江苏省苏州市五中2009届高考数学复习中档题训练二

苏州市第五中学 2009 届高考数学复习
中档题训练二
1.在 ?ABC 中, cos A ?
5 10 , cos B ? . 5 10

(1)求角 C ; (2)设 AB ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

N 分别是 2 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ABC ? 90 , AB ? BC ? AA1 ? 2 , M ,

A1 C1 , BC1 的中点.

(1)求证: BC1 ? 平面 A1 B1C ;

(2)求证: MN ∥ 平面 A1 ABB1 ; (3)求多面体 M ? BC1 B1 的体积.

3. 已知数列 ?an ? , 其前 n 项和 S n 满足 S n ?1 ? 2? S n ? 1( ? 是大于 0 的常数) , 且 a1 ? 1 ,a3 ? 4 . (1)求 ? 的值;(2)求数列 ?an ? 的通项公式 an ;(3)设数列 ?nan ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

4.已知函数 f ( x ) ? x ln x .(1)求 f ( x ) 的最小值; (2)若对所有 x ? 1 都有 f ( x ) ? ax ? 1 , 求实数 a 的取值范围.

中档题训练二参考答案
5 10 3 2 ? ,cos B ? , 得 A, 所以 sin A ? ,sin B ? , B ?( 0, ) , 5 10 2 10 5 2 因为 cos C ? cos[? ? ( A ? B )] ? ? cos( A ? B ) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? , 2 o s A? 1. 解答: (Ⅰ ) 由c

且0 ? C ?? ,

. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4 AB AC AB ? sin B 6 (Ⅱ )根据正弦定理得 , ? ? AC ? ? sin C sin B sin C 10 1 6 所以 ?ABC 的面积为 AB ? AC ? sin A ? . 2 5 2.解答: (Ⅰ )∵ 直三棱柱 ABC—A1B1C1,∴ B1B⊥ 面 A1B1C1. ∴ B1B⊥ A1B1. 又∵ A1B1⊥ B1C1,∴ A1B1⊥ 面 BCC1B1.

故C ?

?

∴ A1B1⊥ BC1, 连结 B1C,∵ 矩形 BCC1B1 中,BB1=CB=2, ∴ BC1⊥ B1C,∴ B1C⊥ 平面 A1B1C. (Ⅱ )连结 A1B,由 M、N 分别为 A1C1、BC1 的中点可得, MN∥ A1B 又∵ A1B1 ? 平面 A1ABB1,MN ? 平面 A1ABB1, ∴ MN∥ 平面 A1ABB1. (Ⅲ )取 C1B1 中点 H,连结 MH、MB1、MB,又∵ M 是 A1C1 中点,∴ MH∥ A1B1,又∵ A1B1⊥ 平面 BBC1B1,∴ MH⊥ 平面 BCC1B1,∴ 三棱锥 M—BC1B1 以 MH 为高,△ BC1B1 为底面,三棱锥 M—BC1B1 的体积 V ?

1 1 1 2 ? S ?BC1B1 ? MH ? ? ? 4 ? 1 ? . 3 3 2 3

3.解答: (Ⅰ )由 S n?1 ? 2?S n ? 1 得

S 2 ? 2?S1 ? 1 ? 2?a1 ? 1 ? 2? ? 1, S3 ? 2?S 2 ? 1 ? 4?2 ? 2? ? 1 , ? a3 ? S3 ? S 2 ? 4?2 ,? a3 ? 4, ? ? 0,?? ? 1.
(Ⅱ )由 S n?1 ? 2S n ? 1整理得S n?1 ? 1 ? 2(S n ? 1) , ∴ 数列{ S n ? 1 }是以 S1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列,

?Sn ?1 ? 2 ? 2n?1,? Sn ? 2n ?1,

?an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 (n ? 2),

? 当 n=1 时 a1=1 满足 an ? 2n?1 ,? an ? 2n?1.
(Ⅲ ) Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2
0 1 2 n ?2

? n ? 2n?1 , ①

2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? (n ? 2) ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,②

① -② 得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?2 ? 2n?1 ? n ? 2n , 则 Tn ? n ? 2 n ? 2 n ? 1 .
+?), f ?( x) ? 1 ? ln x . 4.解答: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为(0 ,

1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e 1 1 从而 f ( x ) 在 (0 , ) 单调递减,在 ( , ? ?) 单调递增. e e
所以,当 x =

1 1 时, f ( x ) 取得最小值 ? . e e

(Ⅱ)方法一:令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ?1) ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? 1 ? a ? ln x , ① 若 a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 ,

,+?) 上 为 增 函 数 , 所 以 , x ? 1 时 , g ( x)? g (1) ? 1 ? a? , 0 即 故 g ( x) 在 (1
f ( x)? a x ? 1 .

) ? 0 , ② 若 a ? 1, 方程 g ?( x) ? 0 的根为 x0 ? ea ?1 , 此时, 若 x ? (1 则 g ?( x 故 g ( x) ,x0 ) ,
在该区间为减函数.所以, x ? (1 ,x0 ) 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 f ( x) ? ax ?1 ,与题 设 f ( x) ? ax ? 1 相矛盾.

1] . 综上,满足条件的 a 的取值范围是 (??, ? ?) 上恒成立, 方法二: 依题意, 得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1, 即不等式 a ? ln x ?
恒成立.令 g ( x) ? ln x ?

1 , ? ?) 对于 x ?[1 x

1 , x

则 g ?( x) ?

1 1 1? 1? ? ? ?1 ? ? . x x2 x ? x ?

当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ?

1? 1? ? ?) 上的增函数,所以 g ( x) 的最小 ?1 ? ? ? 0 ,故 g ( x) 是 (1, x? x?

1] . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 值是 g (1) ? 1 ,从而 a 的取值范围是 (??,


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