数学文卷·2014届河北省衡水中学高三上学期四调考试(2013.12)

河北省衡水中学 2013~2014 学年度上学期第四次调研考试 高三年级数学试卷(文)
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填

涂在答题卡上) 1.集合 A={x ? Z A.{0} 2.已知复数 z 满足 z = A.第一象限
3. 函数 A. 2

1 ? 2 x ? 2} ,B= { y y = cos x, x ? A} ,则 A I B =( 2
B.{1} C.{0,1}

) D.{-1,0,1} )

(3 + i ) 2 ,则复数 z 所对应的点所在象限为 ( (i 为虚数单位) 1+ i
B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

f ( x) = 2 ln x + x 2 - bx + a (b > 0, a ? R ) 在点 ( b, f (b) ) 处的切线斜率的最小值是(



2
2

B. 2

C.

3

D. 1 )

4.若抛物线 y A. y
2

= 2 px( p > 0) 上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6 ,则抛物线方程为(
B. y
2

= 4x

= 36 x

C. y

2

= 4 x 或 y 2 = 36 x

D. y

2

= 8 x 或 y 2 = 32 x

5. 已知数列 {a n } , {bn } 满足 a1 = b1 = 1 , a n +1 - a n = 前 10 项的和为 ( )

bn +1 = 2, n ? N + , 则数列 {ban }的 bn

4 9 (4 - 1) 3 1 C. ( 4 9 - 1) 3
A.

4 10 (4 - 1) . 3 1 D. ( 410 - 1) 3
B. )

6.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,则下列说法错误的是( A. MN 与 CC1 垂直 B. MN 与 AC 垂直 C. MN 与 BD 平行 ( )

D. MN 与 A1B1 平行

1 7.已知函数 f(x)=|x|+ ,则函数 y=f(x)的大致图像为 x

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8. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( A.



160 3

B. 160

C. 64 + 32 2

D. 88 + 8 2

9.函数 f ( x ) = 2 sin(wx + j )(w > 0) 的部分图像如图,其中

M (m,0), N (n,2), P(p ,0) ,且 mn < 0 ,则 f(x)在下列哪个区间中是单调的(
A. (0,



p ) 4 p 3p C. ( , ) 2 4

p 2p , ) 4 3 2p D. ( ,p ) 3
B. (

N M P

10. 点 P 是双曲线

x2 y2 = 1( a > 0, b > 0) 左支上的一点, 其右焦点为 F ( c,0) , 若 M 为线段 FP 的中点, a 2 b2
c ,则双曲线的离心率 e 的取值范围是 8 ? 4ù è 3ú ?
C. ( , ) ( )

且 M 到坐标原点的距离为 A. (1,8]

B. ? 1,

4 5 3 3

D. ( 2,3]

11.两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四个不同的公共点,则称两条平行线和 圆“相交” ;若两平行直线和圆没有公共点,则称两条平行线和圆“相离” ;若两平行直线和圆有一个、两 个 或 三 个 不 同 的 公 共 点 , 则 称 两 条 平 行 线 和 圆 “ 相 切 ”. 已 知 直 线

l1 : 2 x - y + a = 0, l 2 : 2 x - y + a 2 + 1 = 0和圆 : x 2 + y 2 + 2 x - 4 = 0 相切,则 a 的取值范围是(
A. a > 7或a < -3 C.-3≤a≤一 6 或 6 ≤a≤7 B. a >



6或a < - 6

D.a≥7 或 a≤—3

12.在平面直角坐标系中,定义 d ( P, Q) = x1 - x2 + y1 - y2 为两点 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 之间的“折线距 离”.在这个定义下,给出下列命题: ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形; ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ③到 M ( -1, 0), N (1, 0) 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是 x = 0 ; ④到 M ( -1, 0), N (1, 0) 两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线.其中正确的命 题有( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

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第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

ìx + y - 3 ? 0 ? 13.若直线 y = 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 í x - 2 y - 3 ? 0 ,则实数 m 的取值范围 ?x ? m ?
2

.

14、设△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的三边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S = a - (b - c) ,则
2

sin A = 1 - cos A

.

15.如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积 为 . 的左焦点 F,且与椭圆相交于 P、Q 两点, D1 A1 ·O D B C B1 C1

16.直线 l 过椭圆

M 为 PQ 的中点,O 为原点.若△FMO 是以 OF 为底边的等腰三角形, 则直线 l 的方程为 .

A 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置) 17、在 DABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足

?p ? ?p ? cos 2 A - cos 2 B = 2 cos? - A ÷ cos? + A ÷ è6 ? è6 ?
(1)求角 B 的值; (2)若 b =

1 3 且 b ? a ,求 a - c 的取值范围. 2

18、已知数列{an}满足:a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2(n∈N*) . (Ⅰ)求 a3,a4,并求数列{an}通项公式; (Ⅱ)记数列{an}前 2n 项和为 S2n,当 S2n 取最大值时,求 n 的值.

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19、如图所示的几何体 ABCDFE 中,△ABC,△DFE 都是等边三角形,且所在平面平行,四边形 BCED 是边长 为 2 的正方形,且所在平面垂直于平面 ABC. (Ⅰ)求几何体 ABCDFE 的体积; (Ⅱ)证明:平面 ADE∥平面 BCF;

20、如图,已知抛物线 C : y 2 = 2 px 和⊙ M :( x - 4) 2 + y 2 = 1 ,过抛物线 C 上一点 H ( x 0 , y 0 )( y 0 ? 1) 作 两条直线与⊙ M 相切于 A 、 分别交抛物线为 E、 F 两点, 圆心点 M 到抛物线准线的距离为 B 两点, (1)求抛物线 C 的方程; (2)当 ? AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率; (3)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t ,求 t 的最小值.

17 . 4

21、 已知函数 f ( x ) = ln x ,g ( x ) = f ( x ) + ax - 3 x , 函数 g ( x ) 的图像在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴.
2

(1)求 a 的值; (2)求函数 g ( x ) 的极小值; (3)设斜率为 k 的直线与函数 f ( x ) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , ( x1 < x2 ) 证明:

1 1 <k< . x2 x1

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请考生在 22,23 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按 所涂题目进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分。 22.如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上两点,AC 与 BD 相交于点 E,GC,GD 是圆 O 的切线,点 F 在 DG 的延长线上,且 DG = GF 。求证: (1)D、E、C、F 四点共圆; (2) GE ^ AB

23. 已知函数 f ( x ) =| x - 1| 。 (1)解不等式 f ( x ) + f ( x + 4) ? 8 ; (2)若 | a |< 1,| b |< 1 ,且 a ? 0 ,求证: f ( ab) >| a | f ( ) 。

b a

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2013—2014 学年度上学期四调考试 高三年级数学试卷(文) (参考答案)
1——12 13. ( -?,1] 14. 4 15. 16. 17.解: (1)由已知 cos 2 A - cos 2 B = 2 cos? BAACD DBCBB CC

p 6

?p ? ?p ? - A ÷ cos? + A ÷ 得 è6 ? è6 ?

3 1 2 ? 2 2 sin 2 B - 2 sin 2 A = 2? ? cos A - sin A ÷ ,----------4 分 è4 4 ?

化简得 sin B = (2)由正弦定理 故a -

p 2p 3 .----------6 分 ,故 B = 或 3 3 2

a c b = = = 2 ,得 a = 2 sin A, c = 2 sin C , sin A sin C sin B

1 3 ? 2p ? 3 c = 2 sin A - sin C = 2 sin A - sin ? - A ÷ = sin A cos A 2 2 è 3 ? 2
----------8 分

p? ? = 3 sin ? A - ÷ 6? è
因为 b ? a ,所以 所以 a -

p 2p p p p , ? A - < ,----------10 分 ? A< 3 3 6 6 2
----------12 分

? 1 p? é 3 ? c = 3 sin ? A - ÷ ? ê , 3 ÷ ÷. 2 6? ? 2 è ?

18.解: (I)∵a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2 ∴a3=18,a4=5 由题意可得数列{an}奇数项、偶数项分布是以﹣2 为公差的等差数列 当 n 为奇数时, 当 n 为偶数时, =21﹣n =9﹣n

∴an=

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(II)s2n=a1+a2+…+a2n =(a1+a3+…+a2n﹣1)+(a2+…+a2n) = =﹣2n +29n 结合二次函数的性质可知,当 n=7 时最大 19.解: (Ⅰ)取 BC 的中点 O , ED 的中点 G ,连接 AO , OF , FG , AG . 因为 AO ^ BC ,且平面 BCED ^ 平面 ABC , 所以 AO ^ 平面 BCED ,同理 FG ^ 平面 BCED , 因为 AO = FG = 3 , 所以 VABCDFE =
2

1 8 3 .…………………(6 分) ? 4? 3 ? 2 = 3 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AO P FG , AO = FG , 所以四边形 AOFG 为平行四边形,故 AG P OF 又 DE P BC ,所以平面 A D E P 平面 BCF .…………………………………(12 分) 20.解(1)∵点 M 到抛物线准线的距离为 4 + ∴p=

p 17 , = 2 4

1 ,即抛物线 C 的方程为 y 2 = x . 2

(2)法一:∵当 ? AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H ( 4,2) ,∴ k HE = - k HF , 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y 2 ) , ∴

y H - y1 y - y2 , =- H xH - x1 x H - x2



y H - y1 y - y2 , =- H 2 2 2 2 y H - y1 yH - y2

∴ y1 + y2 = -2 y H = -4 .

k EF =

y2 - y1 y 2 - y1 1 1 = 2 = =- . 2 x2 - x1 y 2 - y1 y 2 + y1 4
3 , k HB = - 3 ,

法二:∵当 ? AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H ( 4,2) ,∴ ? AHB = 60 o ,可得 k HA = ∴直线 HA 的方程为 y = 联立方程组 í

3x - 4 3 + 2 ,
,得 3 y 2 - y - 4 3 + 2 = 0 ,

ì y = 3x - 4 3 + 2 ?
3 3

y =x
2

∵ yE + 2 =

∴ yE =

3-6 13 - 4 3 , xE = . 3 3
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同理可得 y F =

1 - 3-6 13 + 4 3 , xF = ,∴ k EF = - . 4 3 3

(3)法一:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,∵ k MA =

4 - x1 y1 , ,∴ k HA = x1 - 4 y1

可得,直线 HA 的方程为 (4 - x1 ) x - y1 y + 4 x1 - 15 = 0 , 同理,直线 HB 的方程为 (4 - x 2 ) x - y 2 y + 4 x 2 - 15 = 0 , ∴ ( 4 - x1 ) y 0 - y1 y 0 + 4 x1 - 15 = 0 ,
2

( 4 - x 2 ) y 0 - y 2 y 0 + 4 x 2 - 15 = 0 ,
2 2 ∴直线 AB 的方程为 (4 - y 0 ) x - y0 y + 4 y0 - 15 = 0 ,

2

令 x = 0 ,可得 t = 4 y 0 -

15 ( y 0 ? 1) , y0
∴ t min = -11 .

∵ t 关于 y0 的函数在 [1, +? ) 单调递增,

法二:设点 H ( m 2 , m )( m ? 1) , HM 2 = m 4 - 7 m 2 + 16 , HA 2 = m 4 - 7 m 2 + 15 . 以 H 为圆心, H A 为半径的圆方程为 ( x - m 2 ) 2 + ( y - m ) 2 = m 4 - 7 m 2 + 15 , .......... ① ⊙ M 方程: ( x - 4) 2 + y 2 = 1 . ................................................. ② ①-②得: 直线 A B 的方程为 (2 x - m 2 - 4)(4 - m 2 ) - (2 y - m ) m = m 4 - 7 m 2 + 14 . 当 x = 0 时,直线 A B 在 y 轴上的截距 t = 4m ∵ t 关于 m 的函数在 [1, +? ) 单调递增,
2

15 ( m ? 1) , m

∴ t min = -11 .

21.解: (1)依题意得 g ( x) = ln x + ax - 3 x ,则 g '( x ) =

1 + 2ax - 3 x

由函数 g ( x ) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) = 1 + 2a - 3 = 0 ∴ a =1 (2)由(1)得 g '( x) =

2 x 2 - 3x + 1 (2 x - 1)( x - 1) = x x
1 或 x =1 2

∵函数 g ( x ) 的定义域为 (0, +? ) ,令 g '( x ) = 0 得 x =

函数 g ( x ) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;在 (1, +? ) 上单调递增.故函数 g ( x ) 的极小值为

1 2

1 2

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g (1) = -2
(3)证法一:依题意得 k =

y2 - y1 ln x2 - ln x1 , = x2 - x1 x2 - x1

要证

1 1 1 ln x2 - ln x1 1 < k < ,即证 < < x2 x1 x2 x2 - x1 x1 x2 - x1 x x -x < ln 2 < 2 1 x2 x1 x1

因 x2 - x1 > 0 ,即证



x2 1 ,即证 1 - < ln t < t - 1 ( t > 1 ) = t ( t > 1) x1 t 1 t

令 k (t ) = ln t - t + 1 ( t > 1 )则 k '(t ) = - 1 < 0 ∴ k (t ) 在(1,+ ? )上单调递减, ∴ k (t ) < k (1) = 0 即 ln t - t + 1 < 0 ,\ ln t < t - 1 --------------①

令 h(t ) = ln t + - 1 ( t > 1 )则 h '(t ) = ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增,

1 t

1 1 t -1 = 2 >0 t t2 t

∴ h(t ) > h(1) =0,即 ln t > 1 - ( t > 1 )--------------② 综①②得 1 - < ln t < t - 1 ( t > 1 ) ,即

1 t

1 t

1 1 <k< . x2 x1

【证法二:依题意得 k =

y2 - y1 ln x2 - ln x1 = ? ln x2 - kx2 = ln x1 - kx1 , x2 - x1 x2 - x1

1 - k, x 1 1 1 由 h?( x ) = 0 得 x = ,当 x > 时, h?( x ) < 0 ,当 0 < x < 时, h?( x ) > 0 , k k k 1 1 \ h( x ) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , +? ) 单调递减,又 h( x1 ) = h( x2 ), k k
令 h( x ) = ln x - kx, 则 h?( x ) =

\ x1 <

1 1 1 < x2 , 即 < k < k x2 x1

22.解: (Ⅰ)如图,连结 OC,OD,则 OC⊥CG,OD⊥DG, 设∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3, ∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2. 所以∠DGC=180°-∠DOC=2(∠1+∠2). 因为∠DGC=2∠F,所以∠F=∠1+∠2.
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…3 分

又因为∠DEC=∠AEB=180°-(∠1+∠2), 所以∠DEC+∠F=180°,所以 D,E,C,F 四点共圆.
D G C
2

…5 分
F

E A
1

3

O H

B

(Ⅱ)延长 GE 交 AB 于 H. 因为 GD=GC=GF,所以点 G 是经过 D,E,C,F 四点的圆的圆心. 所以 GE=GC,所以∠GCE=∠GEC. 又因为∠GCE+∠3=90°,∠1=∠3, 所以∠GEC+∠3=90°,所以∠AEH+∠1=90°, 所以∠EHA=90°,即 GE⊥AB. …10 分 …8 分

ì ?-2x-2,x<-3, -3≤x≤1, 23.解: (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=í4, ?2x+2, x>1. ?
当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. (Ⅱ)f (ab)>|a|f ( …4 分 …5 分 …6 分

b )即|ab-1|>|a-b|. a

因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b )=(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|. 故所证不等式成立. …10 分
2 2 2 2 2 2 2 2

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