福建省德化三中高二数学《圆的一般方程》教案

三维目标: 知识与技能 :(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代 数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表 示圆的条件. (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用 待定系数法求圆的方程。(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法:通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生 探索发现及分析解决问题的实际能力。 情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体 素质,激励学生创新,勇于探索。 教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知 条件确定方程中的系数,D、E、F. 教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教学过程: 一、复习回顾: 1、圆的标准方程: 请同学们写出圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径 r. 二、创设情境、新课引入: 问题:回顾 P119 例 2 的解答过程 求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦, 得用直线的知识解决又有其简单的 局限性, 那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究 圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。 探索研究: 请同学们写出圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理: x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 取错误!未找到引用源。得 错误!未找到引用源。 这个方程是圆的方程. 反过来给出一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是 圆吗? 把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得 ① 错误! 未找到引用源。 ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆? (1)当 D2+E2-4F>0 时,方程② 表示(1)当错误!未找到引用源。时,表 示以(-错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。)为圆心,错误!未找 到引用源。为半径的圆; (2)当错误!未找到引用源。时,方程只有实数解错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,即只表示一个点(-错误!未找到引用源。,-错误!未 找到引用源。); (3)当错误!未找到引用源。时,方程没有实数解,因而它不表示任何图 形 综上所述,方程错误!未找到引用源。表示的曲线不一定是圆 只有当错误!未找到引用源。时,它表示的曲线才是圆,我们把形如错误!未找 到引用源。的表示圆的方程称为圆的一般方程错误!未找到引用源。 我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系 数,圆的方程就确定了. (3)与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明 显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 三、师生互动、新课讲解: 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆 心及半径。 错误!未找到引用源。 学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运 用圆的一般方程的判断方法求解。 但是, 要注意对于错误! 未找到引用源。 来说, 这里的 错误!未找到引用源。. 例 2(课本 P122 例 4) :求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三 个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程 解:设所求的圆的方程为:错误!未找到引用源。 ∵错误!未找到引用源。在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐 标代入上面的方程,可以得到关于错误!未找到引用源。的三元一次方程组, 即错误!未找到引用源。 解此方程组,可得:错误!未找到引用源。 ∴所求圆的方程为:错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。;错误!未找到引用源。 得圆心坐标为(4,-3). 或将错误!未找到引用源。左边配方化为圆的标准方程,错误!未找到引用 源。,从而求出圆的半径错误!未找到引用源。,圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤: ①、 根据提议,选择标准方程或一般方程; ②、 根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; ③、 解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。 例 3(课本 P122 例 5) 、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 错误!未找到引用源。运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析:如图点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐标满 足方程错误!未找到引用源。。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建 立点 M 的坐标满足的条件,求出点 M 的轨迹方程。 解:设点 M 的坐标是(x,y),点 A 的坐标是错误!未找到引用源。错误!未 找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ① 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。上运动,所以点 A 的坐标满足 方程错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ② 把①代入②,得 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 6 y 4 A 2 -5 M B 5 O -2 x -4 课堂练习:课堂练习 P123 第 1、2、3 题 例 4(tb8222805)动点 M 到定点 A 和 B 的距离之比为 2:1,且|AB|=3,求 M 点的 轨迹方程。 (略解:错误!未找到引用源。) 四、课堂小结、巩固反思 : 1.对方程错误!未找到引用源。

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