高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第讲函数的应用习题解析

2017 高考数学一轮复习 第二章 函数、 导数及其应用 第 9 讲 函数的 应用习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1. (2015·福建八县(市)一中上学期半期联考)如图是张大爷晨练时所 走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象,若用黑点表示张大 爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是 导学号 25400438 ( )

[答案] D [解析] 由图可知,张大爷开始匀速离家直线行走,中间一段离家距离不变,说明在以 家为圆心的圆周上运动,最后匀速回家,故选 D. 2.已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到 B 地,在

B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,把汽车离开 A 地的距离 x 表示为时间 t(小时)的函数表达式是 导学号 25400439 (
A.x=60t
? ?60t ?0≤t≤2.5?, C.x=? ?150-50t ?t>3.5? ?

) B.x=60t+50 D .

x



60t ?0≤t≤2.5?, ? ? ?150 ?2.5<t≤3.5?, ? ?150-50?t-3.5? ?3.5<t≤6.5? [答案] D 3. (2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满, 下表记录了该车相邻两次加油时的情 况. 加油时间 2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日 加油量(升) 12 48 加油时的累计里程(千米) 35 000 35 600

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为 导学号 25400440 ( A.6 升 B.8 升 )

1

C.10 升 [答案] B

D.12 升

[解析] 因为第一次(即 5 月 1 日)把油加满, 而第二次把油加满加了 48 升, 即汽车行驶 35 600-35 000=600 千米耗油 48 升,所以每 100 千米的耗油量为 8 升,选 B. 4.(2015·湖北浠水实验高中上学期期中)某商店计划投入资金 20 万元经销甲或乙两种 商品,已知经销甲、乙商品所获利润分别为 P 和 Q(万元),且它们与投入资金 x(万元)的关系 是 p= ,Q= x(a>0),若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中一种商品所获利润 4 2 总数不小于 5 万元,则 a 的最小值为 导学号 25400441 ( A.5 C.3 [答案] B [解析] 设经销乙商品投入资金 x 万元,由题意得 20-x a x a + x≥5(0≤x≤20),整理得- + x≥0.显然,当 x=0 时,不等式恒成立; 4 2 4 2 当 0<x≤20 时,由- + x≥0,得 a≥ 恒成立.因为当 0<x≤20 时,0< ≤ 5,所 4 2 2 2 以 a≥ 5,即 a 的最小值为 5.故选 B. 5.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过 1%.已知在过滤过 程中废气中的污染物数量 P(单位:mg/L)与过滤时间 t(单位:h)之间的函数关系为 P=P0e
kt


x

a

)

B. 5 D. 3

x a

x

x

(k,P0 均为正的常数).若在前 5 个小时的过滤过程中污染物被排除了 90%.那么,至少还需 )才可以排放. 导学号 25400442 5 B. h 9 D.10 h

过滤(

1 A. h 2 C.5 h [答案] C

[解析] 设原污染物数量为 a,则 P0=a.由题意有 10%a=ae 后污染物的含量不得超过 1%,则有 1%a≥ae 10-5=5(h)才可以排放.
-tk

-5k

,所以 5k=ln10.设 t h

,所以 tk≥2ln10,t≥10.因此至少还需过滤

6.一水池有两个进水口,一个出水口,每个进水口的进水速度如图甲所示.出水口的出 水速度如图乙所示,某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示.

2

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水.则一定正确的是 导学号 25400443 ( A.① C.①③ [答案] A [解析] 由甲、乙两图可知进水速度为 1,出水速度为 2,结合丙图中直线的斜率,只进 水不出水时,蓄水量增加速度是 2,故①正确;不进水只出水时,蓄水量减少速度是 2,故② 不正确;两个进水一个出水时,蓄水量减少速度也是 0,故③不正确. 二、填空题 7.一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y = ae
- bt 3

)

B.①② D.①②③

(cm ),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过

3

________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 导学号 25400444 [答案] 16 [解析] 当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae ∴e =e
-24b -8b -8b

1 = a, 2

1 1 1 -bt -bt -8b 3 = ,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即 y=ae = a,e = =(e ) 2 8 8

,则 t=24,

所以再经过 16 min. 8.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价 付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部 分按每千米 2.85 元收费, 另每次乘坐需付燃油附加费 1 元. 现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________km. 导学号 25400445 [答案] 9 [解析] 设出租车行驶 x km 时,付费 y 元, 9,0<x≤3, ? ? 则 y=?8+2.15?x-3?+1,3<x≤8, ? ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8, 由 y=22.6,解得 x=9.
3

9.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该 1 生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过 150 吨, 2 将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ________年. 导学号 25400446 [答案] 7 1 * [解析] 设第 n(n∈N )年的年产量为 an,则 a1= ×1×2×3=3;当 n≥2 时,an=f(n) 2 1 1 2 2 -f(n-1)= n(n+1)(2n+1)- n(n-1)(2n-1)=3n .又 a1=3 也符合 an=3n ,所以 an= 2 2 3n (n∈N ).令 an≤150,即 3n ≤150,解得-5 2≤n≤5 2,所以 1≤n≤7,n∈N ,故最长 的生产期限为 7 年. 10.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内 每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关 系式 y=( 1 t-a ) (a 为 常 数 ) , 如 图 所 示 , 根 据 图 中 提 供 的 信 息 , 回 答 下 列 问 题 : 16
2 * 2 *

导学号 25400447

(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系 式为____________. (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那 么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室. 10t,0≤t≤0.1, ? ? [答案] (1)y=? 1 t-0.1 ? ? ,t>0.1 ? ? 16 [解析]

(2)0.6

(1)设 y=kt,由图象知 y=kt 过点(0.1,1),则 1=k×0.1,k=10,∴y=

10t(0≤t≤0.1). 1 t-a 1 0.1-a 1 t-0.1 由 y=( ) 过点(0.1,1),得 1=( ) ,解得 a=0.1,∴y=( ) (t>0.1). 16 16 16 1 t-0.1 1 (2)由( ) ≤0.25= ,得 t≥0.6. 16 4 故至少需经过 0.6 小时学生才能回到教室.
4

三、解答题 11.某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿千瓦时.本年度计划将电价调至 0.55 元~0.75 元之间, 经测算, 若电价调至 x 元, 则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元) 成反比例.又当 x=0.65 时,y=0.8. 导学号 25400448 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元, 则电价调至多少时, 本年度电力部门的收益将比上 年度增加 20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)] [答案] (1)y= 1 (2)0.6 元 5x-2

[解析] (1)∵y 与(x-0.4)成反比例, ∴设 y=

k (k≠0). x-0.4

把 x=0.65,y=0.8 代入上式, 得 0.8= ,k=0.2. 0.65-0.4 ∴y= 0.2 1 = , x-0.4 5x-2 1 . 5x-2

k

即 y 与 x 之间的函数关系式为 y=

1 (2)根据题意,得(1+ )·(x-0.3) 5x-2 =1×(0.8-0.3)×(1+20%). 整理,得 x -1.1x+0.3=0,解得 x1=0.5,x2=0.6. 经检验 x1=0.5,x2=0.6 都是所列方程的根. ∵x 的取值范围是 0.55~0.75, 故 x=0.5 不符合题意,应舍去.∴x=0.6. ∴当电价调至 0.6 元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%. 12.某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价 格根据销售情况不断进行调整,结果 40 天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研, 结果如图所示,其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售 量与上市时间的关系,图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系. 导学号 25400449
2

5

(1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)与上市时间 t 的关系及国内市场的日销售量 g(t) 与上市时间 t 的关系; (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元?若有, 请说明是上市 后的第几天;若没有,请说明理由.
?2t,0≤t≤30, ? [答案] (1)f(t)=? ?-6t+240,30<t≤40 ?

g(t)=- t2+6t(0≤t≤40)
(2)当上市后的第 30 天满足题意 [解析] (1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,
? ?2t,0≤t≤30, 得 f(t)=? ?-6t+240,30<t≤40. ?

3 20

图②是一个二次函数的部分图象, 3 2 故 g(t)=- t +6t(0≤t≤40). 20 (2)每件样品的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系为

h(t)=?

?3t,0≤t≤20, ? ?60,20<t≤40. ?

故国外和国内的日销售利润之和 F(t)与上市时间 t 的关系为 3t?- t +8t?,0≤t≤20, 20 ? ? 3 F(t)=?60?- t +8t?,20<t≤30, 20 3 ? ?60?-20t +240?,30<t≤40. 3
2 2 2

3 2 9 3 2 当 0≤t≤20 时,F(t)=3t(- t +8t)=- t +24t . 20 20 27 2 27 ∴F′(t)=- t +48t=t(48- t)≥0. 20 20 ∴F(t)在[0,20]上是增函数. ∴F(t)在此区间上的最大值为 F(20)=6 000<6 300.
6

3 2 当 20<t≤30 时,F(t)=60(- t +8t). 20 由 F(t)=6 300,得 3t -160t+2 100=0. 70 解得 t= (舍去)或 t=30. 3 3 2 当 30<t≤40 时,F(t)=60(- t +240). 20 由 F(t)在(30,40]上是减函数,得 F(t)<F(30)=6 300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万元,为上市后的第 30 天. [点拨] (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同, 可以先将其当作几个 问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是 端点值. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏. B 组 能力提升 1.(2015·广东广州第六中学上学期第一次质量检测)给出四个函数,分别满足①f(x+
2

y) = f(x) + f(y) ;② g(x + y) = g(x)·g(y) ;③ φ (x·y) = φ (x) + φ (y) ;④ ω (x·y) =
ω (x)·ω (y).又给出四个函数的图象如下

则正确的匹配方案是 导学号 25400450 ( A.①—M ②—N ③—P ④—Q B.①—N ②—P ③—M ④—Q C.①—P ②—M ③—N ④—Q D.①—Q ②—M ③—N ④—P [答案] D

)

[解析] 图象 M 是指数型函数,具有性质②;图象 N 是对数型函数,具有性质③;图象 P 是幂函数,具有性质④;图象 Q 是正比例函数,具有性质①.故选 D. 2. (2015·北京昌平区上学期期末质量抽测)在 2014 年 APEC 会议期间, 北京某旅行社为 某旅行团包机去旅游,其中旅行社的包机费为 12 000 元,旅行团中每人的飞机票按以下方式 与旅行社结算:若旅行团的人数在 30 人或 30 人以下,每张机票收费 800 元;若旅行团的人 数多于 30 人,则给予优惠,每多 1 人,旅行团每张机票减少 20 元,但旅行团的人数最多不 超过 45 人,当旅行社获得的机票利润最大时,旅行团的人数是 导学号 25400451 ( A.32 B.35 )

7

C.40 [答案] B [解析]

D.45

设旅 行团 的人数 是 x , 旅行 社获 得的机 票 利润为 y. 根 据题 意, 得 y =

?800x-12 000,0<x≤30, ? ? 2 ? ?-20x +1 400x-12 000,30<x≤45.

当 0<x≤30 时,y 的最大值为 800×30-12 000=12 000;当 30<x≤45 时,y=-20x
2

2

+1 400x-12 000=-20(x-35) +12 500,所以当 x=35 时,有最大值 12 500.综上,当 旅行社获得的机票利润最大时,旅行团的人数是 35.故选 B. 3. (改编题)如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本 的差)y 与乘客 x 之间的关系图象,由于目前该条公路亏损,公司有关人员提出了两种调整的 建议如图(2)(3)所示.

以下说法: ①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; ③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; ④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中正确的序号是 导学号 25400452 ( A.①③ C.②③ [答案] C [解析] 根据题意和题图(2)知, 两直线平行即票价不变, 直线向上平移说明当乘客量为 0 时, 收入是 0, 但是支出的变少了, 即说明了此建议是降低成本而保持票价不变, 故②正确; 由题图(3)知,当乘客量为 0 时,支出不变,但是直线的倾斜角变大,即相同的乘客量时收入 变大,即票价提高了,即说明了此建议是提高票价而保持成本不变,故③正确. 4.(2015·湖北孝感高中 10 月阶段性考试)在淘宝网上,某店铺专卖孝感某种特产.由 以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位: 元/千克,1<x≤5)满足:当 1<x≤3 时,y=a(x-3) +
2

) B.①④ D.②④

b ,a,b 为常数;当 3<x≤5 时, x-1

y=-70x+490.已知当销售价格为 2 元/千克时, 每日可售出该特产 600 千克; 当销售价格为
3 元/千克时,每日可售出 150 千克. 导学号 25400453

8

(1)求 a,b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2)若该特产的销售成本为 1 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使店铺每日销售该特产 所获利润 f(x)最大.(x 精确到 0.1 元/千克) [答案] (1)a=b=300; 300 ? ?300?x-3?2+ ,1<x≤3, x-1 y=? ? ?-70x+490,3<x≤5.

(2)1.7 元/千克

[解析] (1)由题意知当 x=2 时,y=600,∴a+b=600. 又∵x=3 时,y=150,解得 a=b=300. ∴y 关于 x 的函数解析式为 300 ? ?300?x-3?2+ ,1<x≤3, x -1 y=? ? ?-70x+490,3<x≤5. (2)由题意 f(x)=y(x-1)
? ?300?x-3? ?x-1?+300,1<x≤3, =? ??-70x+490??x-1?,3<x≤5. ?
2

当 1<x≤3,f(x)=300(x-3) (x-1)+300 =300(x -7x +15x-8),
3 2

2

f ′(x)=300(3x2-14x+15)=300(3x-5)(x-3).
5 5 900 ∴x= 时有最大值 . 3 9 当 3<x≤5 时,f(x)=(-70x+490)(x-1), ∴x=4 时有最大值 630. 5 900 5 5 900 ∵630< ,∴当 x= 时,f(x)有最大值 , 9 3 9 即当销售价格为 1.7 元/千克时,店铺所获利润最大. 5. (2015·福建福州上学期期末质量检测)一种药在病人血液中的含量不低于 2 克时, 它 才能起到有效治疗的作用.已知每服用 m(1≤m≤4 且 m∈R)个单位的药剂,药剂在血液中的 含 量 y( 克 ) 随 着 时 间 x( 小 时 ) 变 化 的 函 数 关 系 式 近 似 为 y = mf(x) , 其 中 f(x) = 10 ? ?4+x,0≤x<6, ? x ?4-2,6≤x≤8. ?

导学号 25400454

(1)若病人一次服用 3 个单位的药剂,则有效治疗时间可达多少小时? (2)若病人第一次服用 2 个单位的药剂,6 个小时后再服用 m 个单位的药剂,要使接下来
9

的 2 小时中能够持续有效治疗,试求 m 的最小值. 20 [答案] (1) 3 6 (2) 5

[解析]

30 ? ?4+x,0≤x<6, (1)因为 m=3,所以 y=? 3x 12- ,6≤x≤8. ? ? 2

30 当 0≤x<6 时,由 ≥2,解得 x≤11,此时 0≤x<6; 4+x 3x 20 20 20 当 6≤x≤8 时,由 12- ≥2 解得 x≤ ,此时 6≤x≤ ,综上所述,0≤x≤ ,故一 2 3 3 3 20 次服用 3 个单位的药剂,则有效制疗时间可达 小时. 3 1 10 10m (2)方法一:当 6≤x≤8 时,y=2×(4- x)+m[ ]=8-x+ 2 4+?x-6? x- 2 因为 8-x+ 即 m≥ 10m ≥2 对 6≤x≤8 恒成立, x-2 对 6≤x≤8 恒成立, )max,6≤x≤8.
2

x2-8x+12
10

等价于 m≥( 令 g(x)=

x2-8x+12
10 10

x2-8x+12

?x-4? -4 ,则函数 g(x)= 在[6,8]上是单调增函数, 10

当 x=8 时,函数 g(x)=

x2-8x+12
10

6 取得最大值 , 5

6 6 所以 m≥ ,所以所求 m 的最小值为 . 5 5 1 10 10m 方法二:当 6≤x≤8 时,y=2×(4- x)+m[ ]=8-x+ , 2 4+?x-6? x-2 注意到 y1=8-x 及 y2= 则 y=8-x+ 10m (1≤m≤4 且 m∈R)均关于 x 在[6,8]上单调递减, x-2

10m 关于 x 在[6,8]上单调递减, x-2

10m 5m 5m 6 故 y≥8-8+ = ,由 ≥2,得 m≥ . 8-2 3 3 5 6 所以所求 m 的最小值为 . 5

10


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