【三维设计】人教版高中数学必修2练习:第三章 直线与方程(含答案解析)

3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 直线的倾斜角 [导入新知] 1.倾斜角的定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正方向与直线 l 向上方 向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.如右图所示,直线 l 的倾斜角是∠APx,直线 l′的倾 斜角是∠BPx. 2.倾斜角的范围:直线的倾斜角 α 的取值范围是 2.0° ≤α<180° ,并规定与 x 轴平行或 重合的直线的倾斜角为 0° . 3.倾斜角与直线形状的关系。 倾斜角 直线 [化解疑难] 对直线的倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有 3 个条件: ①x 轴正向;②直线向上的方向;③小于 180° 的非负角. (2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由 x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时 所成的角. (3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对 x 轴的倾斜程度. (4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线, α=0° 0° <α<90° α=90° 90° <α<180° 其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等. 直线的斜率 [导入新知] 1.斜率的定义:一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母 k 表示,即 k=tan_α. 2.斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= 当 x1=x2 时,直线 P1P2 没有斜率. 3.斜率作用:用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度. [化解疑难] 1.倾斜角 α 与斜率 k 的关系 (1)直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是 90° 时,直线的斜率不 存在,此时,直线垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合). (2)直线的斜率也反映了直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度.当 0° ≤α<90° 时,斜率 越大,直线的倾斜程度越大;当 90° <α<180° 时,斜率越大,直线的倾斜程度也越大. 2.斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时 调换,就是说, 如果分子是 y2-y1,分母必须是 x2-x1;反过来,如果分子是 y1-y2,分母 y1-y2 y2-y1 必须是 x1-x2,即 k= = . x1-x2 x2-x1 (2)用斜率公式时要一看,二用,三求值.一看,就是看所给两点的横坐标是否相等, 若相等,则直线的斜率不存在;若不相等,则进行第二步.二用,就是将点的坐标代入斜率 公式.三求值,就是计算斜率的值,尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要对参 数进行讨论. y2-y1 . x2-x1 直线的倾斜角 [例 1] (1)若直线 l 的向上方向与 y 轴的正方向成 30° 角,则直线 l 的倾斜角为( A.30° C.30° 或 150° (2)下列说法中,正确的是( ) B.60° D.60° 或 120° ) A.直线的倾斜角为 α,则此直线的斜率为 tan α B.直线的斜率为 tan α,则此直线的倾斜角为 α C.若直线的倾斜角为 α,则 sin α>0 D.任意直线都有倾斜角 α,且 α≠90° 时,斜率为 tan α [答案] (1)D [类题通法] 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)两点注意:①当直线与 x 轴平行或重合时,倾斜角为 0° ;当直线与 x 轴垂直时,倾 斜角为 90° . ②注意直线倾斜角的取值范围是 0° ≤α<180° . [活学活用] 1.直线 l 经过第二、四象限,则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是( A.0° ≤α<90° C.90° <α<180° 答案:C 2.设直线 l 过原点,其倾斜角为 α,将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45° ,得到 直线 l1,则直线 l1 的倾斜角为( A.α+45° B.α-135° C.135° -α D.当 0° ≤α<135° 时为 α+45° ,当 135° ≤α<180° 时为 α-135° 答案:D ) B.90° ≤α<180° D.0° ≤α<180° ) (2)D 直线的斜率 [例 2] (1)已知过两点 A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为 135° ,则 y=________; (2)过点 P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为 1,则 m 的值为________; (3)已知过 A(3,1),B(m,-2)的直线的斜率为 1,则 m 的值为________. [答案] (1)-5 [类题通法] 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”, 即直线不与 x 轴垂直, 因为当直线与 x 轴垂直时, 斜率是不存在的. (2)1 (3)0 (2)斜率公式与两点 P1,P2 的先后顺序无关,也就是说公式中的 x1 与 x2,y1 与 y2 可以同 时交换位置. [活学活用] 若直线过点 (1,2),(4,2+ 3),则此直线的倾斜角是( A.30° C.60° 答案:A B.45° D.90° ) 直线的斜率的应用 y [例 3] 已知实数 x,y 满足 y=-2x+8,且 2≤x≤3,求 的最大值和最小值. x [解] 如图所示,由于点(x,y)满足关系式 2x+y=8,且 2≤x≤3,可知点 P(x,y)在线 段 AB 上移动,并且 A,B 两点的坐标可分别求得为 A(2,4),B(3,2). y 2 y 由于 的几何意义是直线 OP 的斜率,且 kOA=2,kOB= ,所以可求得 的最大值为 2, x 3 x 2 最小值为 . 3 [类题通法] y2-y1 根据题目中代数式的特征,看是否可以写成 的形式,若能,则联想其几何意义(即 x2-x1 直线的斜率),再利用图形的直观性来分析解决问题. [活学

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