海南省琼海市嘉积中学2013届高三第二学期高中教学质量监测(一)(理科数学)

海南省琼海市嘉积中学 2013 届高三第二学期高中教学质量监测 (一) 理科数学
欢迎你参加这次测试,祝你取得好成绩!
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。 1. 设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=( )

A.{3,0}

B.{3,0,1 }

C.{3,0,2}

D.{3,0,1,2}

2.如图在复平面内,复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 OA,OB , 则复数

z1 的值是( ) z2 A. ? 1? 2i B. ? 2 ? 2i

C. 1? 2i

D. 1? 2i

3.设 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,则 下列命题中正确的是( ) B.若 ? / / ? , m ? ? , m / /? , 则m / / ? D. 若m // ? , n // ? , ? ? ? , 则m ? n

A. 若? ? ? , ? ? ? , 则? ? ? C.若 ? ? ? , m ? ? , 则m / / ? 4.下列命题正确的有( ) ① (1 ?

x )8 的展开式中所有项的系数和为 0;
1 ? p; 2

2 ② 命题 p :“ ?x 0 ? R , x 0 ? x 0 ? 1 ? 0 ”的否定 ?p :“ ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ”;

③ 设随机变量 X 服从正态分布 N(0, 1),若 P ( X ? 1 ) ? p , P ( ?1 ? X ? 0 ) ? 则 ④ 回归直线一定过样本点的中心( x, y ) 。 A.1 个 B. 2 个 C. 3 个
2 2 2

D. 4 个 )

5. 已知抛物线 y ? 2 px (p>0) 的准线与圆 x ? y ? 4 y ? 5 ? 0 相切, p 的值为( 则

A.10

B.6

C.

1 8

D.

1 24

6.对于函数 y=f(x) ,x∈R, “y=|f(x)|的图像关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的

(

) A.充分而不必要条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7 . 已 知 等 差 数 列 ?a n ? 的 公 差 和 等 比 数 列 ?bn ? 的 公 比 都 是

d (d ? 1) ,且 a1 ? b1 , a4 ? b4 , a10 ? b10 ,则 a 1 和 d 的值
分别为( ) B.
3

A. ? 3 2 , 3 2 C. ? 3 2 ,? 3 2

2, 3 2

D. 3 2 ,? 3 2

8. 在可行域内任取一点, 规则如流程图所示, 则能输出数对(x, y) 的概率为( ) A.

1 4

B.

? 2
2

C.

? 4

D.

? 8

9.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 3x 的导函数 f ?(x) 的图象与 x 轴所围 成的封闭图形的面积为( )

3 A. ? 1n2 4

B.

3 ? 1n2 2

C.

1 ? 1n2 4

D.

1 ? 1n2 2

10.关于函数 f ( x ) ? 2(sin x ? cos x ) cos x 的四个结论: P1:最大值为 2 ; P2:最小正周期为 ? ;

P3:单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?

3 ? , k? ? ? ? , k ? Z; 8 8 ?

P4:图象的对称中心为 ( ? ?

k 2

?
8

,?1), k ?Z .其中正确的有(

)

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 11.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正 三角形,则这个几何体的外接球的表面积为 ( ) A. 2 3?

B.

8? 3
x2 a2 ?

C.
y2 b2

16? 3

D. 4 3

12.已知点 P 是双曲线 C:

? 1 (a ? 0, b ? 0) 左支上一点,F1,

y
P
F1

F2 是双曲线的左、右两个焦点,且 PF1⊥PF2,PF2 与两条渐近线相
交于 M,N 两点(如图) ,点 N 恰好平分线段 PF2,则双曲线的离 心率是( )

M N
O
F2

x

(第 12 题)

A. 5

B.2

C. 3

D. 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上。 ? ? ? ? 3 1 13.若向量 a ? ( , sin ? ), b ? (cos? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 的大小是 2 3
14. 从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高 (单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图) . 若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选 取 18 人参加一项活动,则从身高在[140 ,150]内的 学生中选取的人数应为

15.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列 { 为______________

1 } 的前 100 项和 an an ?1

16 . 对 于 三 次 函 数 f ( x ) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 给 出 定 义 : 设 f ?( x ) 是 函 数
3 2

y ? f ( x ) 的导数, f ??( x ) 是函数 f ?( x ) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x 0 ,则
称点 ( x 0 , f ( x 0 )) 为函数 y ? f ( x ) 的“拐点” ,某同学经过探究发现:任何一个三次函 数都有“拐点” ;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。给定函数

f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? , 请 你 根 据 上 面 探 究 结 果 , 计 算 3 2 12 )? f( 2 2013 )? f( 3 2013 ) ? ... ? f ( 2012 2013 ) ?

f(

1 2013

第Ⅱ卷 非选择题
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 12 分) 在公比为 2 的等比数列 ? an ? 中, a2 与 a4 的等差中项是 5 3 . (Ⅰ)求 a1 的值;

(Ⅱ)若函数 y ? a1 sin ?

?? ? x ? ? ? , ? ? ? ,的一部分图像如图所示, M ? ?1, a1 ? , ?4 ?

N ? 3, ? a1 ? 为图像上的两点,设 ?MPN ? ? ,其中 P 与坐标原点 O 重合, 0 ? ? ? ? ,求

tan ?? ? ? ? 的值.
18. (本小题满分 12 分) 生产 A, 两种元件, B 其质量按测试指标划分为: 指标大于或等于 82 为正品, 小于 82 为 次品.现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指

[70, 76)
标 元件 A 元件 B

[76,82)

[82,88)

[88,94)

[94,100]

8

12
18

40

32

8

7

40

29

6

(Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B, 若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(Ⅰ)的前提下, (ⅰ)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列 和数学期望; (ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, ACB=90°, ∠ 平面 PAD⊥平面 ABCD,

PA=BC=1,PD=AB= 2 ,E、F 分别为线段 PD 和 BC 的中点.
(Ⅰ) 求证:CE∥平面 PAF; (Ⅱ)在线段 BC 上是否存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60°?若存在,试确定 G 的位置;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 12 分) 平面内与两定点 A1 ( ?2,0), A2 ( 2,0) 连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹,加 上 A1 , A2 两点,所成的曲线 C 可以是圆,椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (??,?1) ,对应的曲线为 C2 ,若 曲线 C1 的斜率为 1 的切线与曲线 C2 相交于 A, B 两点,且 OA ? OB ? 2 ( O 为坐标原点) ,求 曲线 C2 的方程.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时, 求函数 g (x) 的单调增区间; (Ⅱ)求函数 g (x) 在区间 ?1, e ? 上的最小值; (Ⅲ) 在(Ⅰ)的条件下,设 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? x ? 2 ln x ,
2

证明:

? k ? f (k ) ?
k ?2

n

1

3n 2 ? n ? 2 (n ? 2) .参考数据: ln 2 ? 0.6931 . n(n ? 1)

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答 时必须用 2B 铅笔将选作题目对应题号后面的方框图涂满、涂黑,请勿多涂、漏涂。 22、选修 4—1:几何证明选讲 如图 AB 为圆 O 直径,P 为圆 O 外一点,过 P 点作 PC⊥AB, 垂是为 C,PC 交圆 O 于 D 点,PA 交圆 O 于 E 点,BE 交 PC 于 F 点。 (I)求证:∠PFE=∠PAB; (II)求证:CD =CF·CP.
2

E

23、选修 4—4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直角坐标为(1,-

5) ,点 M 的极坐标为(4, 径。

? ? ) ,若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心,4 为半 2 3

(I)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (II)试判定直线 l 与圆 C 的位置关系。

24、选修 4—5,不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? ? x ? 3 ? a (I) 解关于 x 的不等式 g ( x) ? 6 ; (II)若函数 y ? 2 f ( x) 的图象恒在函数 y ? g ( x) 的上方,求实数 a 的取值范围。

(a ? R)

高三年级数学科试题(理科)参考答案
一、选择题 1.B;2.A;3.B ;4.D;5.D;6.B;7.D;8.C;9.A;10.C;11.C;12.A 二、填空题 13. 45 ;
0

14.3;

15.

100 ; 101

16.2012.

18.解: (Ⅰ)解:元件 A 为正品的概率约为

40 ? 32 ? 8 4 ? . 100 5 40 ? 29 ? 6 3 元件 B 为正品的概率约为 ? . 100 4

????1 分 ??????2 分 ??????3 分

(Ⅱ)解: (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90, 45,30, ?15 .

4 3 3 P( X ? 9 0 ) ? ? ; ? 5 4 5 4 1 1 P( X ? 30) ? ? ? ; 5 4 5
所以,随机变量 X 的分布列为:

1 3 3 ; P( X ? 45) ? ? ? 5 4 20 1 1 1 . P( X ? ?15) ? ? ? 5 4 20

??????7 分

X
P

90
3 5

45
3 20

30
1 5

?15
1 20

3 3 1 1 EX ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? ? (?15) ? ? 66 . 5 20 5 20
(ⅱ)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5 ? n 件. 依题意,得 50n ? 10(5 ? n) ? 140 , 所以 n ? 4 ,或 n ? 5 .?10 分 设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A ,
4 则 P( A) ? C5 ( ) 4 ?

???8 分

解得 n ?

19 . 6

3 4

1 3 5 81 . ?( ) ? 4 4 128

??????12 分

19.证明: (1)取 PA 中点为 H,连结 CE、HE、FH, 因为 H、E 分别为 PA、PD 的中点,所以 HE∥AD, HE ? 因为 ABCD 是平行四边形, F 为线段 BC 的中点 且 所以 HE∥FC, HE ? FC 四边形 FCEH 是平行四边形 又因为 CE ? 平面PAF , HF ? 平面PAF 所以 CE∥平面 PAF ?????4 分 (2)因为四边形 ABCD 为平行四边形且∠ACB=90° , 所以 CA⊥AD 又由平面 PAD⊥平面 ABCD 可得 CA⊥平面 PAD 所以 CA⊥PA 由 PA=AD=1,PD=

1 AD , 2 1 AD 2

所以 FC∥AD, FC ? 所以 EC∥HF

2 可知,PA⊥AD????5 分

所以可建立如图所示的平面直角坐标系 A-xyz 因为 PA=BC=1,AB= 2 所以 AC=1 所以 B(1,?1,0), C (1,0,0), P(0,0,1)

假设 BC 上存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60° , 设点 G 的坐标为(1,a,0) ? 1 ? a ? 0 , 设平面 PAG 的法向量为 m ? ( x, y, z ) 则? 所以 AG ? (1, a,0), AP ? (0,0,1)

? x ? ay ? 0 令 x ? a, y ? ?1, z ? 0 ?z ? 0

所以 m ? (a,?1,0)

又 CG ? (0, b,0), CP ? (?1,0,1) 设平面 PCG 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 则?

?by ? 0 令 x ? 1, y ? 0, z ? 1 所以 n ? (1,0,1) ?? x ? z ? 0

?????9 分

因为平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60° ,所以

cos? m, n? ?

a a ?1 ? 2
2

?

1 2

所以 a ? ?1 又 ? 1 ? a ? 0 所以 a ? ?1

?11 分

所以线段 BC 上存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60° 点 G 即为 B 点??12 分 20.解: (I)设动点为 M,其坐标为 ( x, y ) , 当 x ? ?2 时,由条件可得 k MA1 ? k MA2 ? 即 mx ? y ? 4m( x ? ?2) ,
2 2

y y y2 ? ? 2 ? m, x?2 x?2 x ?4
2

又 A1 ( ?2,0), A2 ( 2,0) 的坐标满足 mx ? y ? 4m ,
2

故依题意,曲线 C 的方程为 mx ? y ? 4m .--------------3 分
2 2

x2 y2 ? ? 1 , C 是焦点在 y 轴上的椭圆 当 m ? ?1时, 曲线 C 的方程为 4 (?4m) 2 2 当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 x ? y ? 4 , C 是圆心在原点,半径为 2 的圆;
当 ?1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 , C 是焦点在 x 轴上的椭圆; 4 (?4m)

x2 y2 当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为 ? ? 1 , C 是焦点在 x 轴上的双曲线.--------6 分 4 4m x2 y2 2 2 ? ? 1(?? ? m ? ?1) , (Ⅱ)曲线 C1 ; x ? y ? 4 , C2 : 4 (?4m) 设圆 C1 的斜率为 1 的切线 AB 和椭圆 C2 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,
令直线 AB 的方程为 y ? x ? b ,① 将其代入椭圆 C2 的方程并整理得

(1 ? m) x 2 ? 2bx ? b 2 ? 4m ? 0.
由韦达定理得

2b b 2 ? 4m , x1 x2 ? . 1? m 1? m 因为 OA ? OB ? 2 , 所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 2. x1 ? x2 ? ?
将①代入③并整理得 联立②得 b ?
2




2

2 x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b ? 2


2 ? 10m 1? m
|b| 2
2

因为直线 AB 和圆 C1 相切,因此 2 ?

,b ? 8 ,
2
2

y2 x2 ? ? 1 .-------12 分 12 4 2 x 2 ? 3x ? 1 2 ?0 21.解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, g ( x) ? x ? 3x ? ln x , g ?( x) ? x 1 1 x ? 1或 x ? 。函数 f (x) 的单调增区间为 (0, ), (1,??) ……………… 3 分 2 2
由④得 m ? ?3, 所以曲线 C2 的方程 3x ? y ? 12 ,即

(Ⅱ) g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x ,
2

a 2 x 2 ? (2a ? 1) x ? a (2 x ? 1)( x ? a) ? ? ?0 x x x 当 a ? 1, x ? ?1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ( x) min ? ?2a 当 1 ? a ? e , x ? (1, a), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减. x ? (a, e), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ?( x) ? 2 x ? (2a ? 1) ?
g ( x) min ? g (a) ? ?a 2 ? a ? a ln a 2 当 a ? e , x ? ?1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减, g ( x) min ? g (e) ? e ? (2a ? 1)e ? a
? 2a, a ? 1 ? ? 2 g ( x) ? ?? a ? a ? a ln a,1 ? a ? e ………………………………………… 8 分 ? e 2 ? (2a ? 1)e ? a, a ? e ?

1 2 ( x ? 1) , 4 2 ? x2 3 ? 0 ? h( x) ? h(2) ? ln 2 ? ? 0 即 ? x ? ?2,??? , h?( x) ? 2x 4 1 4 1 1 1 ? ? ? 2( ? ) ln x ? ( x 2 ? 1) ln x ( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ?1 4 n n 1 1 1 1 1 ?? ? ? ?? ? k ? f (k ) ? ln k , ? ln 2 ln 3 ln n k ? 2 k ? f (k ) k ? 2 ln k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2(1 ? ? ? )? 3 2 4 n ? 2 n n ?1 n ?1 2 n n ?1 3n 2 ? n ? 2 (n ? 2) ……………………………………… 12 分 n(n ? 1)
(Ⅲ)令 h( x) ? ln x ? 22、证明: (1)AB 为直径,C 在圆 O 上,BC⊥AC PC⊥AB ∠PAC=90°-∠P,∠PFC=90°-∠P ∴∠PAB=∠PFE (2)连结 AD、BD 则 AD⊥BD Rt△ABD 中 CD2=AC·CB 直角三角形 BCF∽直角三角形 PCA

BC CF ? PC AC

PC ? CF ? AC ? BC
∴CD2=PC·CF

1 ? ? ? x ? 1 ? cos ? t ?x ? 1? 2 t ? ? ? 3 ?? 23、解: (1)直线 l 的参数方程 ? (上为参数) ? 3 ? y ? ?5 ? sin ? t ? y ? ?5 ? t ? ? 3 ? ? 2
M 点的直角坐标为(0,4) 图 C 半径 图 C 方程

x 2 ? ( y ? 4)2 ? 16

得?

得圆 C 极坐标方程

p ? 8 s i ? ????????????5 分 n
?4 ? 5 ? 3 2 9? 3 ?4 2

? x ? p cos ? 代入 ? y ? p cos ?

(2)直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 圆心 M 到 l 的距离为 d ? ∴直线 l 与圆 C 相离。

?

???????????????10 分

24、解(1) ? x ? 3 ? a ? 6

x?3 ? a?6

当 a ? 6 时无解 当a ? 6 ?(a ? 6 ) ?x ? 3 ? ?6 a ∴不等式解集为( 3 ? a, a ? 9 ) (2) y ? 2 f ( x) 图象恒在 g ( x) 图象上方,故

3? a ? x ? a ?9

( a ? 6 )????????5 分

2 f ( x) ? g ( x) ? 0 ? a ? 2 x ? 1 ? x ? 3

??3x ? 1 x?? 3 ? 设 h( x ) ? 2 x ? 1 ? x ? 3 h( x )? ? 5 x ? ? 3 x? 1 ? ?3x ? 1 x? 1 ? 做出 h( x ) 图象得出当 x ? 1 时 h( x) 取得最小值 4,故 a ? 4 时 y ? 2 f ( x) 图象在 g ( x) 图象上方。 ??????????????10 分


相关文档

海南省琼海市嘉积中学2013届高三第二学期高中教学质量监测(一)(理科数学)(Red独家奉献)
海南省琼海市嘉积中学2013届高三第二学期高中教学质量监测(一)(文科数学)
海南省琼海市嘉积中学2011-2012学年度第一学期高三教学质量监测(三) 数学(理科)(1)
海南省嘉积中学2013届高三上学期高中教学质量监测
海南省琼海市嘉积中学2014届高三上学期教学质量监测(段考) 数学(文) Word版含答案
海南省琼海市嘉积中学2013届高三下学期第一次月考数学(理)试题
2013届海南省琼海市嘉积中学高二下学期教学质量监测(二)文科数学试
海南省琼海市嘉积中学2011-2012学年高三第一学期高中教学质量监测(一)数学(文科)试卷
海南省琼海市嘉积中学2012届高三第一学期教学质量监测(一)数学(理)试题
海南省琼海市嘉积中学2012届高三第一学期教学质量监测(三) 数学(理)
电脑版