不等式的证明作商比较法课件_图文

一. 温故知新
上节课我们学习了作差比较法,这节课来学习作 商比较法.类比于作差比较法,我们先做分析;
1、应用范围;不等式两端是乘积的形式或幂、指数式。 2、理论依据; 若a,b ? R? ,则a ? b ? a ? 1
b
3、基本步骤;作商----变形----判断商与1的大小----结论
说明;比商法不可忽视作商时分母的符号,它 的确定是其中的一个步骤。

例题: 例1 若x ? 0,
求证: ?x ?1??x ? 2??x2 ?1?? ?x ?1??x ? 2?? 2x
解析;两个式子都是乘积的形式,故可考虑用比商法
注意:
1.用作商比较法证明不等式的步骤是:作商—变 形—判断与1的大小关系. 2.有时所比较的两个实数或数式有相同的因式,可 以用作商法进行约分化简。

例2 ⑴ 求证:1618>1816 .
?2?.已知a ? b ? 0,求证 : aabb ? abba
(作商)比 较法
解析;两个式子都是幂的形式,故可考虑用比商法
第二题如果条件改为:a>0,b>0,a≠b,那结果如何?

--------综合法
利用某些已经证明过的不等式(重要不等式和 均值不等式)和不等式的性质推导出所要证明 的不等式成立,这种方法通常叫做综合法。

不等式的证明方法 1.比较法

(1).比差法

依据: a ? b ? 0 ? a ? b 步骤: a ? b ? 0 ? a ? b ①作差;②变形;③定号.

a?b?0? a?b

(2).比商法

依据: 若a ? 0,b ? 0,则:

a?b
a?b
a?b

a ?1 ba ? 1 ba ? 1

b

2.综合法 综合法是从已知条件入手去探明解题途径,概括地说, 就是”从已知,利用性质,定理等,逐步推向未知”.其 思路是”由因导果”.即从已知条件A出发,得到结论 B1,由B1又可得到B2,…..由Bn可以推出结论B成立.
1、不等式的8大性质
?对称性: ?加法法则 ?传递性 ?乘法法则 ?可加性 ?乘方法则 ?可乘性 ?开方法则
2、重要不等式 若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号) 3、均值不等式 若a,b∈R+,则a+b≥2 ab(当且仅当a=b时取等号)

例1 已知a、b、c为不全相等的正数,求证:

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) > 6abc

证明:

∵ b2+c2≥2bc,a>0

∴a( b2+c2)≥2abc,

同理: b( c2+a2)≥2bca, c( a2+b2)≥2cab,

综合法

∵a、b、c不全相等,故等号不全成立,

∴ a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) > 6abc

随堂巩固

1.下列不等式正确的是? ?

A. a2 ? b2 ? 2ab C. a ? b ? ab
2

B. a ? b ? ab 2
D. ab ? a ? b 2

2. 已知a,b ? R? ,且a ? b,

求证:?a ? b??? 1 ? 1 ?? ? 4
?a b?

例例62:已知a,b,c ? R?,

求证:a2 ? b2 ? c2 ? a ? b ? c bca
证明: a,b, c ? R?

a2

a2

? ? b ? 2 ?b ? 2a

b

b

同理 : b2 ? c ? 2b, c2 ? a ? 2c

c

a

相加得 : a2 ? b2 ? c2 ? a ? b ? c ? 2a ? 2b ? 2c

bca

即:a2 ? b2 ? c2 ? a ? b ? c bca

例例36:已知a, b, c ? R?,且a ? b ? c ? 1, 求证:

( 1 ?1)(1 ?1)(1 ?1) ? 8 abc
分析:不等式右边是8,使我们联想到左边的因式分别是使用基 本不等式得到三个2
证明: a,b, c ? R?,且a ? b ? c ? 1,

? 1 ?1 ? 1? a ? b ? c ? 2 bc

a

aa

a

同理:1 ?1 ? 2 ac ,1 ?1 ? 2 ab

b

bc

c

由上述三个不等式两边均为正,分别相乘得:( 1 ?1)(1 ?1)(1 ?1) ? 8 abc

当且仅当a ? b ? c ? 1时等式成立。 3

▲1、已知a、b是正实数,求证:

a + b ? a+ b ba

提示:比较法,综合法

2、若a、b、c均为正数且a+b+c=1, 求证: ① a2 ? b2 ? c2 ? 1
3 ② ab ? bc ? ca ? 1
3

例例84:已知a,b,c ? R?,且互不相等,且abc ? 1, 求证:a ? b ? c ? 1 ? 1 ? 1 abc
分析:由左端证向右端,注意左,右两端的差异,这种差异正是我 们思考的方向.左端含根号如何脱去根号呢?
证法1: a,b,c ? R?,且互不相等,且abc ? 1,

? a? b? c? 1 ? 1 ? 1 bc ac ab

?

1 b

?

1 c

?

1 a

?

1 c

?

1 a

?

1 b

?

1

?

1

?

1

2

2

2 abc

例例84:已知a,b,c ? R?,且互不相等,且abc ? 1, 求证:a ? b ? c ? 1 ? 1 ? 1 abc
证法2: a,b,c ? R?,且互不相等,且abc ? 1,

? 1 ? 1 ? 1 ? bc ? ca ? ab

abc

? bc ? ca ? ca ? ab ? ab ? bc

2

2

2

? abc2 ? a2bc ? ab2c

? a? b? c

? 周末作业
? 同步作业本P8,9 ? 课本P16以前的练习和习题 ? 课本P30 1-4

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