湖南省湘中名校2014届高三第一次大联考数学(理)
湖南省湘中名校 2014 届高三第一次大联考数学（理）
时量：120 分钟 满分：150 分 (考试范围：集合与常用逻辑、程序框图、函数与导数) 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟, 答题前，考生在答题卡上用蓝黑色签字笔或圆珠笔将自己的姓名、考号填写清楚，并贴好条 形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一、选择题：本大题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置。 1.已知函数 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? 的定义域为 M ， 函数 y ? A.
? x x ? 1且x ? 0?
B .
? x x ? 1且x ? 0?
1 的定义域为 N ， M ? N ?（ ） 则 x C. ? x x ? 1? D. ? x x ? 1?
）
2.已知命题 p ： ?x0 ? R ? , log 2 x0 ? 1 ，则 ?p 是（ A． ?x ? R ? , log 2 x ? 1 C．
B． ?x ? R ? , log 2 x ? 1
? D． ?x0 ? R , log 2 x0 ? 1
?x0 ? R ? , log 2 x0 ? 1
3.下列函数中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（ A. y ? x
3
） D. y ? 2
?| x|
B. y ?| x | ?1
C. f ( x) ?
ln x x
4.设函数 f ( x) 的定义域为 R，x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点， 以下结论一定正确的是 （ A． ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C． ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 5.已知幂函数 y=f(x)的图象过点( B． ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D． ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点
）
1 2 ),则 log2f(2)的值为（ , 2 2
C．2
）
A．
1 2
B．-
1 2
D．-2
y
6.如图（1）,函数 y ? f ? x ? 的图象为折线 ABC ,设 g ? x ? ? f ? f ? x ? ? ,则函数 y ? g B x ? 的 ? ? ? 1 图象为 （ ）
y 1 y 1 1 －1 O y 1 x －1 O 1 －1 O y 1 x A －1
图（1)
1 x C
A． －1
B． －1
C． －1
O 1 x
D．
－1 O 1 x
－1
－1
7.偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)= ? 在 x∈[0,4]上解的个数是（ A．1 B．2 8.已知函数 f ( x) = ? A. (??, 0] ） C．3 D．4 ）
? 1? ? , ? 10 ?
x
? ? x ? 2 x, x ? 0
2
?ln( x ? 1), x ? 0
B. (??,1]
，若| f ( x) |≥ ax ，则 a 的取值范围是（ C. [－2,1] D. [－2,0]
二、填空题：本大题共 7 个小题，每小题 5 分，共 35 分。 9.曲线 y ? ln ? x ? 2 ? 在点 P ? ?1, 0 ? 处的切线方程是____________； 10.已知函数 f ? x ? ? ln
?
? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3 x ? 1, 则 f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? __________； ? 2?
?
11.若执行如图 2 所示的框图，输入 x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 3, x ? 2 ，
则输出的数等于 12.由直线 x ? ? 图形的面积为
。
?
3
,x ?
?
3
, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭
；
13.设函数 f ( x) ? log a x (0 ? a ? 1) 的定义域为 [m, n](m ? n) , 值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的最小值为 ,则实数 a 的值为________ ；
1 3
y 14.已知函数 f (x) 的定义域为[-3，+∞） ，部分函数值如表 1 所示，其导函数的图象如图 3 -3 0 图3 x
所示，若正数 a,b 满足 f (2a ? b) ? 1 ，则 表1
b?2 的取值范围是 a?2
；
x f (x)
-3 1
0 -1
6 1
15.设定义域为[0，1]的函数 f (x) 同时满足以下三个条件时称 f (x) 为“友谊函数” ： （1）对任意的 x ? [0,1] ，总有 f (x) ≥0； （2） f (1) ? 1 ； （3）若 x1 ? 0, x2 ? 0且x1 ? x2 ? 1, 则有f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立，则下列判断正确 的有 。 （1） f (x) 为“友谊函数” ，则 f (0) ? 0 ； （2）函数 g ( x) ? 2 ? 1 在区间[0，1]上是“友谊函数” ；
x
（3）若 f (x) 为“友谊函数” ，且 0≤ x1 ＜ x2 ≤1，则 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) 。 三、解答题（共 6 题，共 75 分，写出证明过程或演算步骤，写在答题卡相应位置）
16 ． ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 全 集 U=R ， 非 空 集 合 A ? x
?
x?2 ＜ 0? ， x ?3
B ? ? x ? x ? a ? ? x ? a 2 ? 2 ? ＜ 0? .
（1）当 a ?
1 时，求 ? CU B ? ? A ； 2
（2）命题 p : x ? A ，命题 q : x ? B ，若 q 是 p 的必要条件，求实数 a 的取值范围.
17.（本小题满分 12 分)已知函数
f ( x) ? lg(a x ? b x ) （ a ? 1 ? b ? 0 ）
（1）求 f ( x) 的定义域； （2） 问是否存在实数 a 、 ， x ? (1, ? ?) 时，f ( x) 的值域为 (0, ??) ， f (2) ? lg 2? 且 b 当 若存在，求出 a 、 b 的值，若不存在，说明理由.
18．(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 5 （ a ? 1 ） ．
2
（1）若 f (x) 的定义域和值域均是 ?1, （2）若对任意的 x1 ， x2 ? ?1,
a ? ，求实数 a 的值；
a ? 1? ，总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 ，求实数 a 的取值范围．
19.(本小题满分 13 分) 某商场预计 2014 年从 1 月起前 x 个月顾客对某种商品的需求总量
p( x ) ?
1 x ( x ? 1)( 41 ? 2 x )( x ? 12, x ? N ? ) （单位：件） 2
（1）写出第 x 个月的需求量 f (x ) 的表达式；
? f ( x ) ? 21x, 1 ? x ? 7, x ? N ? ? （2）若第 x 个月的销售量 g ( x ) ? ? x 2 1 2 （单位：件） ， ? ? x ( x ? 10 x ? 96),7 ? x ? 12, x ? N ?e 3
每件利润 q( x ) ?
1000e x ?6 （单位：元） ，求该商场销售该商品，预计第几个月的月利润达 x
到最大值？月利润的最大值是多少？（参考数据： e6 ? 403 ）
20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?
x2 ? x 2 ? 2ax(a ? R). 3
（1）若 x=2 为 f ( x) 的极值点，求实数 a 的值； （2）若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数，求实数 a 的取值范围；
21.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中 a 为常数， e＝2.718…，且 函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．
(1)求常数 a 的值； (2)若存在 x 使不等式
x?m > x成立，求实数 m 的取值范围； f (x)
(3)对于函数 y＝f(x)和 y＝g(x)公共定义域内的任意实数 x0， 我们把|f(x0)－g(x0)|的值称为两函 数在 x0 处的偏差．求证：函数 y＝f(x)和 y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.
湘中名校 2014 届高三第一次联考 数学答 题 卡 （理科）
时量：120 分钟 满分：150 分 命题人：涟源市第一中学 李超凡 娄底三中 李立升 审题人：冷水江市第一中学 王在轩 (考试范围：集合与常用逻辑、程序框图、函数与导数)
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题序 答案 1 2 3 4 5 6 7 8
二. 填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.
9. 12. 15. ； ； 。 10. 13. ； ； 11. 14. ； ；
三. 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.
16. (本小题满分 12 分)
17. (本小题满分 12 分)
18. (本小题满分 12 分)
19. (本小题满分 13 分)
20. (本小题满分 13 分)
21. (本小题满分 13 分)
16.