2015-7-16 7.4基本不等式及其应用(3)_图文


6.4基本不等式及其应用

2.若正实数x, y满足2 x ? y ? 6 ? xy,

(1)求xy的最小值; (2)求2 x ? y的取值范围 .(3)求x ? y的取值范围 .

2.若正实数x, y满足2 x ? y ? 6 ? xy,

(1)求xy的最小值; (2)求2 x ? y的取值范围 .(3)求x ? y的取值范围 .

1 证明不等式
例2:已知a,b,c为不全相等的实数 求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca

b a 已知a, b ? R , 求证: ? ? a? b a b
?

2 基本不等式与函数的综合应用
例2.若两个正实数x,y满足 ,并且x+2y>m2+2m

恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2)
已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时, f(x)恒为正值,则k的取值范围是( )

(2014· 福建)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长 方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元, 侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 ________.(单位:元)

3 利用均值不等式解应用题

【例 3】 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 m2 的三级污水处理池(平面图如图所示). 如果池四周围墙建造单 价为 400 元/m,中间两道隔墙建造单价为 248 元/m,池底建 造单价为 80 元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出 最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 m,试 设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

[解]

200 设污水处理池的长为 x m,则宽为 x m,再设总

造价为 y 元,则有 200 200 (1)y = 2x×400 + x ×2×400 + 248×2× x + 80×200 259200 =800x+ x +16000≥2 259200 800x· x +16000

=2×800×18+16000=44800,

259200 当且仅当 800x= x , 即 x=18 m 时,y 取得最小值. 100 ∴当污水池的长为 18 m,宽为 m 时总造价最低,为 9 44800 元.

200 (2)∵0<x≤16,0< x ≤16, ∴12.5≤x≤16,x≠18, y=φ(x)在[12.5,16]上为减函数. 从而有 φ(x)≥φ(16)=45000, ∴当污水池的长度为 16 m,宽为 12.5 m 时有最低总造 价,最低总造价为 45000 元.


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