江苏省邗江中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题(新)

江苏省邗江中学 2015-2016 学年度第二学期 高二数学期末试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.设集合 P={﹣3,0,2,4],集合 Q={x|﹣1<x<3},则 P∩Q= ▲ 2.设复数 z ?
3



2?i ( i 为虚数单位),则| z |=_____▲________. (1 ? i)2

16 - 4 5 4 ( ) ? log3 ? log3 =_______▲__________. 3. 81 4 5
4.函数 f(x) ?

4 - x2 的定义域为___ ▲______. lnx
▲ .(用<号表示)

5.设 a ? log3 7,b ? 21.1,c ? 0.83.1 ,则 a,b,c 的大小关系为

6.已知 p:m-1<x<m+1,q:(x-2)(x-6)<0,且 q 是 p 的必要不充分条件,则 m 的取值范围是 ▲ .

7.从 1,2,3,4,5,6,这 6 个数中任取两个不同的数,则这两个数的和是偶数的概率为 ▲ .

8.已知幂函数 y=f(x)的图像过点( ,

1 2

2 ? ),则 log2f(2) 2



.

2 6 ) 的展开式中,常数项= ▲ . x ?3 4? - ? ,则 sin ? tan ? 的值是 【文】9.若角 ? 的终边经过 P ? , ?5 5? (x 【理】9.在
【 理 】 10. 已 知 函 数 f(x) ??



.

? 1,x ? 0, 2 则 方 程 f ( 1-x ) =f ( 2x ) 的 解 集 是 2 ?x ? 1, x ? 0,
.

▲ . 【文】 10.如果直线 l1: x+2my-1=0 与 l2: (3m-1) x-my-1=0 垂直, 那么实数 m 的值为 ▲
|x|

11.记 x 2 - x1 为区间[ x1,x 2 ]的长度.已知函数 y= 2 ,x ?[-2,a ,其值域为 ( ] a ? 0) [m,n],则[m,n]的长度的最小值是 ▲ .

12.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,且是偶函数,已知当 x∈[2,3]时,f(x)=x, 则当 x∈[-2,0]时,f( x)的解析式是 ▲ .
1

【理】13.设集合 A=( ,那么集合 A { x1,x 2,x3,x 4,x5) | xi ?{-1,0,1} ,i ? 1,2,3,4,5} 中满足条件“ 【文】13.若

1 ?|x1| ? | x 2 | ? | x 3 | ? | x 4 | ? | x 5 |? 3 ”的元素个数为
?? ) ?
的值为 1 2? , 则 cos( ? 2? ) 2 3 ▲ .



.

sin (

?
6

14.已知函数 f(x) ?? 1 实数 k 的取值范围是

? 3 ?kx ? 2,x ? 0, 若函数 y=f(f(x))- 有且只有 3 个零点,则 x ( ) , x ? 0 , 2 ? ? 2
▲ .

第Ⅱ卷(解答题 共 90 分) 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(本小题满分 14 分) 已知集合 A={a| x ? 2ax ? 4 ? 0 ,不等式对 x ? R 恒成立},B={x| 2 ? ( 2 ) x?k ? 4 }.
2

(1)若 k=1,求 A ? B; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 k 的取值范围.

【理】16(本小题满分 14 分) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 均未命中的概率为

1 与 p,且乙投球 2 次 2

1 . 16

(1)求乙投球的命中率; (2)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (3)若甲、乙两人各投球 2 次,求共命中 2 次的概率.

1 【文】16.已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? ( x ? R) . 2 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期;
(2)求函数 f ( x) 在区间 [0,

? ] 上的函数值的取值范围. 4

2

17(本小题满分 14 分)

? 已知函数 g(x)

4x - n x 是奇函数,f(x)= log ( ) ? mx 是偶函数. 4 4 ?1 x 2
1 x, 若 g(x)>h[log4(2a+1)] 对任意 x≥1 恒成立,求实数 2

(1)求 m+n 的值; (2)设 h(x)=f(x)+ a 的取值范围.

18(本小题满分 16 分) 某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱,为避免混养,箱中要安装一些筛 网,其平面图如下.如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米长 56 元,筛网(图 中虚线部分)的建造价为每米长 48 元,网箱底面面积为 160 平方米,建造单价为每平方米 50 元,网衣及筛网的厚度忽略不计. (1) 把建造网箱的总造价 y(元)表示为网箱的长 x(米)的函数,并求出最低造价; (2) 若要求网箱的长不超过 15 米,宽不超过 12 米,则当网箱的长和宽各为多少米时,可 使总造价最低?(结果精确到 0.01 米)

3

19(本小题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2x2 ? ( x ? a) | x ? a | ( 1)求 f ( x ) 的最小值; (2)设函数 h( x) ? f ( x), x ? (a, ??) ,求不等式 h( x) ? 1 的解集.

20(本小题满分 16 分) 对于函数 f ( x ) ,若存在实数对( a , b ),使得等式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 对定义域中的每 一个 x 都成立,则称函数 f ( x ) 是“( a , b )型函数”. (1)判断函数 f ( x) ? 4x 是否为“( a , b )型函数”,并说明理由; (2) 已知函数 g ( x) 是 “(1,4)型函数” ,且当 x ? [0,1] 时, g ( x) ? x2 ?m( x ? 1) ? 1 (m ? 0) , 若当 x ? [0, 2] 时,都有 1 ? g ( x) ? 3 成立,,试求 m 的取值范围.

江苏省邗江中学 2015-2016 学年度第二学期 高二数学期终试卷 (理科附加题)

? ?1 2 ? ? 的一个特征 值为 ?2 ,求 M 2 . 21.已知矩阵 M ? ? 5 ? x? ?2 ?
4

22.在极坐标系中,求圆 ? ? 8 sin ? 上的点到直线 ? ?

?
3

( ? ? R )距离的最大值.

23.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=3,AA1=AC=4, AA1⊥平面 ABC; AB⊥AC, (1)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (2)在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,求
A1 B1

BD 的值. BC1

C1

A

B

C

5

24. 设集合 M ? ?1,2,3,?, n? (n ? 3) , 记 M 的含有三个元素的子集个数为 S n , 同时将每 一个子集中的三个元素由小到大排列, 取出中间的数, 所有这些中间的数的和记为 Tn . (1)求

T3 T5 T6 T4 , , , 的值; S3 S 4 S5 S6 Tn 的表达式,并证明之. Sn

(2)猜想

江苏省邗江中学 2015-2016 学年度第二学期 高二数学期终试卷 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.设集合 P={﹣3,0,2,4],集合 Q={x|﹣1<x <3},则 P∩Q= {0,2} 2.设复数 z ?
3



5 2?i ( i 为虚数单位),则| z |=_____ ________. 2 (1 ? i) 2

( 3.

27 16 - 4 5 4 ) ? log3 ? log3 =______ _▲__________. 8 81 4 5

4.函数 f(x) ?

4 - x2 的定义域为__(0,1)∪(1,2]_▲______. lnx
6

5.设 a ? log3 7,b ? 21.1,c ? 0.83.1 ,则 a,b,c 的大小关系为 示)

c<a<b

(用<号表

6.已知 p:m-1<x<m+1,q:(x-2)(x-6)<0,且 q 是 p 的必要不充分条件,则 m 的取值范围是 [3,5] 7.从 1,2,3,4,5,6,这 6 个数中任取两个不同的数,则这两个数的和是偶数的概率 为 .3/4

8.已知幂函数 y=f(x)的图像过点( ,

1 2

2 ),则 log2f(2) ? 2

.

1 2

2 6 ) 的展开式中,常数项= ▲ .-160 x ?3 4? - ? ,则 sin ? tan ? 的值是 ▲ 【文】9.若角 ? 的终边经过 P ? , ?5 5? (x 【理】9.在
【 理 】 10. 已 知 函 数 f(x) ?? ▲

.16/15

? 1,x ? 0, 2 则 方 程 f ( 1-x ) =f ( 2x ) 的 解 集 是 2 ?x ? 1, x ? 0,

. {x | x ? -1 或x ? -1? 2} .

【文】 10.如果直线 l1: x+2my-1=0 与 l2: (3m-1) x-my-1=0 垂直, 那么实数 m 的值为 ▲ 1 或 1/2

11.记 x 2 - x1 为区间[ x1,x 2 ]的长度.已知函数 y= 2 ,x ?[-2,a ,其值域为 ( ] a ? 0)
|x|

[m,n],则[m,n]的长度的最小值是



.3

12.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,且是偶函数,已知当 x∈[2,3]时,f(x)=x, 则当 x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是 ▲ . f(x)=3-|x+1| 【理】13.设集合 A=( ,那么集合 A { x1,x 2,x3,x 4,x5) | xi ?{-1,0,1} ,i ? 1,2,3,4,5} 中满足条件 “ 1 ?|x | ? | x | ? | x | ? | x | ? | x |? 3 ” 的元素个数为 1 2 3 4 5 【文】13.若 ▲ .130

sin (

?
6

?? ) ?

的值为 1 2? , 则 cos( ? 2? ) 2 3



. 7

-

9

7

? 3 ?kx ? 2,x ? 0, 若函数 y=f(f(x))- 有且只有 3 个零点,则 x ( ) ,x ? 0, 2 ? ? 2 1 1 - ] 实数 k 的取值范围是 (- , 2 4
14.已知函数 f(x) ?? 1 第Ⅱ卷(解答题 共 90 分) 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(本小题满分 14 分) 已知集合 A={a| x ? 2ax ? 4 ? 0 ,不等式对 x ? R 恒成立},B={x| 2 ? ( 2 ) x?k ? 4 }.
2

(1)若 k=1,求 A ? B; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 k 的取值范围. 答案(1)A ? B=(-2,3) (2)k≤0 或 k≥6 理 16(本小题满分 14 分) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 均未命中的概率为

1 与 p,且乙投球 2 次 2

1 . 16

(4)求乙投球的命中率; (5)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (6)若甲、乙两人各投球 2 次,求共命中 2 次的概率. (1)设“甲投一次球命中”为事件 A,“乙投一次球命中”为事件 B [1-P(B)] =(1-p) =1/16,p=3/4 (2)1-P( A ? A )=3/4 (3)
2 2

11 32

1 文 16:已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? ( x ? R) . 2 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期;
(2)求函数 f ( x) 在区间 [0, 解: (1)因为
8

? ] 上的函数值的取值范围. 4

f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ???????????????????????4 分 2 2

? sin(2 x ? ) ??????????????????????????????? 6
????6 分 故 f ( x) 的最小正周期为 ? ??????????????????????????????8 分 (2)当 x ? [0, 时, 2 x ?

?

?

?
6

? [?

? ?

4

]

, ] ?????????????????????????10 分 6 3

故所求的值域为

1 3 [? , ] ??????????????????????????????14 分 2 2

4x - n x ? x 是奇函数,f(x)= log 17.已知函数 g(x) ( ) ? mx 是偶函数. 4 4 ?1 2
(3)求 m+n 的值; (4)设 h(x)=f(x)+ a 的取值范围.

1 x, 若 g(x)>h[log4(2a+1)] 对任意 x≥1 恒成立,求实数 2

答案(1)由于 g(x)为奇函数,且定义域为 R, ∴g(0)=0,即

40 - n ? 0 ,n=1,由于 f(x)=log4(4x+1)+mx, 20

∴f(-x)=log4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)-(m+1)x, ∵f(x)=log4(4x+1)+mx 是偶函数, ∴f(-x)=f(x),得到 m=-

1 1 ,由此可得:m+n 的值为 2 2

(2)∵h(x)=f(x)+x=log4(4x+1),∴h[log4(2a+1)]=log4(2a+2) 又∵g(x)= 2 - 2 在区间[1,+∞)上是增函数, ∴当 x≥1 时,g(x)min=g(1)=
x -x

3 2
9

3 ? 2 2 a ? 2 ? 4 ? 1 ? 由题意 ? 2a ? 1 ? 0 解得 - ? a ? 3 ;a 的取值范围{a|-1/2 <a<3} 2 ? 2a ? 2 ? 0 ? ?

18.某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱,为避免混养,箱中要安装一 些筛网,其平面图如下.如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米长 56 元,筛 网(图中虚线部分)的建造价为每米长 48 元,网箱底面面积为 160 平方米,建造单价为每 平方米 50 元,网衣及筛网的厚度忽略不计. (1) 把建造网箱的总造价 y(元)表示为网箱的长 x(米)的函数,并求出最低造价; (2) 若要求网箱的长不超过 15 米,宽不超过 12 米,则当网箱的长和宽各为多少米时,可 使总造价最低?(结果精确到 0.01 米)

解:(Ⅰ)由题意得 y ? 56 (2x ?

160 160 ? 2) ? 48 (x ? ? 3) ? 50 ?160 x x 256 ????????? 5 分 ? 160 ? (x ? ) ? 8000 x 256 ≥160 ? 2 x ? ? 8000 =13120.?????? 6 分 x

256 即 x ? 16 时,取得最小值,即有最低造价为 13120 元.? 8 分 x ? x≤15 1 ? (Ⅱ)由题意得 ?160 ,解得 13 ≤x≤ 15 . ????? 10 分 3 ? ≥12 ? x 256 1 256 ( x ? 16)( x ? 16) ? x) 设g ( 13 ≤x≤ .? 12 分 (x) ? x? 15 ),则 g ( ?1? 2 ? x 3 x x2 1 因为当 13 ≤x≤ 15 时,有 g ?( x) ? 0 恒成立, 3 1 所以当 13 ≤x≤ 15 时,函数 g ( x) 单调递减. ????????? 14 分 3 160 所以当 x ? 15 时,函数 g ( x) 有最小值,y 也有最小值,此时 ? 10.67 .? 15 分 x
当且仅当 x ? 答:当网箱长为 15 米,宽为 10.67 米时,可使总造价最低.???? 16 分
10

19.设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2x2 ? ( x ? a) | x ? a | ( 1)求 f ( x ) 的最小值;(2)设函数 h( x) ? f ( x), x ? (a, ??) ,求不等式 h( x) ? 1 的解 集. 解:(1)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a 2 , f ( x)min ????2 分
2 ? ? f ( ? a ) ? ?2 a ? a ? 0 ? 当 x ? a 时, f ( x) ? x2 ? 2ax ? a 2 , f ( x) min ? ? ????4 分 2 f ( a ) ? 2 a a ? 0 ? ? ? ?

? f ( a ) ? 2a 2 ? a ? 0 ? ? ; ?? a 2a 2 f ( ) ? a ? 0 ? ? ? 3 ? 3

∴综上 f ( x) min

??2a 2 ? a ? 0 ? ? ? ? 2a 2 .????7 分 ? a ? 0? ? ? 3

(2)当 a ? (

2 6 , ) 时,解集为 (a, ??) ;????10 分 2 2 6 2 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ,? ) 时, ]?[ , ??) ; 解集为 (a, ????13 2 2 3 3

当 a ? (? 分 当 a ? [?

2 2 a ? 3 ? 2a 2 , ] 时,解集为 [ , ??) .????16 分 2 2 3

20.对于函数 f ( x ) ,若存在实数对( a , b ),使得等式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 对定义域中的 每一个 x 都成立,则称函数 f ( x ) 是“( a , b )型函数”.
11

(1)判断函数 f ( x) ? 4x 是否为“( a , b )型函数”,并说明理由; (2) 已知函数 g ( x) 是 “(1,4)型函数” ,且当 x ? [0,1] 时, g ( x) ? x2 ?m( x ? 1) ? 1 (m ? 0) , 若当 x ? [0, 2] 时,都有 1 ? g ( x) ? 3 成立,,试求 m 的取值范围.

解 : (1) 函 数 f ( x )? x4 是 “ ( a , b ) 型 函 数 ” ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????????2 分 因 为 由 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b , 得 16 ? b , 所 以 存 在 这 样 的 实 数 对 , 如
a

a ? 1, b ? 16 ??????6 分
(2) 由 题 意 得 , g (1 ? x) g (1 ? x) ? 4 , 所 以 当 x ? [1, 2 ] 时 , g ( x) ?

4 ,其中 g (2 ? x)

2 ? x ? [ 0, 1] ,
而 x ? [0,1] 时 , g ( x) ? x2 ? m(1 ? x) ? 1 ? x2 ? mx ? m ? 1 ? 0 , 且其对称轴方程为

m , 2 m ? 1 , 即 m ? 2 时 , g ( x) 在 [0,1] 上 的 值 域 为 [ g (1), g (0)] , 即 [2, m ? 1] , 则 ① 当 2 4 4 , 2] ? [ , m ? 1] , 由 题 意 得 g ( x) 在 [0, 2] 上 的 值 域 为 [2, m ? 1] ? [ m ?1 m ?1 ?m ? 1 ? 3 ? ,此时无解?????????11 分 ? 4 ?1 ? ? m ?1 1 m m m2 ? 1 ,即 1 ? m ? 2 时, g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (0)] ,即 [m ? 1 ? , m ? 1] , ②当 ? 2 2 2 4 m2 4 4 , m ? 1] ? [ , ] , 则由 所以则 g ( x) 在 [0, 2] 上的值域为 [m ? 1 ? m2 4 m ?1 m ?1? 4 2 4 ? ? m ?3 m ?1? ?1 2 ? ? m ? ? 4 题 意 得 且 , 解 得 ? ? m ?1? 4 4 ? ? ?1 ? ? ? m ?1 ? m ?1 ? 3 1 ? m ? 2 ??????????????????????????13 分 m 1 m m2 ? ,即 0 ? m ? 1 时, g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (1)] ,即 [m ? 1 ? , 2] ,则 ③ 当0 ? 2 2 2 4 g ( x) [0, 2] 在 上 的 值 域 为 x?

12

[m ? 1 ?

m2 , 2] ? [2, 4

4

m m ?1? 4

] = [m ? 1 ? 2

m2 , 4

4 m2 m ?1? 4

],

? m2 m ? 1 ? ?1 ? 4 ? 2 6 则? ,解得 2 ? ? m ? 1. 4 3 ?3 2 ? m ? m ?1? ? 4 综 上 所 述 , 所 求 的 取 值 m 2 6 2? ? m ? 2 ???????????????????16 分 3







江苏省邗江中学 2015-2016 学年度第二学期 高二数学期终试卷 (理科附加题)

? ?1 2 ? ? 的一个特征值为 ?2 ,求 M 2 . 21.已知矩阵 M ? ? 5 ? x? ?2 ?

? ?1
解: ? ? ?2 代入

?2

5 ? 2

??x

? ? 2 ? ( x ? 1)? ? ( x ? 5) ? 0 ,得 x ? 3

? ?1 2 ? ? 矩阵 M ? ? 5 ? 3? ?2 ?
∴M ? ?
2

?????5 分

?6 4 ? ? ?5 14 ?

?????10 分

13

22.在极坐标系中,求圆 ? ? 8 sin ? 上的点到直线 ? ? 解:圆的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 , 直线的直角坐标方程为 y ? 3x , 圆心 (0, 4) 到直线的距离为 d ?
0?4 (? 3)2 ? 12

?
3

( ? ? R )距离的最大值. ????3 分 ????6 分

? 2 ,则圆上点到直线距离最大值为

D ? d ?r ? 2?4?6.

????10 分

23.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=3,AA1=AC=4, AA1⊥平面 ABC; AB⊥AC, (1)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (2)在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,求
A1 B1

BD 的值. BC1

C1

A

B

C

【解析】 (1) 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A- xyz , 则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面 A1BC1 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,

???? ? ?3 y ? 4 z ? 0 ? n ? A1 B ? 0 则 ? ????? ,即 ? , 4x ? 0 ? ? ? n ? A1C1 ? 0
令 z ? 3 ,则 x ? 0 , y ? 4 ,所以 n = (0, 4,3) . 同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 m = (3, 4, 0) ,

14

所以 cos n,m ?

n?m 16 . ? | n || m | 25

由题知二面角 A1-BC1-B1 为锐角, 所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为

16 . 25

???5 分

24. 设集合 M ? ?1,2,3,?, n? (n ? 3) , 记 M 的含有三个元素的子集个数为 S n , 同时将每 一个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有 这些中间的数的和记为

Tn .
(1)求

T3 T5 T6 T4 , , , 的值; S3 S 4 S5 S6 Tn 的表达式,并证明之. Sn

(2)猜想

15

16


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