD ? AB 36 5 ? BF ? ? . AM 13

北京市2007至2011年轨道交通 运营总里程统计图
总里程 (千米) 400 350 300 250 200 150 100 50 0 2007 2008 2009 2010 142 200 228 372 336

21. 解: (1)补全统计图如右图,所补数据为 228; (2)预计 2020 年运营总里程将达到 336 ? 33.6% ? 1000 (千米) ; ( 3 ) 2010 到 2015 年 新 增 运 营 里 程 为 1000 ? 36.7% ? 367 (千米) ,其中 2010 到 372 ? 336 ? 36 (千 2011 年新增运营里程为 米) , 2011 到 2015 年平均每年新增运营里程 367 ? 36 ? 82.75 (千米). 为 4

2011 年份

22. 解: (1)点 A' 表示的数是 0 ;点 B 表示的数是 3 ;点 E 表示的数是
0) B(3, 0) 的对应点分别为 A '(?1,, 2) B '(2, 2) , (2)? 点 A(?3,,

3 ; 2

??3a ? m ? ?1, ?? ?3a ? m ? 2.

1 ? a? , ? ? 2 解得 ? ?m ? 1 . ? ? 2

由题意可得 n ? 2 . 设点 F 的坐标为 ( x,y) .
1 ?1 x ? ? x, ? ?2 2 ?? 1 ? y ? 2 ? y. ? ?2

? x ? 1, 解得 ? ? y ? 4.

? 点 F 的坐标为(1,4).

五、解答题 23. 解: (1)由题意得 (t ? 1) ? 22 ? 2(t ? 2) ? 2 ?
3 解得 t ? ? . 2
1 3 ? 二次函数的解析式为 y ? ? x2 ? x ? . 2 2 1 3 ( 2 ) ? 点 A(?3,m) 在二次函数 y ? ? x2 ? x ? 的图象 2 2
y

3 3 ? . 2 2

上,
1 3 ? m ? ? ? ??3)2 ? (?3) ? ? ?6 . 2 2
? 6) . ? 点 A 的坐标为 (?3,
B' B O 1 C x

? 点 A 在一次函数 y ? kx ? 6 的图象上,
?k ? 4.
0) (3 0) . (3)由题意,可得点 B, C 的坐标分别为 (?1,,,

图1

y

平移后,点 B, C 的对应点分别为
B '(?1 ? n, 0),C '(3 ? n, 0) .

将直线 y ? 4 x ? 6 平移后得到直线
y ? 4x ? 6 ? n .

C'

BO

1

C

x

如图 1,当直线 y ? 4 x ? 6 ? n 经过
0) 时,图象 G (点 B ' 除外) 点 B '(?1 ? n,

图2

在该直线右侧,可得 n ?

2 ; 3

如图 2,当直线 y ? 4 x ? 6 ? n 经过
0) 时,图象 G (点 C ' 除外) 点 C '(3 ? n,

在该直线左侧,可得 n ? 6 .
? 由图象可知,符合题意的 n 的取值范围是

2 ?n?6. 3

24. 解: (1)补全图形,见图 1;

?CDB ? 30? ;
A

(2)猜想: ?CDB ? 90 ? ? .
?

证明:如图 2,连结 AD,PC . ? BA ? BC,M 是 AC 的中点, ? BM ? AC . ? 点 D, P 在直线 BM 上, ? PA ? PC,DA ? DC . 又? DP 为公共边, ? ?ADP ? ?CDP .
??DAP ? ?DCP,?ADP ? ?CDP.

B

M(P) Q C 图1

A

又? PA ? PQ ,
B

? PQ ? PC .

P

M Q C 图2

D

??DCP ? ?PQC . ??DAP ? ?PQC . ? ?PQC ? ?DQP ? 180?, ??DAP ? ?DQP ? 180?.
? 在四边形 APQD 中, ?ADQ ? ?APQ ? 180? .

? ?APQ ? 2?, ??ADQ ? 180? ? 2? . 1 ??CDB ? ?ADQ ? 90? ? ? . 2

(3) ? 的范围是 45? ? ? ? 60? . 25. 解: (1)①点 B 的坐标是(0,2)或(0,-2) ; (写出一个答案即可) ②点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值是
1 . 2

(2)①过点 C 作 x 轴的垂线,过点 D 作 y 的垂线,两条垂线交于点 M ,连结 CD . 如图 1,当点 C 在点 D 的左上方且使 ?CMD 是等腰直角三角形时,点 C 与点 D 的 “非常距离”最小. 理由如下: y 3 记此时 C 所在位置的坐标为 ( x0, x0 ? 3) . 3 4 y= x+3 4 当点 C 的横坐标大于 x0 时,线段 CM 的长度变大, 由于点 C 与点 D 的“非常距离”是线 段 CM 与线段 MD 长度的较大值, 所以点 C 与点 D 的“非常距离”变大;当点 C 的横坐标 小于 x0 时,线段 MD 的长度变大,点 C 与点 D 的
C M D 1 x

45° O

图1

“非常距离”变大. 所以当点 C 的横坐标 等于 x0 时,点 C 与点 D 的“非常距离”最小. 3 ? CM ? x0 ? 3 ? 1,MD ? ? x0,CM ? MD, 4 3 ? x0 ? 3 ? 1 ? ? x0 . 4 8 解得 x0 ? ? . 7 8 15 ? 点 C 的坐标是 (? , ) . 7 7 8 ?CM ? MD ? . 7 8 15 ? 当点 C 的坐标是 (? , ) 时,点 C 与点 D 7 7 8 的“非常距离”最小,最小值是 . 7 ②如图 2,对于⊙ O 上的每一个给定的点 E ,过点 E 作 y 轴的垂线,过点 C 作 x 轴的 垂线,两条垂线交于点 N ,连结 CE . 由①可知,当点 C 运动到点 E 的左上方且使 ?CNE 是等 腰直角三角形时,点 C 与点 E 的“非常距离”最小. 当点 E 在⊙上运动时,求这些最小“非常 3 距离”中的最小值,只需使 CE 的长度最小. 因此,将直线 y ? x ? 3 沿图中所示由点 C 到点 E 4 的方向平移到第一次与⊙ O 有公共点,即与⊙ O 在第二象限内相切的位置时,切点即为所求点 E. 3 作 EP ? x 轴于点 P . 设直线 y ? x ? 3 与 x 轴, y 轴分别交于点 H,G . 4 y 3 可求得 HO ? 4,GO ? 3,GH ? 5 . y= x+3 4 可证 ?OEP ? ?GHO . G OP EP OE ? ? ? . C GO HO GH 45° OP EP 1 E ? ? ? . N 3 4 5 3 4 ? OP ? ,EP ? . H P O x 5 5 1 3 4 ? 点 E 的坐标是 (? , ) . 5 5 3 设点 C 的坐标为 ( xC, xC ? 3) . 图2 4 3 4 3 ? CN ? xC ? 3 ? ,NE ? ? ? xC, 4 5 5 3 4 3 ? xC ? 3 ? ? ? ? xC . 4 5 5 8 解得 xC ? ? . 5 8 9 ? 点 C 的坐标是 (? , ) . 5 5 ? CN ? NE ? 1 . 8 9 3 4 点 E 的坐标是 (? , ) 时, 点 C 与点 E 的 “非常距离” ? 当点 C 的坐标是 (? , ) , 5 5 5 5

最小,最小值是 1.

2013 年北京市高级中等学校招生考试 数 学
学校 姓名




准考证号

生 须

1.本试卷共6 页, 共五道大题, 25 道小题, 满分120 分, 考试时间120 分钟。 招 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 4.在答题卡上,选择题、作图题用2B 铅笔作答,其它试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 6.转载请注明学而思培优首发。

一、选择题(本题共32 分,每小题4 分) 下面各题均有 四个选项,其中只有一 个 是符合题意的. . . 1.在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划( 2013-2015) 》中,北京市提出 了 共计约3 960 亿元的投资计划,将3 960 用科学记数法表示应为 A.39.6 ? 102 B.3.96 ? 103 C.3.96 ? 104 D.0.396 ? 104 2.? 3 4 4 A. 3 3 B. 4 C.? 3 4 D.? 4 3 的倒数是

3.在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4,5, 从 中随机摸出一个小球,其标号大于2 的概率为 A. 1 5 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5
c 3 a 2 1 4 b

4.如图,直线a ,b 被直线c 所截,a ∥ b ,?1 ? ?2 ,若?3 ? 40? , 则?4 等于 A.40?? B.50?? C.70?? D. 80?? 5. 如图, 为估算某河的宽度, 在河对岸边选定一个目标点A , 在近 岸 取点B ,C ,D , 使得AB ? BC ,CD ? BC ,点E 在BC 上, 并 且点 A ,E ,D 在同一 条直 线上 ,若 测得 BE ? 20 m , BE ? 10 m ,CD ? 20 m ,则河的宽度AB 等于 A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m 6.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是

A

B

E

C D

A

B

C

D

7.某中学随机地调查了50 名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示: 时间(小时) 人数 5 6 7 20 8 5

10 15 则这50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 A.6.2 小时 B.6.4 小时

P

C.6.5 小时 D.7 小时 8.如图,点P 是以O 为圆心,AB 为直径的半圆上的动点,AB ? 2 , 设弦AP 的长为x ,△APO 的面积为y , 则下列图象中, 能表示y 与x 的函数关系的图象大致是
y 1 2 1 2 y 1 2 y y 1 2

A

O

B

1 A

2

x

1 B

2

x

1 C

2

x

1 D

2

x

二、填空题(本题共16 分,每小题4 分) 9.分解因式:ab2 ? 4ab ? 4a ? ? . 10.请写出一个开口向上,并且与y 轴交于点(0,1)的抛物线的解 析式,y ? ? .
A M D

11.如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点, 若AB ? 5 ,AD ? 12 ,则四边形ABOM 的周长为 .
O

12.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l :y ? ? x ? 1 ,双曲
B C

线y ?

1 x

,在l 上取一点A ,过A 作x 轴的垂线交双曲线于点
1 1

y

过B1 作 y 轴的垂线交l 于点A2 , 请继续操作并探究: 过A2 B1 ,

作x 轴的垂线交双曲线于点B2 ,过B2 作 y 轴的垂线交l 于点

a2013 ? ?

; 若

要将上述操作无 限次地进行下云, A3 ,?,这样依次得到l 上的点A1 , A2 ,A ,?,An ,?. 则a1 不

记 点 An 的 横 坐 标 为 an ,若 a1 ? 2 ,则 a2 =



A1 1 A2 O 1 x B1 l

能取的值是 . 三、解答题(本题共30分,每小题5分)
C

13. 已知: 如图, D 是AC 上一点,AB ? DA , DE ∥ AB , ?B ? ?DAE . 求证:BC ? AE . 1 14.计算:(1 ?? 3)0 ? | ?? 2 | ?2 cos 45? ? ( ) ?1 . 4
?

E

D

A

B

?3x ? x ? 2 , 15.解不等式组:

x ?1 ? 2x 3

16.已知x2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,求代数式(2 x ? 3)2 ? ( x ? y)( x ? y) ? y 2 的值. 17.列方程或方程组解应用题: 某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化, 由于施工时增加了 2 名工 人, 结果比计划提前3 小时完成任务, 若每人每小时绿化面积相同, 求每人每小时的绿 化 面积. 18.已知关于x 的一元二次方程x2 ? 2x ? 2k ? 4 ? 0 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围; (2)若k 为正整数,且该方程的根都是整数,求k 的值. 四、解答题(本题共20 分,每小题5 分) 19.如图,在 ABCD 中,F 是AD 的中点,延长BC 到点E , 使CE ? 1 BC ,连接DE ,CF .

A

F

D

2 (1)求证:四边形CEDF 是平行四边形; B (2)若AB ? 4 ,AD ? 6 ,?B ? 60? ,求DE 的长. 20.如图AB 是 O 的直径,PA ,PC 与 O 分别相切于点A , C ,PC 交AB 的延长线于点D ,DE ? PO 交PO 的延长线 P 于点E . (1)求证:?EPD ? ?EDO ; (2)若PC ? 6 ,tan ?PDA ? 3 ,求OE 的长.
C

C

E

4 21. 第九界中国国际园林博览会 (园博会) 已于2013 年5 月18
A O E

B D

日在北京开幕,以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分。

第六届至第九届园博会 园 区陆地面积和水面面积统计图

第九届园博会 植物花园 区各花园面积分布统计图

4 3.5 3

2.5 2

1.5 1

0.5 0 3.7 第六届 第七届 第八届 第九届 届次

3

2.5 面积

陆地 1 1.7 面积 月 季 园 0.5 牡丹 园

紫薇园

樱花园 水面 丁香园

(1)第九界园博会的植物花园区由五个花园组成,其中月季园面积为0.04 平方千米, 牡丹园面积为 平方千米; (2)第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍,水面面积是第七、八 届 园博会的水面面积之和,请根据上述信息补全条形统计图,并标明相应数据; (3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表) ,发现园博会园区周边设置的停车 位数 量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系。 根据小娜的发现,请估计,将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停 车 位数量(直接写出结果,精确到百位) 。 第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表 日均接待游 客量 (万人次) 第 七届 第 八届 第 九届 第 十届 0.8 2.3 8(预计) 1.9(预计) 单日最多接待 游量 (万人次) 6 8.2 20(预计) 7.4(预计) 停车位 数量 (个) 约 3000 约 4000 约 10500 约

22.阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题: 如图 1, 在边长为a ? a ? 2 ? 的正方形ABCD 各边上分别截 取
AE ? BF ? CG ? DH ? 1 , 当 ?AFQ ? ?BGM ? ?GHN ? ?DEP ? 45? 时 , 求 正 方 形

MNPQ 的面积。
R E Q A D M H M F N B 图1 G C 图2 C T P S F B N G E Q D W

A

H P

小明发现,分别延长QE ,MF ,NG ,PH 交FA ,GB ,HC ,ED 的延长线于 点R ,S , T , W ,可得 △RQF ,△SMG ,△ TNH , △ WPE 是四个全等的等腰直 角 三角形(如图2) 。 请回答:

A

(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形 (无缝隙不重叠) ,则这个新正方形的边长为 (2)求正方形MNPQ 的面积。 参考小明思考问题的方法,解决问题: 如图 3,在等边 △ABC 各边上分别截取AD ? BE ? CF , 再分别过点D ,E ,F 作BC ,AC ,AB 的垂线,得到等边
B E C



D R

Q

F

△RPQ ,若S△ EPQ ?

3 则AD r 的长为 。 3

图3

五、解答题(本题共22 分,第23 题7 分,第24 题7 分,第25 题8 分) 23. 在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线y ? mx2 ? 2mx ? 2 ? m ≠ 0 ? 与y 轴交于点A , 其对称轴 与 x 轴交于点B 。 (1)求点A ,B 的坐标; (2)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称,求直线l 的解析式; (3) 若该抛物线在?2 ? x ? ?1 这一段位于直线l 的上方, 并且在2 ? x ? 3 这一段位于直 线 AB 的下方,求该抛物线的解析式。

y 6 5 4 3 2 1

-4

-3

-2

-1 O

-1

-2 -3 -4 -5 -6

1

2

3

4

x

24. 在 △ABC 中,AB ? AC , ?BAC ? ?(0?<?< 60? ) , 将线段BC 绕点B 逆时针旋转60?? 得到线段BD 。 (1)如图1,直接写出?ABD 的大小(用含? 的式子表示) ; (2)如图2,?BCE ? 150? ,?ABE ? 60? ,判断 △ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连接DE ,若?DEC ? 45? ,求? 的值。
A

A

D

D

E B 图1 C B 图2 C

25. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和 ⊙ C , 给出如下定义: 若 ⊙ C 上存在两个点A, B , 使 得?APB ? 60? ,则称P 为 ⊙ C 的关联点。 ?1 1? 已知点D ? , ,E ? 0, ?2 ? ,F 2 3, 0 。 2 2 ? ?? ?? (1)当 ⊙ O 的半径为1 时, ①在点D, E, F 中, ⊙ O 的关联点是_______; ②过点F 作直线l 交 y 轴正半轴于点G , 使?GFO ? 30? , 若直线l 上的点P ? m, n ??
?

?

?

是⊙ O 的关联点,求m 的取值范围; (2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r 的取值范围。
y 6 5 4 3 2 1

-4

-3

-2

-1 O -1 -2 -3 -4 -5 -6

1

2

3

4

x

2013 年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷 参 考 答 案 一、选择题 1.B 2.D 二、填空题 9.a(b ? 2)2 3.C 4.C 5.B 6.A 3 2 三、解答题 13.证明:∵DE ∥ AB ∴?CAB ? ?ADE 在△ABC 与 △DAE 中 ??CAB ? ?ADE ?? ? AB ? DA ?? ? ?B ? ?DAE ∴△ADE ≌ △BAC (ASA) ∴BC ? AE
?

7.B 1 3

8.A

10.x 2 ? 1

11.20

12.?

,?

,0,-1

?

14.解:原式? 1 ?? 2 ? 2 ?? 2 2 =5 15.解:由3x ? x ? 2 ,得 x ? ?1 由 x ?1 3 x? 1 5 ∴?1 ? x ? 1 ? 2 x ,得

?4

5 16.代数式化简得: 4 x2 ? 12 x ? 9 ? x2 ? y 2 ? y2 ? 3x2 ? 12 x ? 9 ? 3( x2 ? 4 x ? 3)

∵x2 ? 4 x ? 1 代入得 ∴原式? 12 17.设每人每小时的绿化面积为x 平方米. 180 则有: ? 180 ?3

6 x (6 ? 2) x 解得x ? 2.5 经检验: x ? 2.5 是原方程的解 答: 每人每 小时的绿化面积为2.5 平方米 18. (1) △? 4 ? 4(2k ? 4) ? 20 ? 8k

∵方程有两个不等的实根 ∴△? 0 即20 ? 8k ? 0 ∴k ? 5

2 (2)∵k 为整数 ∴0 ? k ? 5 2 即k ? 1 或2,

? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

x1、 2 ? ?1 ?? 5 ? 2k ∵方程的根为整数,∴5 ? 2k 为完全平方数 当k ? 1 时,5 ? 2k ? 3 k ? 2 时,5 ? 2k ? 1 ∴k ? 2 19. (1)在 ABCD 中,AD∥ BC

∵F 是AD 中点. ∴DF ? 1 AD ,又∵CE ? 1 BC .

2 2 ∴DF ? CE 且DF ∥CE ∴四边形CEDF 为平行四边形 (2)过D 作DH ? BE 于H 在 ABCD 中 ∵?B ? 60?? ∴?DCE ? 60?? ∵AB ? 4 ∴CD ? 4 ∴CH ? 2 ,DH ? 2 3 1



CEDF 中,CE ? DF ?

AD ? 3

2 ∴EH ? 1 在Rt△DHE 中 DE ?? (2 3)2 ? 12 ? 13

20. (1)∵PA 、PC 与 O 分别相切于点A 、C ∴?APO ? ?EPD 且PA ? AO 即?PAO ? 90?? ∵?AOP ? ?EOD ,?PAO ? ?E ? 90?? ∴?APO ? ?EDO 即?EPD ? ?EDO (2)连结OC ∴PA ? PC ? 6

∵tan ?PDA ?

3

4 ∴在Rt△PAD 中AD ? 8 ,PD ? 10 ∴CD ? 4

∵tan ?PDA ?

3

4 ∴在Rt△ OCD 中,OC ? OA ? 3 ,OD ? 5 ∵?EPD ? ?EDO ∴△OED ∽ △DEP ∴ PD ? DE ? 10 ? 2

OD OE 5 1 在Rt△ OED 中OE 2 ? DE 2 ? 52 ∴OE ? 5

21. (1)0.03 ( 2 )陆地面积 3.6 水 面 面积 1.5 图略 (3)3700 22. (1)a (2)四个等腰直角三角形面积和为a 2 正方形ABCD 的面积为a 2 ∴S正方形MNPQ ? S△ ARE ? S△DWH ? S△GCT ? S△SBF

? 4S△ ARE

1 ? 4 ? ? 12 2 ?2 2 (3) 3 23.解: (1)当x ? 0 时,y ? ?2 . ∴A(0 , ? 2) 抛物线对称轴为x ? ? ?2m ?1

2m ∴B(1, 0) (2)易得A 点关于对称轴的对称点为A(2 , ? 2) 则直线l 经过A 、B . 没直线的解析式为y ? kx ? b 则 ?2k ? b ? ?2 ?? ?k ? b ? 0

?? ?k ? ?2 ,解得 ?b ? 2

∴直线的解析式为y ? ?2 x ? 2 (3)∵抛物线对称轴为x ? 1 抛物体在2 ? x ? 3 这一段与在?1 ? x ? 0 这一段关于对称轴对称 结 合图象可以观察到抛物线在?2 ? x ? ?1 这一段位于直线l 的上方 在?1 ? x ? 0 这一段位于直线l 的下方 ∴抛物线与直线l 的交点横坐标为?1 ;

当x ? ?1 时,y ? ?2x(?1) ? 2 ? ?4 则抛物线过点(-1,4) 当x ? ?1 时,m ? 2m ? 2 ? 4 ,m ? 2 ∴抛物线解析为y ? 2 x2 ? 4 x ? 2 . 1 24.解: (1)30? ? ?? 2 (2) △ABE 为等边三角形 证 明连接AD 、CD 、ED ∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60? 得到线段BD 则BC ? BD ,?DBC ? 60?? 又∵?ABE ? 60?? 1 ∴?ABD ? 60? ? ?DBE ? ?EBC ? 30? ? ?? 2 且△BCD 为等边三角形. 在△ABD 与 △ACO 中 ? AB ? AC ?? ? AD ? AD ??BD ? CD ? ∴△ABD ≌ △ACD (SSS) 1 1 ∴?BAD ? ?CAD ? ?BAC ? ?? 2 ∵?BCE ? 150?? 1 1 ∴?BEC ? 180? ? (30? ? ? ) ? 150? ? ?? 2 在△ABD 与 △EBC 中
A

2

2

??BEC ? ?BAD ?? ? ?EBC ? ?ABD ??BC ? BD ?
D

∴△ABD ≌ △EBC (AAS) ∴AB ? BE
B C

E

∴△ABE 为等边三角形 (3)∵?BCD ? 60? ,?BCE ? 150??

∴?DCE ? 150? ? 60? ? 90?? 又∵?DEC ? 45?? ∴△DCE 为等腰直角三角形 ∴DC ? CE ? BC ∵?BCE ? 150?? ∴?EBC ? (180?? ? 150?) 2 1 而?EBC ? 30? ? ? ? 15?? 2 ? 15??

∴ ? ? 30??
?

25. 解:(1) ①D、E ; ② 由题意可知,若P 点要刚好是圆C 的关联点; 需要点P 到圆C 的两条切线PA 和PB 之间所夹的角度为60? ; 由图 1 可知?APB ? 60? ,则?CPB ? 30? ,

BC 连接BC ,则PC ?? sin ?CPB ? 2 BC ? 2r ;
∴若P 点为圆C 的关联点;则需点P 到圆心的距离d 满足0 ? d ? 2r ; 由上述证明可知, 考虑临界位置的P 点, 如图2; P 点P 到原点的距离OP ? 2?1 ? 2 ; 过O 作x 轴的垂线OH ,垂足为H ;

t an?OGF ?

OF

?

2

3

?

3 ;

A C

B

OG 2 ∴?OGF ? 60? ;
∴OH ? OG?sin 60? ? ∴sin ?OPH ?

3 ; 3 2
图1

OH

?

; y
G(P1)

OP ∴?OPH ? 60? ;

H

易得点P1 与点G 重合,过P2 作P2 M ? x 轴于点M ; 易得?P2 OM ? 30? ; ∴OM ? OP2 ?cos30? ?

3 ;

O

M

F

x

图2

从而若点P 为圆O 的关联点,则P 点必在线段P1 P2 上;

∴0 ? m ?

3 ;

(2) 若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点,欲使这个圆的半径最小, 则这个圆的圆心应在线段EF 的中点; 考虑临界情况, 如图 3;

1 即恰好E、F 点为圆K 的关联时,则KF ? 2 KN ? EF ? 2 ; 2
∴此时r ?1 ; 故若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点, 这个圆的半径r 的取值范围为r ?1 .
K

y
F

x

N E 图3

2013 年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

解析

满分 120 分,考试时间 120 分钟 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的。 .. 1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(2013-2015) 》中,北京市提出 了总计约 3 960 亿元的投资计划。将 3 960 用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 答案:B 解析:科学记数法的表示形式为 a× 10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正 确确定 a 的值以及 n 的值.3 960=3.96×103
第 10 页
n

B. 3.96×103

C. 3.96×104

D. 3.96×104

2.

?

3 的倒数是 4 4 A. 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

4 3

答案:D 解析: a(a ? 0) 的倒数为

1 3 4 ,所以, ? 的倒数是 ? a 4 3

3. 在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4,5, 从中随机摸出一个小球,其标号大于 2 的概率为 A. 答案:C 解析:大于 2 的有 3、4、5,共 3 个,故所求概率为

1 5

B.

2 5

C.

3 5 3 5

D.

4 5

4. 如图,直线 a , b 被直线 c 所截, a ∥ b ,∠1=∠2,若∠3=40°,则 ∠4 等于 A. 40° C. 70° 答案:C 解析:∠1=∠2= ∠4=70°。 B. 50° D. 80°

1 (180°-40°)=70°,由两直线平行,内错相等,得 2

5. 如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点 A,在近岸取点 B,C,D,使得 AB⊥BC,CD⊥BC,点 E 在 BC 上,并且点 A,E,D 在同一条直线 上。若测得 BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度 AB 等于 A. 60m C. 30m 答案:B 解析:由△EAB∽△EDC,得: B. 40m D. 20m

CE CD 10 20 ? ? ,即 ,解得:AB=40 BE AB 20 AB

6. 下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是

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答案:A 解析:B 既是轴对称图形,又是中心对称图形;C 只是轴对称图形;D 既不是轴对称图形也 不是中心对称图形,只有 A 符合。 7. 某中学随机地调查了 50 名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示: 时间(小时) 人数 5 10 6 15 7 20 8 5

则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 A. 6.2 小时 答案:B 解析:平均体育锻炼时间是 B. 6.4 小时 C. 6.5 小时 D. 7 小时

50 ? 90 ? 140 ? 40 =6.4 小时。 50

8. 如图,点 P 是以 O 为圆心,AB 为直径的半圆上的动点,AB=2,设弦 AP 的长为 x ,△APO 的面积为 y ,则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系 的图象大致是

答案:A 解析:很显然,并非二次函数,排除 B ; 采用特殊位置法; 当 P 点与 A 点重合时,此时 AP ? x ? 0 , S ?PAO ? 0 ; 当 P 点与 B 点重合时,此时 AP ? x ? 2 , S ?PAO ? 0 ;
A H O B P

本题最重要的为当 AP ? x ? 1 时,此时 ?APO 为等边三角形, S ?PAO ?

3 1 > ; 4 4

排除 B 、 C 、 D .选择 A . 【点评】动点函数图象问题选取合适的特殊位置,然后去解答是最为直接有效的方法 二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)
2 9. 分解因式: ab ? 4ab ? 4a =_________________

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答案: a(b ? 2)2 解析:原式= a(b2 ? 4a ? 4) = a(b ? 2)2 10. 请写出一个开口向上,并且与 y 轴交于点(0,1)的抛物线的解析式__________ 答案:y=x2+1 解析:此题答案不唯一,只要二次项系数大于 0,经过点(0,1)即可。 11. 如图,O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点,M 是 AD 的中点,若 AB=5,AD=12,则 四边形 ABOM 的周长为__________ 答案:20 解析:由勾股定理,得 AC=13,因为 BO 为直角三角形斜边上的中 线,所以,BO=6.5,由中位线,得 MO=2.5,所以,四边形 ABOM 的周长为:6.5+2.5+6+5=20 12. 如图,在平面直角坐标系 x O y 中,已知直线: t ? ? x ? 1 ,双曲 线y?

1 。在上取点 A1, 过点 A1 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B1, x

过点 B1 作 y 轴的垂线交于点 A2,请继续操作并探究:过点 A2 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B2,过点 B2 作 y 轴的垂线交于点 A3,?,这样依次得到上 的点 A1,A2,A3,?,An,?。记点 An 的横坐标为 an ,若 a1 ? 2 ,则 a2 =__________, 若要将上述操作无限次地进行下去, 则 a1 不能取 的值是__________ a2013 =__________; ... 答案:

? 1? ? 1? ? 3 1? 解析:根据 A1 ?2,?3? 求出 B1 ? 2, ? ;根据 B1 ? 2, ? 求出 A2 ? ? , ? ; ? 2? ? 2? ? 2 2? ? 3 1? ? 3 2? 根据 A2 ? ? , ? 求出 B2 ? ? ,? ? ; ? 2 2? ? 2 3? ? 3 2? ? 1 2? 根据 B2 ? ? ,? ? 求出 A3 ? ? ,? ? ; ? 2 3? ? 3 3? ? 1 2? ? 1 ? 根据 A3 ? ? ,? ? 求出 B3 ? ? ,?3 ? ; ? 3 3? ? 3 ?

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? 1 ? 根据 B3 ? ? ,?3 ? 求出 A4 ?2,?3? ; ? 3 ?
至此可以发现本题为循环规律,3 次一循环,∵ 2013 ? 3? 670 ? 3 ; ∴ a 2013 ? a3 ? ? ;
1 重 复 上 述 过 程 , 可 求 出 A1 ?a1 ,?a1 ?1? 、 B1 ? ? a1 , a ? ? 、 A2 ? ?? a , a ? ? 、 1 ? 1 1 ? ? ?

1 3

?

1?

? a ?1 1 ?

? a1 ?1 ? ? ? a1 ? a1 ? 1 1 B2 ? ? ? a ,? a ?1 ? ? 、 A3 ? ? ? a ?1 ,? a ?1 ? ? 、 B3 ? ? ? a ?1 ,?a1 ?1? ? 、 A4 ?a1 ,?a1 ?1? ; 1 1 1 ? ? ? 1 ? ? 1 ?
由上述结果可知,分母不能为 0 ,故 a 1 不能取 0 和 ?1 . 【点评】找规律的题目,规律类型有两种类型,递进规律和循环规律,对于循环规律类型, 多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的. 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13. 如图,已知 D 是 AC 上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE。 求证:BC=AE。 解析:

0 ?1 14. 计算: (1 ? 3 ) ? ? 2 ? 2 cos 45? ? ( ) 。

1 4

解析:

?3x ? x ? 2 ? 16、解不等式组: ? x ? 1 ? 2x ? ? 3
解析:
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16. 已知 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,求代数式 (2 x ? 3) 2 ? ( x ? y)(x ? y) ? y 2 的值。 解析:

17. 列方程或方程组解应用题: 某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化, 由于施工时增加了 2 名工 人,结果比计划提前 3 小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿 化面积。 解析:

2 18.已知关于 x 的一元二次方程 x ? 2 x ? 2k ? 4 ? 0 有两个不相等的实数根

(1)求 k 的取值范围; (2)若 k 为正整数,且该方程的根都是整数,求 k 的值。 解析:

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四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.如图,在□ABCD 中,F 是 AD 的中点,延长 BC 到点 E,使 CE= (1)求证:四边形 CEDF 是平行四边形; (2)若 AB=4,AD=6,∠B=60°,求 DE 的长。 解析:

1 BC,连结 DE,CF。 2

20.如图,AB 是⊙O 的直径,PA,PC 分别与⊙O 相切于点 A,C,PC 交 AB 的延长线于
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点 D,DE⊥PO 交 PO 的延长线于点 E。 (1)求证:∠EPD=∠EDO (2)若 PC=6,tan∠PDA= 解析:

3 ,求 OE 的长。 4

21.第九届中国国际园林博览会(园博会)已于 2013 年 5 月 18 日在北京开幕,以下是根据 近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分:

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(1)第九届园博会的植物花园区由五个花园组成,其中月季园面积为 0.04 平方千米, 牡丹园面积为__________平方千米; (2)第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍,水面面积是第七、八两 届园博会的水面面积之和,请根据上述信息补全条形统计图,并标明相应数据; (3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表) ,发现园博会园区周边设置的停车位 数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系, 根据小 娜的发现, 请估计将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量 (直 接写出结果,精确到百位) 。

第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表
日均接待游客量 (万人次) 第七届 第八届 第九届 第十届 解析: 0.8 2.3 8(预计) 1.9(预计) 单日最多接待游客量 (万人次) 6 8.2 20(预计) 7.4(预计) 停车位数量 (个) 约 3 000 约 4 000 约 10 500 约________

22.阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题:如图 1,在边长为 a(a ? 2) 的正方形 ABCD 各边上分别 截取 AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45° 时,求正方形 MNPQ 的面积。

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小明发现:分别延长 QE,MF,NG,PH,交 FA,GB,HC,ED 的延长线于点 R, S,T,W,可得△ RQF,△ SMG,△ TNH,△ WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如 图 2) 请回答: (1) 若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形 (无 缝隙,不重叠) ,则这个新的正方形的边长为 __________; (2)求正方形 MNPQ 的面积。 参考小明思考问题的方法,解决问题: 如图 3,在等边△ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF,再分别过点 D,E,F 作 BC, AC,AB 的垂线,得到等边△RPQ,若 S ?RPQ ? 解析:

3 ,则 AD 的长为__________。 3

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)
第 19 页

23.在平面直角坐标系 x O y 中,抛物线

y ? mx2 ? 2mx ? 2 ( m ? 0 )与 y 轴交于点 A,其对称轴与 x 轴交于点 B。
(1)求点 A,B 的坐标; (2)设直线与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称,求直线的解析式; (3)若该抛物线在 ? 2 ? x ? ?1 这一段位于直线的上方,并且在 2 ? x ? 3 这一段位于 直线 AB 的下方,求该抛物线的解析式。 解析: 【解析】 (1)当 x ? 0 时, y ? ?2 . ? 2) ∴ A(0 , 抛物线对称轴为 x ? ?
?2m ?1 2m

0) ∴ B(1 , ? 2) (2)易得 A 点关于对称轴的对称点为 A(2 ,

则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y ? kx ? b
? k ? ?2 ?2k ? b ? ?2 则? ,解得 ? ?b ? 2 ?k ? b ? 0

∴直线的解析式为 y ? ?2 x ? 2 (3)∵抛物线对称轴为 x ? 1 抛物体在 2 ? x ? 3 这一段与在 ?1 ? x ? 0 这一段关于对称轴对称 结合图象可以观察到抛物线在 ?2 ? x ? ?1 这一段位于直线 l 的上方 在 ?1 ? x ? 0 这一段位于直线 l 的下方; ∴抛物线与直线 l 的交点横坐标为 ?1 ; 当 x ? ?1 时, y ? ?2 x(?1) ? 2 ? ?4 则抛物线过点(-1,4) 当 x ? ?1 时, m ? 2m ? 2 ? 4 , m ? 2 ∴抛物线解析为 y ? 2 x2 ? 4 x ? 2 . 【点评】本题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解,要能够观察到直线 l 与直线 AB 关于对称轴对称, ∵抛物线在 2 ? x ? 3 这一段位于直线 AB 的下方, ∴关于对称轴对称后抛物线在 ?1 ? x ? 0 这一段位于直线 l 的下方; 再结合抛物线在 ?2 ? x ? ?1 这一段位于直线 l 的上方; 从而抛物线必过点 ??1,4 ? .

24.在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= ? ( 0? ? ? ? 60? ) ,将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD。

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(1)如图 1,直接写出∠ABD 的大小(用含 ? 的式子表示) ; (2)如图 2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结 DE,若∠DEC=45°,求 ? 的值。
1 解析: 【解析】 (1) 30? ? ? 2 (2) △ ABE 为等边三角形 证明连接 AD 、 CD 、 ED ∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60 ? 得到线段 BD 则 BC ? BD , ?DBC ? 60? 又∵ ?ABE ? 60? 1 ∴ ?ABD ? 60? ? ?DBE ? ?EBC ? 30? ? ? 2 且 △ BCD 为等边三角形. 在 △ ABD 与 △ ACO 中
? AB ? AC ? ? AD ? AD ? BD ? CD ?

∴ △ ABD ≌ △ ACD (SSS)
1 1 ∴ ?BAD ? ?CAD ? ?BAC ? ? 2 2 ∵ ?BCE ? 150? 1 1 ∴ ?BEC ? 180? ? (30? ? ? ) ? 150? ? ? 2 2 在 △ ABD 与 △ EBC 中
??BEC ? ?BAD ? ??EBC ? ?ABD ? BC ? BD ?
D E B C

A

∴ △ ABD ≌ △ EBC (AAS) ∴ AB ? BE ∴ △ ABE 为等边三角形 (3)∵ ?BCD ? 60? , ?BCE ? 150? ∴ ?DCE ? 150? ? 60? ? 90? 又∵ ?DEC ? 45?
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∴ △ DCE 为等腰直角三角形 ∴ DC ? CE ? BC ∵ ?BCE ? 150? ∴ ?EBC ?
(180? ? 150?) ? 15? 2

1 而 ?EBC ? 30? ? ? ? 15? 2 ∴ ? ? 30?

【点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”模型的应用,从本题可以看出积累掌握常见模 型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的.

25. 对于平面直角坐标系 x O y 中的点 P 和⊙C, 给出如下定义: 若⊙C 上存在两个点 A, B, 使得∠APB=60°,则称 P 为⊙C 的关联点。 已知点 D(

1 1 , ) ,E(0,-2) ,F( 2 3 ,0) 2 2

(1)当⊙O 的半径为 1 时, ①在点 D,E,F 中,⊙O 的关联点是__________; ②过点 F 作直线交 y 轴正半轴于点 G,使∠GFO=30°,若直线上的点 P( m ,n ) 是⊙O 的关联点,求 m 的取值范围; (2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径 r 的取值范围。

解析: 【解析】(1) ① D、E ; ② 由题意可知,若 P 点要刚好是圆 C 的关联点; 需要点 P 到圆 C 的两条切线 PA 和 PB 之间所夹 的角度为 60 ? ;
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由图 1 可知 ?APB ? 60? ,则 ?CPB ? 30? ,

BC ? 2BC ? 2r ; sin?CPB ∴若 P 点为圆 C 的关联点;则需点 P 到圆心的距离 d 满足 0 ? d ? 2 r ; 由上述证明可知, 考虑临界位置的 P 点, 如图 2; P 点 P 到原点的距离 OP ? 2?1 ? 2 ; 过 O 作 x 轴的垂线 OH ,垂足为 H ; OF 2 3 B tan ?OGF ? ? ? 3; A OG 2
连接 BC ,则 PC ? ∴ ?OGF ? 60? ; ∴ OH ? OG?sin 60? ? 3 ;
图1 C

OH 3 ? ∴ sin ?OPH ? ; OP 2 ∴ ?OPH ? 60? ;
易得点 P1 与点 G 重合,过 P2 作 P2 M ? x 轴于点 M ; 易得 ?P2 OM ? 30? ; ∴ OM ? OP2 ?cos 30? ? 3 ; 从而若点 P 为圆 O 的关联点,则 P 点必在线段 P1 P2 上; ∴ 0?m? 3 ;

y
G(P1) H P2 O M F

x

图2

(2) 若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点,欲使这个圆的半径最小, 则这个圆的圆心应在线段 EF 的中点; 考虑临界情况,如图 3; 即恰好 E、F 点为圆 K 的关联时,则 KF ? 2KN ? EF ? 2 ; ∴此时 r ?1 ; 故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联 点, 这个圆的半径 r 的取值范围为 r ?1.
E 图3 K N

1 2

y
F

x

【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识, 通过第(2)问开 头部分的解析, 可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于 2 倍半 径的点. 了解了这一点,在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.
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2013 年北京市中考数学试题难点解析
2013 年 北 京 市 中 考 试 卷 数 学 试 题 整 体 难 度 较 2012 年 有 所 下 降 。 从 近 四 年 (2009-2012)北京中考数学试题的难易程度可以看出北京市中考数 学整体大小年的规 律。2013年北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。 本套试卷在保持对基础知识的考察力度上, 更加重视对数学思想方法和学生综合素质 能 力的考察, 体现了“实践与操作, 综合与探究, 创新与应用”的命题特点, 与中考考试 说明 中C级要求相呼应。

一、试题的基本结构:
整个试卷五道大题、25 个题目,总分 120 分。 其中包括选择题(共 8 个题目,共 32 分) 、 填空题(共 4 个题目,共 16 分) 、 解答题(包括计算题,证明题、应用题和综合题;共 13 个 题目,共 72 分) 。 1. 题型与题量 选择题 题数 8 2. 考查的内容及分布 从试卷考查的内容来看,几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点,并且对初中 数学的主要内容都作了重点考查。 内容 分值 3. 每道题目所考查的知识点 题型 选 择 题号 1 2 考查知识点 科学记数法 有理数的概念(倒数)
第 24 页

填空题 分值 32 题数 4 分值 16 题数 13

解答题 分值 72

数与代数 60

图形与空间 47

统计与概率 13



3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

概率 平行线的性质 相似三角形 轴对称、中心对称 平均数 圆中的动点的函数图像 因式分解(提公因式法、公式法) 抛物线的解析式 矩形、中位线 函数综合找规律(循环规律) 三角形全等证明 实数运算(0 次幂、-1 次幂、绝对值、特殊角三角函数) 解一元一次不等式组 代数式化简求值(整体代入) 列分式方程解应用题 一元二次方程(判别式、整数解) 梯形中的计算(平行四边形判定、梯形常用辅助线作法、特殊三角形的性质) 圆中的证明与计算(三角形相似、三角函数、切线的性质) 统计图表(折线统计图、扇形统计图、统计表) 操作与探究(旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形) 代数综合(二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、 数形结合思想、二次函数解析式的确定) 几何综合(等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角) 代几综合( “新定义” 、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数 形结合)

填 空 题

解 答 题 一 解 答 题 二 解 答 题 三

二、命题主要特点:
第8、 12、 22、 23、 24、 25题依旧是比较难的题型, 其他题型属于基础或者中档题。 近四年北京中考数学试题这几道题考查分布: 题型\年份 2010 2011 2012 2013 第8题 (创新题) 第22题 (操作与探究) 立体图形展开图 轴对称、 正方形 动点函数图象 平移、 等积变换 (代数综合) 二次函数、 一次 函数、等腰直角 三角形、数形结 合 动点函数图象 几何坐标化、 方 程与方程组 动点函数图象 正方形、等边三 角形、全等三角 形 (代数综合) 一次函数、 二次 函数、 图形对称 数形结合

第23题 (综合题)

(代数综合) 反比例函数、旋 转、恒等变形

(代数综合) 二次函数、一 次 函数、 一元二 次 方程、 函数图 象 平移、 数形结

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第24题 (综合题)

(代几综合) 二次函数、等腰 直角三角形、分 类讨论、数形结 合 (几何综合) 等腰三角形、轴 对称、倒角

合 (几何综合) (几何综合) 旋转、等腰直角 轴对称、等腰三 三角形、等边三 角形、倒角 角形、直角三角 形、平行四边形 (代几综合) 一次函数、圆、 平行四边形、分 类讨论 (代几综合) “新定义” 、 一次 函数、圆、相似

(几何综合) 等边三角形、等 腰直角三角形、 旋转、倒角 (代几综合) 一次函数、 圆、 特殊直角三角形

第25题 (综合题)

特点一、题目总体难度降低,23 题代数综合和 25 题代几综合等压轴题理解题意仍有一 定难度,以体现试卷区分度,但试题总体难度相较去年有大幅下降。 特点二、题型设置上较以往有微调,例如第 1、2 题位置调整;第 18 题的一次函数综合 体换成了一元二次方程;第 19 题回归对梯形的考察;第 20 题第(1)问没有考察切线的证明 等。 特点三、试题内容上趋于稳定,没有“偏难怪”题,除了 25 题中的新定义“关联点”之外, 其他题都较为常规,较好的体现了“稳中求变”的命题主导思想。 特点四、从试卷中最直观反应出的是阅读量的减小,去年中考第 25 题占了一整页纸, 阅读占了很大比重,今年题型仍然新颖,但阅读量明显减少。 特点五、计算量大幅下降,去年计算题 19 题、20 题是几何计算题,有一定的难度,计 算量普遍大,但今年的 19 题、20 题不论解题难度还是计算难度都骤降。 特点六、填空第 12 题考察循环规律,与前 2 年的递进规律类型有所不同,当然如果重 视观察能力和精确作图能力,也可以很容易发现四次变化后回到 A1 。 特点八、延续了去年和前年的改革方向,增加对圆的考察,例如选择题第 8 题、解答题 第 20 题。解答题第 25 题都涉及圆的知识。 特点九、考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。解答题第 23 题第三小问,重 点考察直线与抛物线位置关系的深入理解,难度较大。

三、重难易错题目点评:
1. 易错题目 易错题号 8 12 17 2. 难题 难题题号 22 23 24 不得分原因 没看懂题,不理解图 2 的作用是什么 利用对称来进行数形结合练得比较少,抓不住第(3)问的关键 对重要全等模型“手拉手”不熟悉,很难发现如何构造三角形全等;倒角证 明三角形全等也是本题的难点
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错误原因 易被圆的对称性误导,从而误认为函数图象为对称图像 前 2 年均为递进规律,形成思维定势,不太容易抓住本质规律(循环规律) 分式方程应用题忘记检验

25

题目没读懂,没有理解“新定义”的关键是到原点的距离要小于半径的 2 倍

总体来看,2013 年并没有出现一点儿都无从下手的题目,体现了很好的梯度,让学生 上手容易拿全难,有比较好的区分度,这是北京中考命题的一大特点,相信 2014 年也会是 这种形式。

北京市 2013 年中考数学试卷
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分。下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题 意的。 1. (4 分) (2013?北京) 在 《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划 (2013﹣2015) 》 中,北京市提出了共计约 3960 亿元的投资计划,将 3960 用科学记数法表示应为( ) 2 3 4 4 A.39.6×10 B.3.96×10 C.3.96×10 D.0.396×10 考点:科学记数法—表示较大的数. n 分析:科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 3 解答:解:将 3960 用科学记数法表示为 3.96×10 . 故选 B. n 点评:此题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为 a×10 的形式, 其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

2. (4 分) (2013?北京)﹣ 的倒数是( A. B.

) C. ﹣ D. ﹣

考点:倒数. 分析:根据倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们就称这两个数互为倒数. 解答: 解:∵(﹣ )×(﹣ )=1, ∴﹣ 的倒数是﹣ . 故选 D. 点评:本题主要考查倒数的定义,要求熟练掌握.需要注意的是: 倒数的性质:负数的倒数还是负数,正数的倒数是正数,0 没有倒数. 倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们就称这两个数互为倒数. 3. (4 分) (2013?北京)在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球,把它们分别标号 为 1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于 2 的概率为( ) A. B. C. D.

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考点:概率公式. 分析:根据随机事件概率大小的求法, 找准两点:①符合条件的情况数目, ②全部情况的总数, 二者的比值就是其发生的概率的大小. 解答:解:根据题意可得:大于 2 的有 3,4,5 三个球,共 5 个球, 任意摸出 1 个,摸到大于 2 的概率是 . 故选 C. 点评:本题考查概率的求法与运用,一般方法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可 能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= ,难度适中.

4. (4 分) (2013?北京)如图,直线 a,b 被直线 c 所截,a∥b,∠1=∠2,若∠3=40°,则 ∠4 等于( )

A.40°

B.50°

C.70°

D.80°

考点:平行线的性质. 分析:根据平角的定义求出∠1,再根据两直线平行,内错角相等解答. 解答:解:∵∠1=∠2,∠3=40°, ∴∠1= (180°﹣∠3)= (180°﹣40°)=70°, ∵a∥b, ∴∠4=∠1=70°. 故选 C. 点评:本题考查了平行线的性质,平角等于 180°,熟记性质并求出∠1 是解题的关键. 5. (4 分) (2013?北京)如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点 A,在近岸取 点 B,C,D,使得 AB⊥BC,CD⊥BC,点 E 在 BC 上,并且点 A,E,D 在同一条直线上.若测 得 BE=20m,CE=10m,CD=20m,则河的宽度 AB 等于( )

A.60m

B.40m

C.30m

D.20m

考点:相似三角形的应用.
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分析:由两角对应相等可得△BAE∽△CDE,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB. 解答:解:∵AB⊥BC,CD⊥BC, ∴△BAE∽△CDE, ∴ ∵BE=20m,CE=10m,CD=20m, ∴ 解得:AB=40, 故选 B. 点评:考查相似三角形的应用;用到的知识点为:两角对应相等的两三角形相似;相似三角形 的对应边成比例. 6. (4 分) (2013?北京)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( A. B. C. D. )

考点:中心对称图形;轴对称图形 分析:根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形,再根据中心对称图形的概念得出其中 不是中心对称的图形. 解答:解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项正确; B、是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项错误; C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误; D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误. 故选:A. 点评:本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念. 轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对 称图形; 中心对称图形:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转 180°,旋转后的图形能 和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形. 7. (4 分) (2013?北京)某中学随机地调查了 50 名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时 间,结果如下表所示: 时间(小时) 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是( ) A.6.2 小时 B.6.4 小时 C.6.5 小时 D.7 小时 考点:加权平均数. 分析:根据加权平均数的计算公式列出算式(5×10+6×15+7×20+8×5)÷50,再进行计算即 可.
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解答:解:根据题意得: (5×10+6×15+7×20+8×5)÷50 =(50+90+140+40)÷50 =320÷50 =6.4(小时) . 故这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时. 故选 B. 点评:此题考查了加权平均数,用到的知识点是加权平均数的计算公式,根据加权平均数的计 算公式列出算式是解题的关键. 8. (4 分) (2013?北京)如图,点 P 是以 O 为圆心,AB 为直径的半圆上的动点,AB=2.设弦 AP 的长为 x, △APO 的面积为 y, 则下列图象中, 能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是 ( )

A.

B.

C.

D.

考点:动点问题的函数图象. 分析: 作 OC⊥AP,根据垂径定理得 AC= AP= x,再根据勾股定理可计算出 OC= 后根据三角形面积公式得到 S= x? 判断. 解答: 解:作 OC⊥AP,如图,则 AC= AP= x, 在 Rt△AOC 中,OA=1,OC= 所以 S= OC?AP= x? = (0≤x≤2) , = ,

,然

(0≤x≤2) ,再根据解析式对四个图形进行

所以 y 与 x 的函数关系的图象为 A. 故选 A.

点评:本题考查了动点问题的函数图象:先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数 关系,然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象,注意自变量的取值范围.

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二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 2 2 9. (4 分) (2013?北京)分解因式:ab ﹣4ab+4a= a(b﹣2) . 考点:提公因式法与公式法的综合运用. 专题:因式分解. 2 2 分析:先提取公因式 a,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式:a ﹣2ab+b =(a 2 ﹣b) . 2 解答:解:ab ﹣4ab+4a 2 =a(b ﹣4b+4)﹣﹣(提取公因式) 2 =a(b﹣2) .﹣﹣(完全平方公式) 2 故答案为:a(b﹣2) . 点评:本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分 解,注意分解要彻底. 10. (4 分) (2013?北京)请写出一个开口向上,并且与 y 轴交于点(0,1)的抛物线的解 2 析式,y= x +1(答案不唯一) . 考点:二次函数的性质 专题:开放型. 分析:根据二次函数的性质,开口向上,要求 a 值大于 0 即可. 2 解答:解:抛物线 y=x +1 开口向上,且与 y 轴的交点为(0,1) . 2 故答案为:x +1(答案不唯一) . 点评:本题考查了二次函数的性质,开放型题目,答案不唯一,所写抛物线的 a 值必须大于 0. 11. (4 分) (2013?北京) 如图, O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点, M 是 AD 的中点. 若 AB=5, AD=12,则四边形 ABOM 的周长为 20 .

考点:矩形的性质;三角形中位线定理. 分析:根据题意可知 OM 是△ADC 的中位线,所以 OM 的长可求;根据勾股定理可求出 AC 的长, 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出 BO 的长,进而求出四边形 ABOM 的 周长. 解答:解:∵O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点,M 是 AD 的中点, ∴OM= CD= AB=2.5, ∵AB=5,AD=12, ∴AC= =13,

∵O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点,

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∴BO= AC=6.5, ∴四边形 ABOM 的周长为 AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20, 故答案为 20. 点评:本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半着一性质,题目的综合性很好,难度不大. 12. (4 分) (2013?北京)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:y=﹣x﹣1,双曲线 y= ,在 l 上取一点 A1,过 A1 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B1,过 B1 作 y 轴的垂线交 l 于点 A2,请继续操作并探究:过 A2 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B2,过 B2 作 y 轴的垂线交 l 于点 A3,?,这样依次得到 l 上的点 A1,A2,A3,?,An,?记点 An 的横坐标为 an,若 a1=2,则 a2= ﹣ ﹣1 . ,a2013= ﹣ ;若要将上述操作无限次地进行下去,则 a1 不可能取的值是 0、

考点:反比例函数综合题. 专题:探究型. 分析:求出 a2,a3,a4,a5 的值,可发现规律,继而得出 a2013 的值,根据题意可得 A1 不能在 x 轴上,也不能在 y 轴上,从而可得出 a1 不可能取的值. 解答: 解:当 a1=2 时,B1 的纵坐标为 , B1 的纵坐标和 A2 的纵坐标相同,则 A2 的横坐标为 a2=﹣ , A2 的横坐标和 B2 的横坐标相同,则 B2 的纵坐标为 b2=﹣ , B2 的纵坐标和 A3 的纵坐标相同,则 A3 的横坐标为 a3=﹣ , A3 的横坐标和 B3 的横坐标相同,则 B3 的纵坐标为 b3=﹣3, B3 的纵坐标和 A4 的纵坐标相同,则 A4 的横坐标为 a4=2, A4 的横坐标和 B4 的横坐标相同,则 B4 的纵坐标为 b4= , 即当 a1=2 时,a2=﹣ ,a3=﹣ ,a4=2,a5=﹣ , b1= ,b2=﹣ ,b3=﹣3,b4= ,a5=﹣ ,
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=671,

∴a2013=a3=﹣ ; 点 A1 不能在 y 轴上(此时找不到 B1) ,即 x≠0, 点 A1 不能在 x 轴上(此时 A2,在 y 轴上,找不到 B2) ,即 y=﹣x﹣1≠0, 解得:x≠﹣1; 综上可得 a1 不可取 0、﹣1. 故答案为:﹣ 、﹣ ;0、﹣1.

点评:本题考查了反比例函数的综合,涉及了点的规律变化,解答此类题目一定要先计算出前 面几个点的坐标,由特殊到一般进行规律的总结,难度较大. 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13. (5 分) (2013?北京)已知:如图,D 是 AC 上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE. 求证:BC=AE.

考点:全等三角形的判定与性质. 专题:证明题. 分析:根据两直线平行, 内错角相等求出∠CAB=∠ADE, 然后利用“角边角”证明△ABC 和△DAE 全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可. 解答:证明:∵DE∥AB, ∴∠CAB=∠ADE, ∵在△ABC 和△DAE 中, , ∴△ABC≌△DAE(ASA) , ∴BC=AE. 点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的性质,利用三角形全等证明边相等是常
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用的方法之一,要熟练掌握并灵活运用.
0 ﹣1

14. (5 分) (2013?北京)计算: (1﹣

) +|﹣

|﹣2cos45°+( ) .

考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 分析:分别进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算,然后按照实 数的运算法则计算即可. 解答: 解:原式=1+ ﹣2× +4 =5. 点评:本题考查了实数的运算,涉及了零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数 值,属于基础题,注意各部分的运算法则.

15. (5 分) (2013?北京)解不等式组:



考点:解一元一次不等式组 专题:计算题. 分析:先求出两个不等式的解集,再求其公共解. 解答: 解: , 解不等式①得,x>﹣1, 解不等式②得,x< , 所以,不等式组的解集是﹣1<x< . 点评:本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式 组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解) . 16. (5 分) (2013?北京)已知 x ﹣4x﹣1=0,求代数式(2x﹣3) ﹣(x+y) (x﹣y)﹣y 的 值. 考点:整式的混合运算—化简求值. 专题:计算题. 分析:所求式子第一项利用完全平方公式展开,第二项利用平方差公式化简,去括号合并得到 最简结果,将已知方程变形后代入计算即可求出值. 2 2 2 2 解答:解:原式=4x ﹣12x+9﹣x +y ﹣y 2 =3x ﹣12x+9 2 =3(x ﹣4x+3) , 2 2 ∵x ﹣4x﹣1=0,即 x ﹣4x=1, ∴原式=12.
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2 2 2

点评:此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,涉及的知识有:完全平方公式,平方差公式, 去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解本题的关键. 17. (5 分) (2013?北京)列方程或方程组解应用题: 某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化, 由于施工时增加了 2 名工人, 结果 比计划提前 3 小时完成任务,若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积. 考点:分式方程的应用. 分析:设每人每小时的绿化面积 x 平方米,根据增加 2 人后完成的时间比原来的时间少 3 小时 为等量关系建立方程求出其解即可. 解答:解:设每人每小时的绿化面积 x 平方米,由题意,得 , 解得:x=2.5. 经检验,x=2.5 是原方程的解,且符合题意. 答:每人每小时的绿化面积 2.5 平方米. 点评:本题考查了列分式方程解实际问题的运用,分式方程的解法的运用,解答时验根是必须 的过程,学生容易忘记,解答本题时根据增加 2 人后完成的时间比原来的时间少 3 小时 为等量关系建立方程是关键. 18. (5 分) (2013?北京) 已知关于 x 的一元二次方程 x +2x+2k﹣4=0 有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)若 k 为正整数,且该方程的根都是整数,求 k 的值. 考点:根的判别式;一元二次方程的解;解一元二次方程-公式法. 专题:计算题. 分析:(1)根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式的值大于 0 列出关于 k 的不等 式,求出不等式的解集即可得到 k 的范围; (2)找出 k 范围中的整数解确定出 k 的值,经检验即可得到满足题意 k 的值. 解答:解: (1)根据题意得:△=4﹣4(2k﹣4)=20﹣8k>0, 解得:k< ;
2

(2)由 k 为整数,得到 k=1 或 2, 利用求根公式表示出方程的解为 x=﹣1± ,

∵方程的解为整数, ∴5﹣2k 为完全平方数, 则 k 的值为 2. 点评:此题考查了根的判别式,一元二次方程的解,以及公式法解一元二次方程,弄清题意是 解本题的关键. 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分)

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19. (5 分) (2013?北京)如图,在?ABCD 中,F 是 AD 的中点,延长 BC 到点 E,使 CE= BC, 连接 DE,CF. (1)求证:四边形 CEDF 是平行四边形; (2)若 AB=4,AD=6,∠B=60°,求 DE 的长.

考点:平行四边形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形;勾股定理 分析:(1)由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知 AD∥BC,且 AD=BC;然后根据中 点的定义、结合已知条件推知四边形 CEDF 的对边平行且相等(DF=CE,且 DF∥CE) ,即 四边形 CEDF 是平行四边形; (2) 如图, 如图, 过点 D 作 DH⊥BE 于点 H, 构造含 30 度角的直角△DCH 和直角△DHE. 通 过解直角△DCH 和在直角△DHE 中运用勾股定理来求线段 ED 的长度. 解答:(1)证明:在?ABCD 中,AD∥BC,且 AD=BC. ∵F 是 AD 的中点, ∴DF= .

又∵CE= BC, ∴DF=CE,且 DF∥CE, ∴四边形 CEDF 是平行四边形; (2)解:如图,过点 D 作 DH⊥BE 于点 H. 在?ABCD 中,∵∠B=60°, ∴∠DCE=60°. ∵AB=4, ∴CD=AB=4, ∴CH=2,DH=2 . 在?CEDF 中,CE=DF= AD=3,则 EH=1. ∴在 Rt△DHE 中,根据勾股定理知 DE= = .

点评:本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理.平行四边形的判定方法共有五种,应
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用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法. 20. (5 分) (2013?北京)如图 AB 是⊙O 的直径,PA,PC 与⊙O 分别相切于点 A,C,PC 交 AB 的延长线于点 D,DE⊥PO 交 PO 的延长线于点 E. (1)求证:∠EPD=∠EDO; (2)若 PC=6,tan∠PDA= ,求 OE 的长.

考点:切线的性质;相似三角形的判定与性质. 分析:(1)根据切线长定理和切线的性质即可证明:∠EPD=∠EDO; (2)连接 OC,利用 tan∠PDA= ,可求出 CD=4,再证明△OED∽△DEP,根据相似三角 形的性质和勾股定理即可求出 OE 的长. 解答:(1)证明:PA,PC 与⊙O 分别相切于点 A,C, ∴∠APO=∠EPD 且 PA⊥AO, ∴∠PAO=90°, ∵∠AOP=∠EOD,∠PAO=∠E=90°, ∴∠APO=∠EDO, ∴∠EPD=∠EDO; (2)解:连接 OC, ∴PA=PC=6, ∵tan∠PDA= , ∴在 Rt△PAD 中,AD=8,PD=10, ∴CD=4, ∵tan∠PDA= , ∴在 Rt△OCD 中,OC=OA=3,OD=5, ∵∠EPD=∠DEP, ∴△OED∽△DEP, ∴ ,
2 2 2

在 Rt△OED 中,OE +DE =5 , ∴OE= .

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点评:本题综合考查了切线长定理,相似三角形的性质和判定,勾股定理的应用,能综合运用 性质进行推理和计算是解此题的关键,通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的 能力. 21. (5 分) (2013?北京)第九届中国国际园林博览会(园博会)已于 2013 年 5 月 18 日在 北京开幕,以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分.

(1)第九届园博会的植物花园区由五个花园组成,其中月季园面积为 0.04 平方千米,牡丹 园面积为 0.03 平方千米; (2)第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍,水面面积是第七、八界园 博会的水面面积之和,请根据上述信息补全条形统计图,并标明相应数据; (3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表) ,发现园博会园区周边设置的停车位数量 与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系.根据小娜的发现, 请估计,将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量(直接写出结果,精 确到百位) . 第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表: 日接待游客量 单日最多接待游客量 停车位数量 (万人次) (万人次) (个) 第七届 0.8 6 约 3000 第八届 2.3 8.2 约 4000 第九届 8(预计) 20(预计) 约 10500 第十届 1.9(预计) 7.4(预计) 约 3700 考点:条形统计图;用样本估计总体;统计表;扇形统计图. 分析:(1)根据月季园和牡丹园所占的比例求出牡丹园的面积即可;
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(2)先算出植物花园的总面积,然后可求出第九届园博会会园区陆地面积,根据图象 求出第七、八界园博会的水面面积之和,补全条形统计图即可; (3)根据图表所给的信息,求出停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系,算 出比值,求出大约需要设置的停车位数量. 解答:解: (1)∵月季园面积为 0.04 平方千米,月季园所占比例为 20%, 则牡丹园的面积为:15%× =0.03(平方千米) ;

(2)植物花园的总面积为:0.04÷20%=0.2(平方千米) , 则第九届园博会会园区陆地面积为:0.2×18=3.6(平方千米) , 第七、八界园博会的水面面积之和=1+0.5=1.5(平方千米) , 则水面面积为 1.5 平方千米, 如图:

; (3)由图标可得,停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系,比值约为 500, 则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为:500×7.4≈3700. 故答案为:0.03;3700. 点评:本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计 图直接反映部分占总体的百分比大小. 22. (5 分) (2013?北京)阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题:如图 1,在边长为 a(a>2)的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时,求正方形 MNPQ 的面积. 小明发现,分别延长 QE,MF,NG,PH 交 FA,GB,HC,ED 的延长线于点 R,S,T,W,可得 △RQF,△SMG,△TNH,△WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图 2) 请回答: (1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠) ,则这个新正方形 2 的边长为 a ; (2)求正方形 MNPQ 的面积. (3)参考小明思考问题的方法,解决问题:
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如图 3,在等边△ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF,再分别过点 D,E,F 作 BC,AC,AB 的垂 线,得到等边△RPQ.若 S△RPQ= ,则 AD 的长为 .

考点:四边形综合题 2 分析:(1)四个等腰直角三角形的斜边长为 a,其拼成的正方形面积为 a ; (2)如题图 2 所示,正方形 MNPQ 的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和, 据此求出正方形 MNPQ 的面积; (3)参照小明的解题思路,对问题做同样的等积变换.如答图 1 所示,三个等腰三角 形△RSF,△QEF,△PDW 的面积和等于等边三角形△ABC 的面积,故阴影三角形△PQR 的 面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和.据此列方程求出 AD 的长度. 解答: 解: (1)四个等腰直角三角形的斜边长为 a,则斜边上的高为 a, 每个等腰直角三角形的面积为: a? a= a , 则拼成的新正方形面积为:4× a =a ,即与原正方形 ABCD 面积相等. 故填空答案为:a . (2)∵四个等腰直角三角形的面积和为 a ,正方形 ABCD 的面积为 a , ∴S 正方形 MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4× ×12=2.
2 2 2 2 2 2

(3)如答图 1 所示,分别延长 RD,QF,PE 交 FA,EC,DB 的延长线于点 S,T,W.

由题意易得: △RSF, △QEF, △PDW 均为底角是 30°的等腰三角形, 其底边长均等于△ABC 的边长.
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不妨设等边三角形边长为 a,则 SF=AC=a. 如答图 2 所示,过点 R 作 RM⊥SF 于点 M,则 MF= SF= a, 在 Rt△RMF 中,RM=MF?tan30°= a× ∴S△RSF= a? a= a. x.
2 2

=

a,

过点 A 作 AN⊥SD 于点 N,设 AD=AS=x,同理可求得:S△ADS=

∵三个等腰三角形△RSF,△QEF,△PDW 的面积和=3S△RSF=3× 正△ABC 的面积为 a,
2

a=

2

a,

2

∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS, ∴ =3× x ,解得 x= 或 x=
2

(不合题意,舍去)

∴x= ,即 AD 的长为 . 故填空答案为: . 点评:本题考查了几何图形的等积变换,涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角 形、解直角三角形等多个知识点,是一道好题.通过本题我们可以体会到,运用等积变 换的数学思想,不仅简化了几何计算,而且形象直观,易于理解,体现了数学的魅力. 五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 2 23. (7 分) (2013?北京)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=mx ﹣2mx﹣2(m≠0)与 y 轴 交于点 A,其对称轴与 x 轴交于点 B. (1)求点 A,B 的坐标; (2)设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称,求直线 l 的解析式; (3)若该抛物线在﹣2<x<﹣1 这一段位于直线 l 的上方,并且在 2<x<3 这一段位于直 线 AB 的下方,求该抛物线的解析式.

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考点:二次函数的性质;一次函数图象与几何变换;二次函数图象上点的坐标特征. 分析:(1)令 x=0 求出 y 的值,即可得到点 A 的坐标,求出对称轴解析式,即可得到点 B 的 坐标; (2) 求出点 A 关于对称轴的对称点 (2, ﹣2) , 然后设直线 l 的解析式为 y=kx+b (k≠0) , 利用待定系数法求一次函数解析式解答即可; (3) 根据二次函数的对称性判断在 2<x<3 这一段与在﹣1<x<0 这一段关于对称轴对 称,然后判断出抛物线与直线 l 的交点的横坐标为﹣1,代入直线 l 求出交点坐标,然 后代入抛物线求出 m 的值即可得到抛物线解析式. 解答:解: (1)当 x=0 时,y=﹣2, ∴A(0,﹣2) , 抛物线的对称轴为直线 x=﹣ ∴B(1,0) ; (2)易得 A 点关于对称轴直线 x=1 的对称点 A′(2,﹣2) , 则直线 l 经过 A′、B, 设直线 l 的解析式为 y=kx+b(k≠0) , 则 解得 , , =1,

所以,直线 l 的解析式为 y=﹣2x+2; (3)∵抛物线的对称轴为直线 x=1, ∴抛物线在 2<x<3 这一段与在﹣1<x<0 这一段关于对称轴对称, 结合图象可以观察到抛物线在﹣2<x<﹣1 这一段位于直线 l 的上方,在﹣1<x<0 这 一段位于直线 l 的下方, ∴抛物线与直线 l 的交点的横坐标为﹣1, 当 x=﹣1 时,y=﹣2×(﹣1)+2=4, 所以,抛物线过点(﹣1,4) , 当 x=﹣1 时,m+2m﹣2=4, 解得 m=2,
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∴抛物线的解析式为 y=2x ﹣4x﹣2.

2

点评:本题考查了二次函数的性质, 一次函数图象与几何变换, 二次函数图象上点的坐标特征, 第(3)小题较难,根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点(﹣1,4)是解题的关 键. 24. (7 分) (2013?北京)在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=α (0°<α <60°) ,将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD. (1)如图 1,直接写出∠ABD 的大小(用含 α 的式子表示) ; (2)如图 2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连接 DE,若∠DEC=45°,求 α 的值.

考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等腰直角三角形;旋转的性质 分析:(1)求出∠ABC 的度数,即可求出答案; (2)连接 AD,CD,ED,根据旋转性质得出 BC=BD,∠DBC=60°,求出∠ABD=∠EBC=30° ﹣ α ,且△BCD 为等边三角形,证△ABD≌△ACD,推出∠BAD=∠CAD= ∠BAC= α ,求 出∠BEC= α =∠BAD,证△ABD≌△EBC,推出 AB=BE 即可; (3)求出∠DCE=90°,△DEC 为等腰直角三角形,推出 DC=CE=BC,求出∠EBC=15°, 得出方程 30°﹣ α =15°,求出即可. 解答:解: (1)∵AB=AC,∠A=α , ∴∠ABC=∠ACB= (180°﹣∠A)=90°﹣ α , ∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC,∠DBC=60°,
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即∠ABD=30°﹣ α ;

(2)△ABE 是等边三角形, 证明:连接 AD,CD,ED, ∵线段 BC 绕 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD, 则 BC=BD,∠DBC=60°, ∵∠ABE=60°, ∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣ α ,且△BCD 为等边三角形, 在△ABD 与△ACD 中

∴△ABD≌△ACD, ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= α , ∵∠BCE=150°, ∴∠BEC=180°﹣(30°﹣ α )﹣150°= α =∠BAD, 在△ABD 和△EBC 中

∴△ABD≌△EBC, ∴AB=BE, ∴△ABE 是等边三角形; (3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°, ∴∠DCE=150°﹣60°=90°, ∵∠DEC=45°, ∴△DEC 为等腰直角三角形, ∴DC=CE=BC, ∵∠BCE=150°, ∴∠EBC= (180°﹣150°)=15°, ∵∠EBC=30°﹣ α =15°, ∴α =30°.

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点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质和判定,等腰直角三角形的判 定和性质的应用,注意:全等三角形的判定定理有 SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的 性质是全等三角形的对应边相等,对应角相等. 25. (8 分) (2013?北京)对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙C,给出如下的定义:若⊙C 上存在两个点 A、B,使得∠APB=60°,则称 P 为⊙C 的关联点.已知点 D( , ) ,E(0, ﹣2) ,F(2 ,0) . (1)当⊙O 的半径为 1 时, ①在点 D、E、F 中,⊙O 的关联点是 D,E . ②过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点 G,使∠GFO=30°,若直线 l 上的点 P(m,n)是⊙O 的关联点,求 m 的取值范围; (2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径 r 的取值范围.

考点:圆的综合题. 分析:(1)①根据关联点的定义得出 E 点是⊙O 的关联点,进而得出 F、D,与⊙O 的关系; ②若 P 要刚好是⊙C 的关联点, 需要点 P 到⊙C 的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角为 60°, 进而得出 PC 的长,进而得出点 P 到圆心的距离 d 满足 0≤d≤2r,再考虑临界点位置的 P 点,进而得出 m 的取值范围; (2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点,欲使这个圆的半径最小,则这个圆的 圆心应在线段 EF 的中点;再考虑临界情况,即恰好 E、F 点为⊙K 的关联时,则 KF=2KN= EF=2,即可得出圆的半径 r 的取值范围. 解答:解: (1)①如图 1 所示,过点 E 作⊙O 的切线设切点为 R, ∵⊙O 的半径为 1,∴RO=1,
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∵EO=2, ∴∠OER=30°, 根据切线长定理得出⊙O 的左侧还有一个切点,使得组成的角等于 30°, ∴E 点是⊙O 的关联点, ∵D( , ) ,E(0,﹣2) ,F(2 ,0) ,

∴OF>EO,DO<EO, ∴D 点一定是⊙O 的关联点,而在⊙O 上不可能找到两点使得组成的角度等于 60°, 故在点 D、E、F 中,⊙O 的关联点是 D,E; 故答案为:D,E; ②由题意可知,若 P 要刚好是⊙C 的关联点, 需要点 P 到⊙C 的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角为 60°, 由图 2 可知∠APB=60°,则∠CPB=30°, 连接 BC,则 PC= =2BC=2r,

∴若 P 点为⊙C 的关联点,则需点 P 到圆心的距离 d 满足 0≤d≤2r; 由上述证明可知,考虑临界点位置的 P 点, 如图 3,点 P 到原点的距离 OP=2×1=2, 过点 O 作 x 轴的垂线 OH,垂足为 H,tan∠OGF= ∴∠OGF=60°, ∴OH=OGsin60°= sin∠OPH= = , = = ,



∴∠OPH=60°, 可得点 P1 与点 G 重合, 过点 P2 作 P2M⊥x 轴于点 M, 可得∠P2OM=30°, ∴OM=OP2cos30°= , 从而若点 P 为⊙O 的关联点,则 P 点必在线段 P1P2 上, ∴0≤m≤ ; (2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点,欲使这个圆的半径最小,则这个圆的 圆心应在线段 EF 的中点; 考虑临界情况,如图 4, 即恰好 E、F 点为⊙K 的关联时,则 KF=2KN= EF=2, 此时,r=1, 故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点,这个圆的半径 r 的取值范围为 r≥1.

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点评:此题主要考查了圆的综合应用以及切线判定与性质以及锐角三角函数关系和新概念等 知识,注意临界点位置的应用是解题关键.

北京市 2014 年中考数学试卷
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分)下面各题均有四个选项,其中只有一个.是符合 题意的. 1. (4 分) (2014?北京)2 的相反数是( ) 2 A. B.﹣2 C. D. ﹣

考点: 相反数. 分析: 根据相反数的概念作答即可. 解答: 解:根据相反数的定义可知:2 的相反数是﹣2. 故选:B. 点评: 此题主要考查相反数的定义:只有符号相反的两个数互为相反数.0 的相反数是其本 身.
.

2. (4 分) (2014?北京)据报道,某小区居民李先生改进用水设备,在十年内帮助他居住小 区的居民累计节水 300 000 吨.将 300 000 用科学记数法表示应为( ) 6 5 6 A.0.3×10 B.3×10 C.3×10 D.30×104 考点: 科学记数法—表示较大的数. n 分析: 科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 5 解答: 解:300 000=3×10 , 故选:B. n 点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
.

3. (4 分) (2014?北京) 如图, 有 6 张扑克牌, 从中随机抽取一张, 点数为偶数的概率是 (



A.

B.

C.

D.

考点: 概率公式. 分析: 由有 6 张扑克牌,从中随机抽取一张,点数为偶数的有 3 种情况,直接利用概率公式
.

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求解即可求得答案. 解答: 解:∵有 6 张扑克牌,从中随机抽取一张,点数为偶数的有 3 种情况, ∴从中随机抽取一张,点数为偶数的概率是: = . 故选 D. 点评: 此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 4. (4 分) (2014?北京)如图是几何体的三视图,该几何体是( )

A.圆锥

B.圆柱

C.正三棱柱

D.正三棱锥

考点: 由三视图判断几何体. 分析: 如图:该几何体的俯视图与左视图均为矩形,主视图为三角形,易得出该几何体的形 状. 解答: 解:该几何体的左视图为矩形,俯视图亦为矩形,主视图是一个三角形, 则可得出该几何体为三棱柱. 故选 C. 点评: 本题是个简单题,主要考查的是三视图的相关知识,解得此题时要有丰富的空间想象 力.
.

5. (4 分) (2014?北京)某篮球队 12 名队员的年龄如表: 19 20 21 年龄(岁) 18 5 4 1 2 人数 则这 12 名队员年龄的众数和平均数分别是( ) A.18,19 B.19,19 C.18,19.5 考点: 众数;加权平均数. 分析: 根据众数及平均数的概念求解. 解答: 解:年龄为 18 岁的队员人数最多,众数是 18;
.

D.19,19.5

平均数=

=19.

故选 A. 点评: 本题考查了众数及平均数的知识,掌握众数及平均数的定义是解题关键. 6. (4 分) (2014?北京)园林队在某公园进行绿化,中间休息了一段时间.已知绿化面积 S (单位:平方米)与工作时间 t(单位:小时)的函数关系的图象如图,则休息后园林队每 小时绿化面积为( )
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A.40 平方米

B.50 平方米

C.80 平方米

D.100 平方米

考点: 函数的图象. 分析: 根据图象可得,休息后园林队 2 小时绿化面积为 160﹣60=100 平方米,然后可得绿化 速度. 解答: 解:根据图象可得,休息后园林队 2 小时绿化面积为 160﹣60=100 平方米, 每小时绿化面积为 100÷2=50(平方米) . 故选:B. 点评: 此题主要考查了函数图象,关键是正确理解题意,从图象中找出正确信息.
.

7. (4 分) (2014?北京)如图,圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足是 E,∠A=22.5°,OC=4, CD 的长为( )

A.2

B.4

C .4

D.8

考点: 垂径定理;等腰直角三角形;圆周角定理. 分析: 根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°,由于圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD,根据垂径
.

定理得 CE=DE,且可判断△ OCE 为等腰直角三角形,所以 CE= 然后利用 CD=2CE 进行计算. 解答: 解:∵∠A=22.5°, ∴∠BOC=2∠A=45°, ∵圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD, ∴CE=DE,△ OCE 为等腰直角三角形, ∴CE= OC=2 , .

OC=2



∴CD=2CE=4 故选 C.

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点评: 本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这 条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理. 8. (4 分) (2014?北京)已知点 A 为某封闭图形边界上一定点,动点 P 从点 A 出发,沿其 边界顺时针匀速运动一周.设点 P 运动的时间为 x,线段 AP 的长为 y.表示 y 与 x 的函数 关系的图象大致如图,则该封闭图形可能是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 动点问题的函数图象. 分析: 根据等边三角形,菱形,正方形,圆的性质,分析得到 y 随 x 的增大的变化关系,然 后选择答案即可. 解答: 解:A、等边三角形,点 P 在开始与结束的两边上直线变化, 在点 A 的对边上时,设等边三角形的边长为 a,
.

则 y=

(a<x<2a) ,符合题干图象;

B、菱形,点 P 在开始与结束的两边上直线变化, 在另两边上时,都是先变速减小,再变速增加,题干图象不符合; C、正方形,点 P 在开始与结束的两边上直线变化, 在另两边上,先变速增加至∠A 的对角顶点,再变速减小至另一顶点,题干图象不符 合; D、圆,AP 的长度,先变速增加至 AP 为直径,然后再变速减小至点 P 回到点 A,题 干图象不符合. 故选 A. 点评: 本题考查了动点问题函数图象,熟练掌握等边三角形,菱形,正方形以及圆的性质, 理清点 P 在各边时 AP 的长度的变化情况是解题的关键. 二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)
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9. (4 分) (2014?北京)分解因式:ax ﹣9ay = a(x ﹣3y) (x +3y)

4

2

2

2



考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 分析: 首先提取公因式 a,进而利用平方差公式进行分解即可. 4 2 4 2 2 2 解答: 解:ax ﹣9ay =a(x ﹣9y )=a(x ﹣3y) (x +3y) . 2 2 故答案为:a(x ﹣3y) (x +3y) . 点评: 此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用,正确利用平方差公式是解题关键.
.

10. (4 分) (2014?北京)在某一时刻,测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m,同时测得 一根旗杆的影长为 25m,那么这根旗杆的高度为 15 m. 考点: 相似三角形的应用. 分析: 根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解. 解答: 解:设旗杆高度为 x 米,
.

由题意得,

=



解得 x=15. 故答案为:15. 点评: 本题考查了相似三角形的应用,主要利用了同时同地物高与影长成正比,需熟记. 11. (4 分) (2014?北京)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正方形 OABC 的边长为 2.写 出一个函数 y= (k≠0) , 使它的图象与正方形 OABC 有公共点, 这个函数的表达式为 y= (0<k≤4) (答案不唯一) . y= ,

考点: 反比例函数图象上点的坐标特征. 专题: 开放型. 分析: 先根据正方形的性质得到 B 点坐标为(2,2) ,然后根据反比例函数图象上点的坐标 特征求出过 B 点的反比例函数解析式即可. 解答: 解:∵正方形 OABC 的边长为 2, ∴B 点坐标为(2,2) ,
.

当函数 y=

(k≠0)过 B 点时,k=2×2=4,

∴满足条件的一个反比例函数解析式为 y= .

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故答案为:y= ,y= (0<k≤4) (答案不唯一) . 点评: 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数 y= (k 为常数,k≠0)的图 象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值 k,即 xy=k. 12. (4 分) (2014?北京)在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y) ,我们把点 P(﹣y+1, x+1)叫做点 P 的伴随点.已知点 A1 的伴随点为 A2,点 A2 的伴随点为 A3,点 A3 的伴随点 为 A4,…,这样依次得到点 A1,A2,A3,…,An,….若点 A1 的坐标为(3,1) ,则点 A3 的坐标为 (﹣3,1) ,点 A2014 的坐标为 (0,4) ;若点 A1 的坐标为(a,b) ,对 于任意的正整数 n, 点 An 均在 x 轴上方, 则 a, b 应满足的条件为 ﹣1<a<1 且 0<b<2 . 考点: 规律型:点的坐标. 分析: 根据“伴随点”的定义依次求出各点,不难发现,每 4 个点为一个循环组依次循环,用 2014 除以 4,根据商和余数的情况确定点 A2014 的坐标即可;再写出点 A1(a,b)的 “伴随点”,然后根据 x 轴上方的点的纵坐标大于 0 列出不等式组求解即可. 解答: 解:∵A1 的坐标为(3,1) ,
.

∴A2(0,4) ,A3(﹣3,1) ,A4(0,﹣2) ,A5(3,1) , …, 依此类推,每 4 个点为一个循环组依次循环, ∵2014÷4=503 余 2, ∴点 A2014 的坐标与 A2 的坐标相同,为(0,4) ; ∵点 A1 的坐标为(a,b) , ∴A2(﹣b+1,a+1) ,A3(﹣a,﹣b+2) ,A4(b﹣1,﹣a+1) ,A5(a,b) , …, 依此类推,每 4 个点为一个循环组依次循环, ∵对于任意的正整数 n,点 An 均在 x 轴上方, ∴ , ,

解得﹣1<a<1,0<b<2. 故答案为: (﹣3,1) , (0,4) ;﹣1<a<1 且 0<b<2. 点评: 本题是对点的变化规律的考查,读懂题目信息,理解“伴随点”的定义并求出每 4 个点 为一个循环组依次循环是解题的关键,也是本题的难点. 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13. (5 分) (2014?北京)如图,点 B 在线段 AD 上,BC∥DE,AB=ED,BC=DB.求证: ∠A=∠E.

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考点: 全等三角形的判定与性质. 专题: 证明题. 分析: 由全等三角形的判定定理 SAS 证得△ ABC≌△EDB,则对应角相等:∠A=∠E. 解答: 证明:如图,∵BC∥DE, ∴∠ABC=∠BDE. 在△ ABC 与△ EDB 中,
.

∴△ABC≌△EDB(SAS) , ∴∠A=∠E. 点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质. 全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证 明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
0
﹣1

14. (5 分) (2014?北京)计算: (6﹣π) +(﹣ ) ﹣3tan30°+|﹣

|

考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 分析: 本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.针 对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答: 解:原式=1﹣5﹣ + =﹣4. 点评: 本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关 键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对 值等考点的运算.
.

15. (5 分) (2014?北京)解不等式 x﹣1≤ x﹣ ,并把它的解集在数轴上表示出来.

考点: 解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集. 分析: 去分母、去括号,移项、合并同类项,系数化成 1 即可求解. 解答: 解:去分母,得:3x﹣6≤4x﹣3, 移项,得:3x﹣4x≤6﹣3, 合并同类项,得:﹣x≤3, 系数化成 1 得:x≥﹣3. 则解集在数轴上表示出来为:
.

. 点评: 本题考查了解简单不等式的能力, 解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符 号这一点而出错.
第 54 页

解不等式要依据不等式的基本性质: (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变; (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变; (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变. 16. (5 分) (2014?北京)已知 x﹣y= ,求代数式(x+1) ﹣2x+y(y﹣2x)的值.
2

考点: 整式的混合运算—化简求值. 分析: 先把代数式计算,进一步化简,再整体代入 x﹣y= ,求得数值即可. 解答: 解:∵x﹣y= , 2 ∴(x+1) ﹣2x+y(y﹣2x) 2 2 =x +2x+1﹣2x+y ﹣2xy 2 2 =x +y ﹣2xy+1 2 =(x﹣y) +1 2 =( ) +1 =3+1 =4. 点评: 此题考查整式的混合运算与化简求值,注意先化简,再整体代入求值.
.

17. (5 分) (2014?北京)已知关于 x 的方程 mx ﹣(m+2)x+2=0(m≠0) . (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数 m 的值. 考点: 根的判别式. 专题: 计算题. 2 2 分析: (1)先计算判别式的值得到△ =(m+2) ﹣4m×2=(m﹣2) ,再根据非负数的值得 到△ ≥0,然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根;
.

2

(2)利用因式分解法解方程得到 x1=1,x2= ,然后利用整数的整除性确定正整数 m 的值. 解答: (1)证明:∵m≠0, 2 △ =(m+2) ﹣4m×2 2 =m ﹣4m+4 2 =(m﹣2) , 2 而(m﹣2) ≥0,即△ ≥0, ∴方程总有两个实数根; (2)解: (x﹣1) (mx﹣2)=0, x﹣1=0 或 mx﹣2=0, ∴x1=1,x2= , 当 m 为正整数 1 或 2 时,x2 为整数, 即方程的两个实数根都是整数, ∴正整数 m 的值为 1 或 2.
第 55 页

2 2 点评: 本题考查了一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =b ﹣4ac:当△ >0,方 程有两个不相等的实数根;当△ =0,方程有两个相等的实数根;当△ <0,方程没有 实数根.

18. (5 分) (2014?北京)列方程或方程组解应用题: 小马自驾私家车从 A 地到 B 地,驾驶原来的燃油汽车所需油费 108 元,驾驶新购买的纯电 动车所需电费 27 元,已知每行驶 1 千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽 车所需的电费多 0.54 元,求新购买的纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费. 考点: 分式方程的应用. 分析: 设新购买的纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费为 x 元, 则原来的燃油汽车所需的油 费为(x+0.54)元,根据驾驶原来的燃油汽车所需油费 108 元,驾驶新购买的纯电动 车所需电费 27 元,所行的路程相等列出方程解决问题. 解答: 解:设新购买的纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费为 x 元,由题意得
.

= 解得:x=0.18 经检验 x=0.18 为原方程的解 答:纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费为 0.18 元. 点评: 此题考查分式方程的应用,找出题目蕴含的数量关系,列出方程解决问题. 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. (5 分) (2014?北京)如图,在?ABCD 中,AE 平分∠BAD,交 BC 于点 E,BF 平分 ABC,交 AD 于点 F,AE 与 BF 交于点 P,连接 EF,PD. (1)求证:四边形 ABEF 是菱形; (2)若 AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求 tan∠ADP 的值.

考点: 菱形的判定;平行四边形的性质;解直角三角形. 分析: (1) 先证明四边形是平行四边形, 再根据平行四边形和角平分线的性质可得 AB=BE, AB=AF,AF=BE,从而证明四边形 ABEF 是菱形; (2) 作 PH⊥AD 于 H, 根据四边形 ABEF 是菱形, ∠ABC=60°, AB=4, 得到 AB=AF=4, ∠ABF=∠ADB=30°,AP⊥BF,从而得到 PH= ,DH=5,然后利用锐角三角函数的 定义求解即可. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC. ∴∠DAE=∠AEB. ∵AE 是角平分线, ∴∠DAE=∠BAE.
.

第 56 页

∴∠BAE=∠AEB. ∴AB=BE. 同理 AB=AF. ∴AF=BE. ∴四边形 ABEF 是平行四边形. ∵AB=BE, ∴四边形 ABEF 是菱形. (2)解:作 PH⊥AD 于 H, ∵四边形 ABEF 是菱形,∠ABC=60°,AB=4, ∴AB=AF=4,∠ABF=∠ADB=30°,AP⊥BF, ∴AP= AB=2, ∴PH= ,DH=5, = .

∴tan∠ADP=

点评: 本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质,解题的关键是牢记菱形的几个判定定 理,难度不大. 20. (5 分) (2014?北京)根据某研究院公布的 2009~2013 年我国成年国民阅读调查报告的 部分相关数据,绘制的统计图表如下: 2009~2013 年成年国民 年人均阅读图书数量统计表 年份 年人均阅读图书数量(本) 2009 3.88 2010 4.12 2011 4.35 2012 4.56 2013 4.78 根据以上信息解答下列问题: (1)直接写出扇形统计图中 m 的值; (2)从 2009 到 2013 年,成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等,估算 2014 年成年国民年人均阅读图书的数量约为 5 本; (3)2013 年某小区倾向图书阅读的成年国民有 990 人,若该小区 2014 年与 2013 年成年国 民的人数基本持平,估算 2014 年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 7500 本.

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考点: 扇形统计图;用样本估计总体;统计表. 分析: (1)1 直接减去个部分的百分数即可; (2)设从 2009 到 2013 年平均增长幅度为 x,列方程求出 x 的值即可; (3)根据(2)的结果直接计算. 解答: 解: (1)m%=1﹣1.0%﹣15.6%﹣2.4%﹣15.0%=66%, ∴m=66.
.

(2)设从 2009 到 2013 年平均增长幅度为 x,列方程得, 3.88×(1+x) =4.78, 1+x≈1.05, x≈0.05, 4.78×(1+0.05)≈5. (3)990÷0.66×5=7500, 故 2014 年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 7500 本. 故答案为 5,7500. 点评: 本题考查了扇形统计图,能从图表中找到相关信息并加以利用是解题的关键. 21. (5 分) (2014?北京)如图,AB 是 eO 的直径,C 是 AB 的中点,eO 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 D,E 是 OB 的中点,CE 的延长线交切线 BD 于点 F,AF 交 eO 于点 H,连 接 BH. (1)求证:AC=CD; (2)若 OB=2,求 BH 的长.
? 4

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考点: 切线的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理. 分析: (1)连接 OC,由 C 是 的中点,AB 是⊙O 的直径,则 OC⊥AB,再由 BD 是⊙O
.

的切线,得 BD⊥AB,从而得出 OC∥BD,即可证明 AC=CD; (2) 根据点 E 是 OB 的中点, 得 OE=BE, 可证明△ COE≌△FBE (ASA) , 则 BF=CO, 即可得出 BF=2,由勾股定理得出 AF= 证明△ ABF∽△BHF,即可得出 BH 的长. 解答: (1)证明:连接 OC, ∵C 是 AB 的中点,AB 是⊙O 的直径, ∴O⊥AB, ∵BD 是⊙O 的切线, ∴BD⊥AB, ∴OC∥BD, ∵OA=OB, ∴AC=CD; (2)解:∵E 是 OB 的中点, ∴OE=BE, 在△ COE 和△ FBE 中, , ∴△COE≌△FBE(ASA) , ∴BF=CO, ∴OB=2, ∴BF=2, ∴AF= =2 , ,由 AB 是直径,得 BH⊥AF,可

∵AB 是直径, ∴BH⊥AF, ∴△ABF∽△BHF,

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=



∴AB?BF=AF?BH, ∴BH= = = .

点评: 本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理,是中档题,难度不 大. 22. (5 分) (2014?北京)阅读下面材料:小腾遇到这样一个问题:如图 1,在△ ABC 中, 点 D 在线段 BC 上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求 AC 的长. 小腾发现,过点 C 作 CE∥AB,交 AD 的延长线于点 E,通过构造△ ACE,经过推理和计算 能够使问题得到解决(如图 2) . 请回答:∠ACE 的度数为 75° ,AC 的长为 3 . 参考小腾思考问题的方法,解决问题: 如图 3,在四边形 ABCD 中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC 与 BD 交于点 E, AE=2,BE=2ED,求 BC 的长.

考点: 相似三角形的判定与性质;勾股定理;解直角三角形. 分析: 根据相似的三角形的判定与性质,可得 =2,根据等腰三角形的判定,可
.

得 AD=AC,根据正切函数,可得 DF 的长,根据直角三角形的性质,可得 AB 与 DF 的关系,根据勾股定理,可得答案. 解答: 解:∠ACE=75°,AC 的长为 3. 过点 D 作 DF⊥AC 于点 F. ∵∠BAC=90°=∠DFA, ∴AB∥DF,

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∴△ABE∽△FDE,∴

=2,

∴EF=1,AB=2DF. 在△ ACD 中,∠CAD=30°,∠ADC=75°, ∴∠ACD=75°,AC=AD. ∵DF⊥AC, ∴∠AFD=90°, 在△ AFD 中,AF=2+1=3,∠FAD=30°, ∴DF=AFtan30°= ,AD=2DF=2 . ∴AC=AD=2 ,AB=2DF=2 . ∴BC= =2 .

点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,利用了相似三角形的判定与性质,直角三角形 的性质,勾股定理. 五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23. (7 分) (2014?北京)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=2x +mx+n 经过点 A(0,﹣ 2) ,B(3,4) . (1)求抛物线的表达式及对称轴; (2)设点 B 关于原点的对称点为 C,点 D 是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在 A,B 之 间的部分为图象 G(包含 A,B 两点) .若直线 CD 与图象 G 有公共点,结合函数图象,求 点 D 纵坐标 t 的取值范围.
2

考点: 待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的最值.
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.

专题: 计算题. 分析: (1)将 A 与 B 坐标代入抛物线解析式求出 m 与 n 的值,确定出抛物线解析式,求出 对称轴即可; (2)由题意确定出 C 坐标,以及二次函数的最小值,确定出 D 纵坐标的最小值,求 出直线 BC 解析式,令 x=1 求出 y 的值,即可确定出 t 的范围. 2 解答: 解: (1)∵抛物线 y=2x +mx+n 经过点 A(0,﹣2) ,B(3,4) , 代入得: ,

解得:


2

∴抛物线解析式为 y=2x ﹣4x﹣2,对称轴为直线 x=1; (2)由题意得:C(﹣3,﹣4) ,二次函数 y=2x ﹣4x﹣2 的最小值为﹣4, 由函数图象得出 D 纵坐标最小值为﹣4, 设直线 BC 解析式为 y=kx+b, 将 B 与 C 坐标代入得: 解得:k= ,b=0, ∴直线 BC 解析式为 y= x, 当 x=1 时,y= , 则 t 的范围为﹣4≤t≤ . ,
2

点评: 此题考查了待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式,以及函数 的最值,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

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24. (7 分) (2014?北京) 在正方形 ABCD 外侧作直线 AP, 点 B 关于直线 AP 的对称点为 E, 连接 BE,DE,其中 DE 交直线 AP 于点 F.

(1)依题意补全图 1; (2)若∠PAB=20°,求∠ADF 的度数; (3)如图 2,若 45°<∠PAB<90°,用等式表示线段 AB,FE,FD 之间的数量关系,并证 明. 考点: 四边形综合题. 分析: (1)根据题意直接画出图形得出即可; (2)利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案; (3)由轴对称的性质可得:EF=BF,AE=AB=AD,∠ABF=∠AEF=∠ADF,进而利 用勾股定理得出答案. 解答: 解: (1)如图 1 所示:
.

(2)如图 2,连接 AE, 则∠PAB=∠PAE=20°,AE=AB=AD, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠BAD=90°, ∴∠EAP=∠BAP=20°, ∴∠EAD=130°, ∴∠ADF= =25°;

(3)如图 3,连接 AE、BF、BD, 由轴对称的性质可得:EF=BF,AE=AB=AD, ∠ABF=∠AEF=∠ADF, ∴∠BFD=∠BAD=90°, 2 2 2 ∴BF +FD =BD , 2 2 2 ∴EF +FD =2AB .

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点评: 此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识, 利用轴对称 的性质得出对应边相等是解题关键. 25. (8 分) (2014?北京)对某一个函数给出如下定义:若存在实数 M>0,对于任意的函数 值 y,都满足﹣M<y≤M,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的 M 中,其最小值称 为这个函数的边界值.例如,如图中的函数是有界函数,其边界值是 1. (1)分别判断函数 y= (x>0)和 y=x+1(﹣4≤x≤2)是不是有界函数?若是有界函数, 求其边界值; (2)若函数 y=﹣x+1(a≤x≤b,b>a)的边界值是 2,且这个函数的最大值也是 2,求 b 的 取值范围; (3)将函数 y=x (﹣1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移 m 个单位,得到的函数的边界值是 t, 当 m 在什么范围时,满足 ≤t≤1?
2

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题; (2)根据函数的增减性、边界值确定 a=﹣1;然后由“函数的最大值也是 2”来求 b 的
.

第 64 页

取值范围; (3)需要分类讨论:m<1 和 m≥1 两种情况.由函数解析式得到该函数图象过点(﹣ 1,1) 、 (0,0) ,根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是(﹣1,1﹣m) 、 (0, ﹣m) ; 最后由函数边界值的定义列出不等式 ≤1﹣m≤1 或﹣1≤﹣m≤﹣ , 易求 m 取值 范围:0≤m≤ 或 ≤m≤1. 解答: 解: (1)根据有界函数的定义知,函数 y= (x>0)不是有界函数. y=x+1(﹣4≤x≤2)是有界函数.边界值为:2+1=3; (2)∵函数 y=﹣x+1 的图象是 y 随 x 的增大而减小, ∴当 x=a 时,y=﹣a+1=2,则 a=﹣1

当 x=b 时,y=﹣b+1.则



∴﹣1<b≤3; (3)若 m>1,函数向下平移 m 个单位后,x=0 时,函数值小于﹣1,此时函数的边 界 t≥1,与题意不符,故 m≤1. 当 x=﹣1 时,y=1 即过点(﹣1,1) 当 x=0 时,y 最小=0,即过点(0,0) , 都向下平移 m 个单位,则 (﹣1,1﹣m) 、 (0,﹣m) ≤1﹣m≤1 或﹣1≤﹣m≤﹣ , ∴0≤m≤ 或 ≤m≤1. 点评: 本题考查了二次函数综合题型.掌握“有界函数”和“有界函数的边界值”的定义是解题 的关键.

2015 年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
一、选择题 下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的。 .. 1.截止到 2015 年 6 月 1 日,北京市已建成 34 个地下调蓄设施,蓄水能力达到 1 40 000 立 方平米。将 1 40 000 用科学记数法表示应为 A.14× 104 B.1.4× 105 C.1.4× 106 D.0.14× 106 2.实数 a,b,c,d 在数轴上的对应点的位置如图所示,这四个数中,绝对值最大的是
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A.a

B.b

C.c

D.d

3.一个不透明的盒子中装有 3 个红球,2 个黄球和 1 个绿球,这些球除了颜色外无其他差 别,从中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率为

A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

4.剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中,是轴对称图形的为

5.如图,直线 l1,l2,l 3 交于一点,直线 l4∥l1,若∠1=124° ,∠2=88° ,则∠3 的度数为

3 2 1

A.26° C.46°

B.36° D .56°

6.如图,公路 AC,BC 互相垂直,公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开,若测得 AM 的长 为 1.2km,则 M,C 两点间的距离为 A.0.5km C.0.9km B.0.6km D.1.2km

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7.某市 6 月份日平均气温统计如图所示,则 在日平均气温这组数据中,众数和中位数分别 是



气温/C

A.21,21

B.21,21.5

C.21,22

D.22,22

8.右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图。若这个坐标系分别以 正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向。表示太和门的点坐标为(0,-1) ,表示九龙壁点 的坐标为(4,1) ,则表示下列宫殿的点的坐标正确的.



A.景仁宫(4,2)

B.养心殿(-2,3)
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C.保和殿(1,0)

D.武英殿(-3.5,-4)

9.一家游泳馆的游泳收费标准为 30 元/次,若购买会员年卡,可享受如下优惠: 会员年卡类型 A类 B类 C类 办卡费用(元) 50 200 400 每次游泳收费(元) 25 20 15

例如,购买 A 类会员卡,一年内游泳 20 次,消费 50+25× 20=550 元,若一年内在该游泳 馆游泳的次数介于 45~55 次 之间,则最省钱的方 式为 A.购买 A 类会员年卡 C.购买 C 类会员年卡 B.购买 B 类会员年卡 D.不购买会员年卡

10.一个寻宝游戏的寻宝通道如图 1 所示,通道由在同 一平面内的 AB,BC,CA,OA, OB,OC 组成。为记录寻宝者的进行路线,在 BC 的中点 M 处放置了一台定位仪器,设 寻宝者行进的时间为 x,寻宝者与定位仪器之间的距离为 y,若寻宝者匀速行进,且表 示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示,则寻宝者的行进路线可能为

A.A→O→B 二、填空题

B.B→A→C

C.B→O→C

D.C→B→O

2 11.分解因式:5x?-10x +5x=_________. 12.右图是由射线 AB,BC,CD,DE,组成的平面图形,则∠1+∠2+∠53+∠4+∠5=_____.

13. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的 基本框架。它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术。其中, 方程术是《九章算术》最高的数学成就。 《九章算术》中记载:“今 有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两。问牛、羊各直
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金几何?” 译文:“假设有 5 头牛、2 只羊,值金 10 两;2 头牛、5 只羊,值金 8 两。问每头牛、 每只羊各值金多少两” 设每头牛值金 x,每只羊各值金 y 两,可列方程组为_____________. 14.关于 x 的一元二次方程 a x2+bx+=0 有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数 a, b 的值:a=______,b=______. 15.北京市 2009-2014 年轨道交通日均客运量统计如图所示。根据统计图中提供信息,预估 2015 年北京市轨道交通日均客运量约________万人次,你的预估理由是 ____________________________________________________________.

日均客运量/万人次

1200 1000 800 600 400 200 0 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份 390 510 600 670 880 930

16.阅读下面材料: 在数学课上,老师提出如下问题: 尺规作图:作一条线段的垂直平分线. 已知:线段 AB.

小芸的作法如下: 如图, (1)分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 AB 的长为半径作弧,两弧相交于 C、D 两点; (2)作直线 CD

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老师说 :“小芸的作法正确.” 请回答:小芸的作图依据是_________________________. 三、解答题(本题共 72 分,第 17—26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分)
?2 0 17. 计算: ( ) ? (? ? 7) ?

1 2

3 ? 2 ? 4sin 60? 。

2 18. 已知 2a ? 3a ? 6 ? 0 . 求代数式 3a(2a ? 1) ? (2a ? 1)(2a ?1) 的值。

?4( x ? 1) ? 7 x ? 10 ? 19. 解不等式组 ? ,并写出它的所有非负整数解 。 x ?8 ..... x ? 5 ? ? 3 ?

20. 如图,在 ?ABC 中, AB ? AC ,AD 是 BC 边上的中线, BE ? AC 于点 E。 求证: ?CBE ? ?BAD 。 A

E

B

D

C

21. 为解决“最后一公里”的交通接驳问题,北京市投放了大量公租自行车供市民使用。到 2013 年底,全市已有公租自行车 25000 辆,租赁点 600 个,预计到 2015 年底,全市将有公 租自行车 50000 辆,并且平均每个租赁点 的公租自行车数量是 2013 年底平均每个租赁点的 公租自行车数量的 1.2 倍。预计到 2015 年底,全市将有租赁点多少个?

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22. 在 ABCD 中,过点 D 作 DE ? AB 于点 E,点 F 在边 CD 上, DF ? BE ,连接 AF, BF。 (1)求证:四边形 BFDE 是矩形; (2)若 CF ? 3 , BF ? 4 , DF ? 5 ,求证:AF 平分 ? DAB 。 D F C

A

E

B

23 . 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? kx ? b(k ? 0) 与双曲线 y ?

8 的一个交点为 x

P(2, m) ,与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B。
(1)求 m 的 值; (2)若 PA ? 2 AB ,求 k 的值。 24. 如图,AB 是⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BM,弦 CD / / BM ,交 AB 于点 F, 且 DA ? DC ,链接 AC,AD,延长 AD 交 BM 地点 E。 (1)求证: ?ACD 是等边三角形。 (2)链接 OE,若 DE ? 2 ,求 OE 的长。 A 25. 阅读下列材料: O F C D M E B

2015 年清明小长假,北京市属公园开展以 “清明踏青,春色满园”为主题的游园活动, 虽然气温小幅走低,但游客踏青赏花的热情很高,市属公园游客接待量约为 190 万人次,其 中玉渊潭公园的樱花,北京 植物园的桃花受到了游客的热捧,两公园的 游客接待量分别为 38 万人次、21.75 万人次;颐和园、天坛公园、北海公园因皇家 园林的厚重文化底蕴与满园 春色成为游客的重要目的地,游客接待量分别为 26 万人次,17.6 万人次;北京动物园游客 接待量为 18 万人次,熊猫馆的游客密集度较高。

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2014 年清明小长假, 天气晴好, 北京晴好, 北京市属 公园游客接待量约为 200 万人次, 其中,玉渊潭公园游客接待量比 2013 年清明小长假增加了 25%;颐和园游客接待量为 26.2 万人次,比 2013 年清明小长假增加了 4.6 万人次;北京动物园游客接待量为 22 万人次。 2013 年清明小长假,玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为 32 万人 次、13 万人次、14.9 万人次。 根据以上材料回答下列问题: (1)2014 年清明小长假,玉渊潭公园游客 接待量为___________万人次。 (2)选择统计表或 统计图,将 2013-2015 年玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量 . 表示出来。

27. 在平面直角坐标系 xOy 中, 过点 (0, 2) 且平行于 x 轴的直线, 与直线 y ? x ? 1 交于点 A, 点 A 关于直线 x ? 1 的对称点为 B,抛物线 C1 : y ? x2 ? bx ? c 经过点 A,B。 (1)求点 A,B 的坐标; (2)求抛物线 C1 的表达式及顶点坐标; (3)若抛物线 C2 : y ? ax2 (a ? 0) 与线段 AB 恰有一个公共 点,结合函数的图象,求 a 的取值 范围。

28.在正方形 ABCD 中,BD 是一条对角线,点 P 在射线 CD 上

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29. 在平面直角坐标系 xOy 中,? C 的半径为 r, P 是与圆心 C 不重合的点, 点 P 关于 ? O 的反称点的定义如下:若 在射线 ..CP 上存在一点 P? ,满足 CP ? CP? ? 2r ,则称 P? 为点 P 关于 ? C 的反称点,下图为点 P 及其 关于 ? C 的反称点 P? 的示意图。 y

P

1 O (1)当 ? O 的半径为 1 时。

C 1 x

①分别判断点 M (2,1) , N ( , 0) , T (1, 3) 关于 ? O 的反称点是否存在,若存 在? 求其坐标; ②点 P 在直线 y ? ? x ? 2 上,若点 P 关于 ? O 的反称点 P? 存在,且点 P? 不在 x 轴上, 求点 P 的横坐标的取值范围; (2)当 ? C 的圆心在 x 轴上,半径为 1,直线 y ? ?

3 2

3 x ? 2 3 与 x 轴,y 轴分别交于点 A, 3

B,若线段 AB 上存在点 P,使得点 P 关于 ? C 的反称点 P? 在 ? C 的内部,求圆心 C 的横 坐标的取值范围。
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