陕西省高中数学 第四章 数系的扩充 聚焦复数中的创新题拓展资料素材 北师大版选修1-2

聚焦复数中的创新题 由于高考强化能力立意,因此创新试题不断出现,在复数这一单元也不例外.下面例析 复数中创新情景题,以开阔同学们视野和思维. 一、“符号”创新题 例 1 我们用符号 e 表示复数 cos ? +isin ? ,即 e =cos ? +isin ? (其中 e= 2.718?是自然对数的底数, ? 的单位是弧度),则① 2e ③ e ? 1 ? 0 .其中正确的式子序号是( (A) ① (B) ①② (C) ①③ i? i? i? i? i ? 2 ei? ? e?i? ? 2i ;② ? sin ? ; 2 ) (D) ②③ 分析:关键是理解规定符号 e 的含义,实质上就是复数的三角形式,可把每一个式子 都化为三角形式,再利用特殊角的三角函数值即可解决. 解:由 e =cos ? +isin ? ,则 ① 2e i i? ? 2 ? 2(cos ? ? i sin ) ? 2(0 ? i ?1) ? 2i ,故①正确; 2 2 ? ② ei? ? e?i? cos ? ? i sin ? ? cos(?? ) ? i sin(?? ) ? ? cos ? ? sin ? ,故②错误; 2 2 i? ③ e ? 1 ? cos ? ? i sin ? ? 0 ,故③正确. 综上所述,其中正确的序号为①、③,故选(C). 评注:高中课本中虽然对复数的三角形式没有要求,其实它的加法仍可按向量的三角 形法则及平行四边形法则进行计算,三角运算时需运用到三角知识,要避免运算出错. 二、“运算”创新题 例2 已知 z1 , z2 是复数,定义复数的一种运算“ ? ”为: ? z1 ? (| z1 |?| z2 |) ,当 z1 ? 3 ? i , z2 ? ?2 ? 3i 时, z1 ? z2 =( z1 ? z2 ? ? z2 ? z ? z (| z |?| z |) ?1 2 1 2 (A) 5+2i (B) 1+2i (C) 9+7i (D) 1-4i ) 分析:掌握新运算是利用复数的模的大小来定义,可先算出|z1|,|z2|,比较出大小, 再利用新运算,得到应是它们的“商”还是“差”,再利用复数的运算法则. 2 2 2 2 解:由复数模的定义,知|z1|= 3 ? (?1) ? 10 ,|z2|= (?2) ? (?3) ? 13 , 则|z1|<|z2|,由新“运算”法则,得 z1 ? z2 = z1 ? z2 =(3-i)-(-2-3i)=5+2i,故选 (A). 评注:给出一个新“运算”,让学生自主运用此“运算”法则解题,在各类各级考试 中层出不穷,但不会很难,关键是自主学习新定义的能力及理解能力. 三、“推广”创新题 例3 若 a , b 为非零实数,则下列四个命题都成立: ①a ? 1 ?0; a 2 2 ② ? a ? b ? ? a ? 2ab ? b ; 2 ③若 a ? b ,则 a ? ?b ; 2 ④若 a ? ab ,则 a ? b . 则对于任意非零复数 a , b ,上述命题仍然成立的序号是 _____ 。 分析: 本题是类比推广题,即在实数中成立的命题,哪些是可以推广到复数中,这时 需一一验证.对于判断命题不成立,只需举一反例即可. 解: 对于①:解方程 a ? 1 ? 0 ,得 a a i,所以非零复数 a i ,使得 a? 1 ? 0 ,①不成立;对于②显然成立;对于③:在复数集 C 中,|1|=|i|,则 a ? a ? ?b ,所以③不成立;④显然成立。则对于任意非零复数 a , b ,上述命题仍 a ?b 然成立的所有序号是②④ ,故应填②④. 评注:类比推广题常见有“平面向空间的推广”,“实数向复数的推广”,“等差向等 比的推广”等等, 通过相似性的类比可以使所学知识产生迁移, 这种类比方式在发现科学奥 秘方面要胜于逻辑推理的作用,通过类比得到猜想后,再进行检验是不难的。 四、“整合”创新题 例4 定义运算 a b c d =|ad-bc|,复数 z=x+yi(x,y∈R,x>0),满足条件 z 2 2 1 =x,则复数 z 对应的点 z(x,y)的轨迹方程为________. 分析:运用新运算法则,将 z=x+yi 代入,得到 就可写出轨迹方程. z 2 的模,化简得到 x,y 的方程, 2 1 解:由新运算法则,得 16. z 2 2 2 2 =|z-4|= ( x ? 4) ? y =x,故轨迹方程是 y =8x- 2 1 评注:本题是通过新运算法则,将复数与解析几何巧妙地整合在一起,使平淡的数学 问题充满活力与魅力.

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