湖南省湘中名校2014届高三第一次大联考数学(理)

湖南省湘中名校 2014 届高三第一次大联考数学(理)
时量:120 分钟 满分:150 分 (考试范围:集合与常用逻辑、程序框图、函数与导数) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟, 答题前,考生在答题卡上用蓝黑色签字笔或圆珠笔将自己的姓名、考号填写清楚,并贴好条 形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效. 一、选择题:本大题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡对应位置。 1.已知函数 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? 的定义域为 M , 函数 y ? A.

? x x ? 1且x ? 0?

B .

? x x ? 1且x ? 0?

1 的定义域为 N , M ? N ?( ) 则 x C. ? x x ? 1? D. ? x x ? 1?


2.已知命题 p : ?x0 ? R ? , log 2 x0 ? 1 ,则 ?p 是( A. ?x ? R ? , log 2 x ? 1 C.

B. ?x ? R ? , log 2 x ? 1
? D. ?x0 ? R , log 2 x0 ? 1

?x0 ? R ? , log 2 x0 ? 1

3.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( A. y ? x
3

) D. y ? 2
?| x|

B. y ?| x | ?1

C. f ( x) ?

ln x x

4.设函数 f ( x) 的定义域为 R,x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点, 以下结论一定正确的是 ( A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 5.已知幂函数 y=f(x)的图象过点( B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点



1 2 ),则 log2f(2)的值为( , 2 2
C.2



A.

1 2

B.-

1 2

D.-2
y

6.如图(1),函数 y ? f ? x ? 的图象为折线 ABC ,设 g ? x ? ? f ? f ? x ? ? ,则函数 y ? g B x ? 的 ? ? ? 1 图象为 ( )
y 1 y 1 1 -1 O y 1 x -1 O 1 -1 O y 1 x A -1
图(1)

1 x C

A. -1

B. -1

C. -1
O 1 x

D.
-1 O 1 x

-1

-1

7.偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)= ? 在 x∈[0,4]上解的个数是( A.1 B.2 8.已知函数 f ( x) = ? A. (??, 0] ) C.3 D.4 )

? 1? ? , ? 10 ?

x

? ? x ? 2 x, x ? 0
2

?ln( x ? 1), x ? 0
B. (??,1]

,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是( C. [-2,1] D. [-2,0]

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分。 9.曲线 y ? ln ? x ? 2 ? 在点 P ? ?1, 0 ? 处的切线方程是____________; 10.已知函数 f ? x ? ? ln

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3 x ? 1, 则 f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? __________; ? 2?

?

11.若执行如图 2 所示的框图,输入 x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 3, x ? 2 ,

则输出的数等于 12.由直线 x ? ? 图形的面积为



?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭


13.设函数 f ( x) ? log a x (0 ? a ? 1) 的定义域为 [m, n](m ? n) , 值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的最小值为 ,则实数 a 的值为________ ;

1 3

y 14.已知函数 f (x) 的定义域为[-3,+∞) ,部分函数值如表 1 所示,其导函数的图象如图 3 -3 0 图3 x

所示,若正数 a,b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 表1

b?2 的取值范围是 a?2



x f (x)

-3 1

0 -1

6 1

15.设定义域为[0,1]的函数 f (x) 同时满足以下三个条件时称 f (x) 为“友谊函数” : (1)对任意的 x ? [0,1] ,总有 f (x) ≥0; (2) f (1) ? 1 ; (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0且x1 ? x2 ? 1, 则有f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则下列判断正确 的有 。 (1) f (x) 为“友谊函数” ,则 f (0) ? 0 ; (2)函数 g ( x) ? 2 ? 1 在区间[0,1]上是“友谊函数” ;
x

(3)若 f (x) 为“友谊函数” ,且 0≤ x1 < x2 ≤1,则 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) 。 三、解答题(共 6 题,共 75 分,写出证明过程或演算步骤,写在答题卡相应位置)

16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 全 集 U=R , 非 空 集 合 A ? x

?

x?2 < 0? , x ?3

B ? ? x ? x ? a ? ? x ? a 2 ? 2 ? < 0? .
(1)当 a ?

1 时,求 ? CU B ? ? A ; 2

(2)命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? lg(a x ? b x ) ( a ? 1 ? b ? 0 )

(1)求 f ( x) 的定义域; (2) 问是否存在实数 a 、 , x ? (1, ? ?) 时,f ( x) 的值域为 (0, ??) , f (2) ? lg 2? 且 b 当 若存在,求出 a 、 b 的值,若不存在,说明理由.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 5 ( a ? 1 ) .
2

(1)若 f (x) 的定义域和值域均是 ?1, (2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1,

a ? ,求实数 a 的值;

a ? 1? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 ,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 13 分) 某商场预计 2014 年从 1 月起前 x 个月顾客对某种商品的需求总量

p( x ) ?

1 x ( x ? 1)( 41 ? 2 x )( x ? 12, x ? N ? ) (单位:件) 2

(1)写出第 x 个月的需求量 f (x ) 的表达式;

? f ( x ) ? 21x, 1 ? x ? 7, x ? N ? ? (2)若第 x 个月的销售量 g ( x ) ? ? x 2 1 2 (单位:件) , ? ? x ( x ? 10 x ? 96),7 ? x ? 12, x ? N ?e 3
每件利润 q( x ) ?

1000e x ?6 (单位:元) ,求该商场销售该商品,预计第几个月的月利润达 x

到最大值?月利润的最大值是多少?(参考数据: e6 ? 403 )

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?

x2 ? x 2 ? 2ax(a ? R). 3

(1)若 x=2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中 a 为常数, e=2.718…,且 函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.

(1)求常数 a 的值; (2)若存在 x 使不等式

x?m > x成立,求实数 m 的取值范围; f (x)

(3)对于函数 y=f(x)和 y=g(x)公共定义域内的任意实数 x0, 我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函 数在 x0 处的偏差.求证:函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.

湘中名校 2014 届高三第一次联考 数学答 题 卡 (理科)
时量:120 分钟 满分:150 分 命题人:涟源市第一中学 李超凡 娄底三中 李立升 审题人:冷水江市第一中学 王在轩 (考试范围:集合与常用逻辑、程序框图、函数与导数)

一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题序 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二. 填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.
9. 12. 15. ; ; 。 10. 13. ; ; 11. 14. ; ;

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.
16. (本小题满分 12 分)

17. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 13 分)

20. (本小题满分 13 分)

21. (本小题满分 13 分)

16.


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