2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算教师用书文北师大版


2018 版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合 及其运算教师用书 文 北师大版

1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或?表示. (3)集合的常用表示法:列举法和描述法. (4)常见数集的记法 集合 符号 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 集合 A 中的任何一个元素都是集合 子集 符号语言 Venn 图 自然数集 N 正整数集 N+(或 N )
*

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

B 中的元素(即若 a∈A,则 a∈B)
集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 真子集 中至少有一个元素不在集合 A 中 集合 A,B 中的元素相同或集合 A, 集合相等

A? B(或 B? A)

A ? B(或 B ? A)

A=B B 互为子集

3.集合的基本运算 运算 交集 的所有元素组成的集合 由属于集合 A 或属于集合 B 并集 的所有元素组成的集合
1

自然语言 由属于集合 A 且属于集合 B

符号语言

Venn 图

A∩B={x|x∈A 且 x∈B}

A∪B={x|x∈A 或 x∈B}

由全集 U 中所有不属于集合 补集 ?UA={x|x∈U 且 x?A}

A 的元素组成的集合

【知识拓展】 1.若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2 ,真子集的个数为 2 -1. 2.A? B?A∩B=A?A∪B=B. 3.A∩?UA=?;A∪?UA=U;?U(?UA)=A.
n n

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( × ) (2){x|y=x +1}={y|y=x +1}={(x,y)|y=x +1}.( × ) (3)若{x ,1}={0,1},则 x=0,1.( × (4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ ) (5)对于任意两个集合 A,B,关系(A∩B)? (A∪B)恒成立.( √ (6)若 A∩B=A∩C,则 B=C.( × ) )
2 2 2 2

)

1.(教材改编)若集合 A={x∈N|x≤ 10},a=2 2,则下列结论正确的是( A.{a}? A B.a? A C.{a}∈A D.a?A 答案 D 解析 由题意知 A={0,1,2,3},由 a=2 2,知 a?A.

)

2.(2017·宝鸡市阳中学质检)若集合 M={y|y=x },P={y|y= x-1},那么 M∩P 等于 ( ) B.[1,+∞) D.[0,+∞)

-2

A.(1,+∞) C.(0,+∞) 答案 C

1 解析 ∵M={y|y= 2}={y|y>0},P={y|y= x-1}={y|y≥0},

x

∴M∩P={y|y>0}=(0,+∞).

2

3.已知集合 A={x|x -x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B 等于( A.{-1,0,1,2} C.{0,1} 答案 A B.{-2,-1,0,1} D.{-1,0}

2

)

解析 因为 A={x|x -x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合 B 为整数集,所以集合 A∩B ={-1,0,1,2},故选 A. 1 x 4.(2017·西安一中月考)已知集合 A={x||x+1|<1},B={x|( ) -2≥0},则 A∩(?RB)等 2 于( ) B.(-1,0) D.(-2,-1]

2

A.(-2,-1) C.[-1,0) 答案 B

解析 ∵A={x|-2<x<0},B={x|x≤-1}, ∴?RB={x|x>-1}, ∴A∩?RB={x|-1<x<0}. 5.已知集合 A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则 m=________. 答案 2 解析 ∵A∪B={1,3,m}∪{3,4}={1,2,3,4}, ∴2∈{1,3,m},∴m=2.

题型一 集合的含义 例 1 (1)(2016·江西南昌二中高二期末)下列命题正确的是( A.空集是任何集合的子集 B.集合{y|y=x -1}与集合{(x,y)|y=x -1}是同一个集合 C.自然数集 N 中最小的数是 1 D.很小的实数可以构成集合 (2)若集合 A={x∈R|ax -3x+2=0}中只有一个元素,则 a=________. 9 答案 (1)A (2)0 或 8
2 2 2

)

3

解析 (1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故 A 正确;集合{y|y=x -1} 是一个数集,集合{(x,y)}|y=x -1}是一个点集,故不是同一个集合,故 B 错误;自然数 集 N 中最小的数是 0,不是 1,故 C 错误;很小的实数不具备确定性,不可以构成集合,故 D 错误,故选 A.
?2? (2)若 a=0,则 A=? ?,符合题意; ?3?
2

2

9 若 a≠0,则由题意得 Δ =9-8a=0,解得 a= . 8 9 综上,a 的值为 0 或 . 8 思维升华 (1)用描述法表示集合, 首先要搞清楚集合中代表元素的含义, 再看元素的限制条 件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合; (2)集合中元素的互异性常常容易忽略, 求解问题时要特别注意. 分类讨论的思想方法常用于 解决集合问题. (1)(2016·临沂模拟)已知 A={x|x=3k-1, k∈Z}, 则下列表示正确的是( A.-1?A C.3k -1∈A(k∈Z)
2

)

B.-11∈A D.-34?A
? ?

(2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0, ,b?,则 b-a=________.
?

b a

?

答案 (1)C (2)2 解析 (1)∵k∈Z,∴k ∈Z,∴3k -1∈A. (2)因为{1,a+b,a}=?0, ,b?,a≠0,
? ? ?
2 2

b a

?

所以 a+b=0,得 =-1, 所以 a=-1,b=1,所以 b-a=2. 题型二 集合的基本关系 例2 (1)(2016·唐山一模)设 A,B 是全集 I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足 A? B )

b a

的 B 的个数是(

A.5 B.4 C.3 D.2 (2)已知集合 A={x|x -2 017x+2 016<0},B={x|x<a},若 A? B,则实数 a 的取值范围是 __________________. 答案 (1)B (2)[2 016,+∞)
2

4

解析 (1)∵{1,2}? B,I={1,2,3,4}, ∴满足条件的集合 B 有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共 4 个. (2)由 x -2 017x+2 016<0,解得 1<x<2 016, 故 A={x|1<x<2 016}, 又 B={x|x<a},A? B,如图所示,
2

可得 a≥2 016. 引申探究 本例(2)中, 若将集合 B 改为{x|x≥a}, 其他条件不变, 则实数 a 的取值范围是____________. 答案 (-∞,1] 解析 A={x|1<x<2 016},B={x|x≥a},A? B,如图所示,

可得 a≤1. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则 会造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时, 关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系, 进而转 化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题. (1)已知集合 A={x∈R|x +x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若 B? A,则实数
2

a 的值为(
1 1 A. 或- 3 2 1 1 C. 或- 或 0 3 2

) 1 1 B.- 或 3 2 1 1 D.- 或 或 0 3 2

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B? A,则实数 m 的取值范围是 ____________. 答案 (1)D (2)(-∞,4] 解析 (1)由题意知 A={2,-3}. 当 a=0 时,B=?,满足 B? A; 1 当 a≠0 时,ax-1=0 的解为 x= ,

a

5

1 1 由 B? A,可得 =-3 或 =2,

a

a

1 1 ∴a=- 或 a= . 3 2 1 1 综上,a 的值为- 或 或 0. 3 2 (2)当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2; 当 B≠?时,若 B? A,如图,

m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1,

解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围为(-∞,4]. 题型三 集合的基本运算 命题点 1 集合的运算 例 3 ( ) 3? ? B.?-3, ? 2? ? (1)(2016·全国乙卷)设集合 A={x|x -4x+3<0},B={x|2x-3>0},则 A∩B 等于
2

3? ? A.?-3,- ? 2? ?

? 3? C.?1, ? ? 2?

?3 ? D.? ,3? ?2 ?

1 x (2)(2017·九江武宁一中月考)设集合 A={x∈N| ≤2 ≤16}, B={x|y=ln(x2-3x)}, 则 A∩B 4 中元素的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 (1)D (2)A 解析 (1)由 A={x|x -4x+3<0}={x|1<x<3},
2

B={x|2x-3>0}={x|x> },
3 ?3 ? 得 A∩B={x| <x<3}=? ,3?,故选 D. 2 ?2 ? (2)∵A={x∈N|-2≤x≤4},B={x|x>3 或 x<0}, ∴A∩B={4},A∩B 中有 1 个元素. 命题点 2 利用集合的运算求参数 例 4 (1)设集合 A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若 A∩B≠?,则 a 的取值范围是( )
6

3 2

A.-1<a≤2 C.a≥-1
2

B.a>2 D.a>-1 )

(2)集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 D.4 答案 (1)D (2)D

解析 (1)因为 A∩B≠?,所以集合 A,B 有公共元素,作出数轴,如图所示,易知 a>-1.

(2)由题意可得{a,a }={4,16},∴a=4. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素若是 连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. (1)(2016·山东)设集合 A={y|y=2 ,x∈R},B={x|x -1<0},则 A∪B 等于 ( ) B.(0,1) D.(0,+∞)
2

2

x

2

A.(-1,1) C.(-1,+∞)

(2)已知集合 A={x|x -x-12≤0},B={x|2m-1<x<m+1},且 A∩B=B,则实数 m 的取值范 围为( ) B.[-1,3] D.[-1,+∞)

A.[-1,2) C.[2,+∞) 答案 (1)C (2)D

解析 (1)∵A={y|y>0},B={x|-1<x<1}, ∴A∪B=(-1,+∞),故选 C. (2)由 x -x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以 A={x|-3≤x≤4}.又 A∩B =B,所以 B? A. ①当 B=?时,有 m+1≤2m-1,解得 m≥2. -3≤2m-1, ? ? ②当 B≠?时,有?m+1≤4, ? ?2m-1<m+1,
2

解得-1≤m<2.

综上,m 的取值范围为[-1,+∞).

7

题型四 集合的新定义问题 1 1 例 5 若对任意的 x∈A, ∈A,则称 A 是“伙伴关系集合”,则集合 M={-1,0, ,1,2}的 x 2 所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为________. 答案 7 1 解析 具有伙伴关系的元素组有-1;1;2 和 共三组,它们中任一组、两组、三组均可组成 2 1 1 非空伙伴关系集合,所以非空伙伴关系集合分别为{1},{-1},{ ,2},{-1,1},{-1, , 2 2 1 1 2},{1, ,2},{-1,1, ,2},共 7 个. 2 2 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义 的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破 解新定义型集合问题难点的关键所在; (2)用好集合的性质. 解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素, 在关键之处 用好集合的运算与性质. (2016·江 西新 余一 中联 考 ) 定 义一 种集 合运算 A ? B = {x|x∈(A∪B) 且 x ? (A∩B)},设 M={x|-2<x<2},N={x|1<x<3},则 M?N 所表示的集合是________________. 答案 {x|-2<x≤1 或 2≤x<3} 解析 由 M={x|-2<x<2},N={x|1<x<3},可得 M∪N={x|-2<x<3},M∩N={x|1<x<2},由 定义的集合运算可知, M?N 所表示的集合由 M∪N={x|-2<x<3}中的元素去掉 M∩N={x|1<x<2} 中的元素,剩余的元素组成的集合,所以 M?N={x|-2<x≤1 或 2≤x<3}.

1.集合关系及运算

典例 (1)已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m 等于( A.0 或 3 C.1 或 3
2

)

B.0 或 3 D.1 或 3 或 0
2

(2)设集合 A={0,-4},B={x|x +2(a+1)x+a -1=0,x∈R}.若 B? A,则实数 a 的取 值范围是________. 错解展示
8

解析 (1)由 A∪B=A,得 B? A,∴m=3 或 m= m, 故 m=3 或 m=0 或 m=1. (2)∵B? A,讨论如下: Δ =4?a+1? -4?a -1?>0, ? ? ①当 B=A={0,-4}时,?-2?a+1?=-4, ? ?a2-1=0, 解得 a=1. ②当 B ? A 时,由 Δ =0 得 a=-1, 此时 B={0}满足题意, 综上,实数 a 的取值范围是{1,-1}. 答案 (1)D (2){1,-1} 现场纠错 解析 (1)A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,故 B? A,所以 m=3 或 m= m,即 m=3 或
2 2

m=0 或 m=1,其中 m=1 不符合题意,所以 m=0 或 m=3,故选 B.
(2)因为 A={0,-4},所以 B? A 分以下三种情况: ①当 B=A 时,B={0,-4},由此知 0 和-4 是方程 x +2(a+1)x+a -1=0 的两个根,由 根与系数的关系,得 Δ =4?a+1? -4?a -1?>0, ? ? ?-2?a+1?=-4, ? ?a2-1=0,
2 2 2 2

解得 a=1;

②当 B≠?且 B ? A 时,B={0}或 B={-4}, 并且 Δ =4(a+1) -4(a -1)=0, 解得 a=-1,此时 B={0}满足题意; ③当 B=?时,Δ =4(a+1) -4(a -1)<0, 解得 a<-1. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪{1}. 答案 (1)B (2)(-∞,-1]∪{1} 纠错心得 (1)集合的元素具有互异性,参数的取值要代入检验. (2)当两个集合之间具有包含关系时,不要忽略空集的情况.
2 2 2 2

9

1. (2017·西安一中月考)已知集合 U={1,2,3,4,5,6}, A={1,3,5}, B={3,4,5}, 则?U(A∪B) 等于( ) B.{1,3,4,5} D.{2,6}

A.{1,2,4,6} C.{3,6} 答案 D 解析 ∵A∪B={1,3,4,5}, ∴?U(A∪B)={2,6}.

2. (2016·四川)设集合 A={x|-2≤x≤2}, Z 为整数集, 则集合 A∩Z 中元素的个数是( A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 解析 由题意可知,A∩Z={-2,-1,0,1,2},则 A∩Z 中的元素的个数为 5.故选 C. 3.已知集合 A={x|1<x<3},B={x|2m<x<1-m},若 A∩B=?,则实数 m 的取值范围是( 1 A.[ ,+∞) 3 C.(-∞,0] 答案 D 解析 ∵A∩B=?, 1 ①若 2m≥1-m,即 m≥ 时,B=?,符合题意; 3 1 ②若 2m<1-m,即 m< 时, 3 1 ? ?m< , 3 需满足? ? ?1-m≤1 1 ? ?m< , 3 或? ? ?2m≥3, 1 B.[0, ) 3 D.[0,+∞)

)

)

1 1 解得 0≤m< 或?,即 0≤m< . 3 3 综上,实数 m 的取值范围为[0,+∞). 4. (2017·北师大附中月考)设集合 M={-1,1}, N={x|x -4<0}, 则下列结论正确的是( A.N? M C.M? N B.M∩N=? D.M∪N=R
10
2

)

答案 C 解析 集合 M={-1,1},N={x|x -4<0}={x|-2<x<2},可得 M? N. 5.若集合 A={(1,2),(3,4)},则集合 A 的真子集的个数是( A.16 B.8 答案 D 解析 集合 A 中有两个元素,则集合 A 的真子集的个数是 2 -1=3. 6.已知集合 A={x|x -x-2<0},B={x|-1<x<1},则( A.A ? B C.A=B 答案 B 解析 因为 A={x|x -x-2<0}={x|-1<x<2},
2 2 2 2

)

C.4 D.3

)

B.B ? A D.A∩B=?

B={x|-1<x<1},所以 B ? A.
7.(2016·宁夏银川二中考试)已知集合 A={x|y=lg(x-x )},B={x|x -cx<0,c>0},若
2 2

A? B,则实数 c 的取值范围是(
A.(0,1] C.(0,1) 答案 B

) B.[1,+∞) D.(1,+∞)

解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x )}={x|x-x >0}=(0,1),B={x|x -cx<0,c>0}=(0,

2

2

2

c).由 A? B,画出数轴,如图所示,得 c≥1.

8.(2015·浙江)已知集合 P={x|x -2x≥0},Q ={x|1<x≤2},则(?RP)∩Q 等于( A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2] 答案 C 解析 ∵P={x|x≥2 或 x≤0},?RP={x|0<x<2}, ∴(?RP)∩Q={x|1<x<2},故选 C. 9.设集合 Q={x|2x -5x≤0,x∈N},且 P? Q,则满足条件的集合 P 的个数是( A.3 B.4 C.7 D.8 答案 D
2

2

)

)

11

5 2 解析 因为 Q={x|2x -5x≤0,x∈N}={x|0≤x≤ ,x∈N}={0,1,2}, 2 所以满足 P? Q 的集合 P 的个数是 2 =8,故选 D.
? ? ? 3? 1 10.设集合 M=?x|m≤x≤m+ ?, N=?x|n- ≤x≤n?, 且 M, N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集, 4? 3 ? ? ?
3

如果把 b-a 叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”, 那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是( A. 1 2 B. 3 3 1 C. 12 D. 5 12

)

答案 C

m≥0, ? ? 解析 由已知,可得? 3 m+ ≤1, ? ? 4
1 ? ?n- ≥0, ? 3 ? ?n≤1, 1 即 ≤n≤1, 3

1 即 0≤m≤ ; 4

? 3? ?2 ? ? 3? ?2 ? 取 m 的最小值 0,n 的最大值 1,可得 M=?0, ?,N=? ,1?,所以 M∩N=?0, ?∩? ,1?= ? 4? ?3 ? ? 4? ?3 ? ?2,3?,此时集合 M∩N 的“长度”的最小值为3-2= 1 ,故选 C. ?3 4? 4 3 12 ? ?
11.已知集合 A={m+2,2m +m},若 3∈A,则 m 的值为__________. 3 答案 - 2 解析 ∵3∈A,∴m+2=3 或 2m +m=3. 当 m+2=3,即 m=1 时,2m +m=3,此时集合 A 中有重复元素 3, 不符合集合的互异性,舍去; 3 2 当 2m +m=3 时,解得 m=- 或 m=1(舍去), 2 3 1 当 m=- 时,m+2= ≠3,符合题意, 2 2 3 ∴m=- . 2 12. (2016·南阳模拟)设全集 U=R, 集合 A={x|y= x -2x-3}, B={y|y=e +1}, 则 A∪B =__________. 答案 (-∞,-1]∪(1,+∞) 解析 因为 A={x|x≥3 或 x≤-1},B={y|y>1}, 所以 A∪B={x|x>1 或 x≤-1}.
2 2 2 2

x

12

13.已知集合 A={x|x -2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是__________. 答案 (-∞,1] 解析 ∵1?{x|x -2x+a>0},∴1∈{x|x -2x+a≤0},即 1-2+a≤0,∴a≤1. 14.已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是________. 答案 5 解析 当 x=0,y=0 时,x-y=0; 当 x=0,y=1 时,x-y=-1; 当 x=0,y=2 时,x-y=-2; 当 x=1,y=0 时, x-y=1; 当 x=1,y=1 时,x-y=0; 当 x=1,y=2 时, x-y=-1; 当 x=2,y=0 时,x-y=2; 当 x=2,y=1 时, x-y=1; 当 x=2,y=2 时,x-y=0. 根据集合中元素的互异性知,B 中元素有 0,-1,-2,1,2,共 5 个. 15.已知集合 A={x|4≤2 ≤16},B=[a,b],若 A? B,则实数 a-b 的取值范围是________. 答案 (-∞,-2] 解析 集合 A={x|4≤2 ≤16}={x|2 ≤2 ≤2 }={x|2≤x≤4}=[2,4], 因为 A? B,所以 a≤2,b≥4,所以 a-b≤2-4=-2, 即实数 a-b 的取值范围是(-∞,-2].
x
2 2 2

2

x

x

4

13


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