江西省南昌市第二中学2013-2014学年高二上学期期中考试(数学文)

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江西省南昌市第二中学 2013-2014 学年高二上学期期中考试数学(文)试卷

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若直线 l1 : y ? 2 x ? 3 ,直线 l 2 与 l1 关于直线 y ? ?x 对称,则直线 l 2 的斜率为 A.

1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ? 2

2.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标为 16 25
B. (0, ?4) C. (?4,0) D. (0, ?3)

A. (?3,0)

3.直线方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则直线的倾斜角为 A.

? 6

B.

5? 6

C.

? 3

D.

2? 3

4.过两直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与 x ? y ? 5 ? 0 的交点,且垂直于直线 x ? 2 y ? 0 的直线方程是 A. 2 x ? y ? 8 ? 0 B. 2 x ? y ? 8 ? 0 C. 2 x ? y ? 8 ? 0 D. 2 x ? y ? 8 ? 0

2 2 5. 设 P 是圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 上的动点, Q 是直线 x ? ?3 上的动点,则 PQ 的最

小值为 A.6 B. 4 C.3 D.2

6. 已知过点 P(2,2) 的直线与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 相切, 且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 则 a ? A. ?
1 2

B.1

C.2

D.

1 2

7.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 9 16

A. y ? ?

9 x 16
2

B. y ? ?

16 x 9

C. y ? ?

4 x 3

D. y ? ?

3 x 4

8.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 2,则这样的 直线 A. 有且仅有一条
2 2

B. 有且仅有两条

C. 有无穷多条

D. 不存在

9.椭圆 ax ? by ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 的值为
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3 a ,则 2 b

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A.

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C.

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3 2

B.

2 3 3

9 3 2

D.

2 3 . 27

10.

x2 y2 若椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,线段 F1 F2 被抛 a b

物线

y 2 ? 2bx 的焦点 F 分成 5﹕3 的两段,则此椭圆的离心率为
2 5 5
B.

A.

4 5

C.

16 17

D.

4 17 17

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 5 ,直线: x cos? ? y sin ? ? 1 ( 0 ? ? ? 离等于 1 的点的个数为 k ,则 k ? ________. 12. 椭圆
π ).设圆 O 上到直线的距 2

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 ?F PF2 的 1 9 2

小大为__________. 13. 设抛物线 y2 = 4x 的一条弦 AB 以点这 P(1,1)为中点,则该弦所在直线的斜率 的值为__________.

14.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? 2 ,则实数 m= 9 m
uu r uur

15.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D , 且 BF ? 2FD , 则 C 的离心率为 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本题 12 分)求双曲线 16 x ? 9 y ? ?144 的实轴、 焦点坐标、 离心率和渐近线方程。
2 2

17. (本题 12 分)过原点 O 的椭圆有一个焦点 F (0, 4) ,且长轴长 2a ? 10 ,求此椭圆的中心的轨迹方程。

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18. (本题 12 分)已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,问是否存在斜率为 1 的直线,使被圆 C 截得的
2 2

弦 AB,以 AB 为直径的圆过原点,若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由。

19. (本题 12 分)设椭圆中心在坐标原点, A(2,,B(0, 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 0) 1) 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. y B F D O E A x

??? ?

????

20. (本题 13 分)已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的角平分 线, 证明直线过定点.

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21(本小题满分 14 分) .已知双曲线 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程;

x2 y 2 2 3 ,且过点 P ( 6,1) 。 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (O 为坐标原点) , 求实数 k 的取值范围。

??? ??? ? ?

南昌二中 2013-2014 学年度上学期中考试 高二数学(文)试卷 参考答案 一.选择题:BDBAB CCAAA 二.填空题 12.1200; 13.2;

11.4;

14.27;

15.

3 3

三.解答题

16.双曲线方程可化为

y 2 x2 ? ?1 16 9

所以:实轴长为 8;焦点坐标为 (0,5) 和 (0, ?5) ,离心率 e ?

5 , 4
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渐近线方程为 y ? ?

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4 x 3

17 解:设椭圆的中心 O1 ( x0 , y0 ) ,另一焦点 F1 (2 x0 , 2 y0 ? 8) ∵ | OF | ? | OF1 |? 2a ? 10 ,∴ | OF1 |? 2a ? | OF |? 10 ? 4 ? 6 ∴ (2 x0 ) ? (2 y0 ? 8) ? 36 ,所求椭圆中心的轨迹方程为 x ? ( y ? 4) ? 9
2 2

2

2

18.假设存在直线: y ? x ? m ,使被圆 C 截得的弦 AB,以 AB 为直径的圆过原点。

? x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 令 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,联立 ? ?y ? x ? m
得 2 x ? 2(m ? 1) x ? m ? 4m ? 4 ? 0 , ? ? 4(m ? 1) ? 8(m ? 4m ? 4) ? 0
2 2 2 2

得 m ? 6m ? 9 ? 0
2

(*)

x1 ? x2 ? ?(m ? 1), x1 x2 ?

m 2 ? 4m ? 4 2
??? ??? ? ?
2

∵以 AB 为直径的圆过原点,∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 得 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? 0 ? m ? 3m ? 4 ? 0 得 m ? ?4 或 1 满足(*)
2

所以存在直线被圆 C 截得的弦 AB,以 AB 为直径的圆过原点, 直线的方程为: y ? x ? 4 或 y ? x ? 1

19(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . 如图,设 D( x0,kx0 ),E ( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k ) x ? 4 ,故 x2 ? ? x1 ?
2 2

2 1 ? 4k 2

.①

由 ED ? 6 DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ?

??? ?

????

1 5 10 (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? ; 7 7 7 1 ? 4k 2

由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ?
2

2 10 2 ? .所以 , 1 ? 2k 7 1 ? 4 k 2 1 ? 2k

2 3 或k ? . 3 8
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(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离分别为

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k )
2

, h2 ?

x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k )
2



又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 ? 4k 2 ? 4k 1 4(1 ? 2k ) 2(1 ? 2k ) 1 ?2 ≤2 2 , ? AB (h1 ? h2 ) ? ? 5 ? 1 ? 4k 2 2 2 5(1 ? 4k 2 ) 1 ? 4k 2

当 2k ? 1 ,即当 k ?

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为
2 2 S ? S△BEF ? S△ AEF ? x2 ? 2 y2 ? ( x2 ? 2 y2 ) 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 2 2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 ) ? 2 2 ,

当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 20.解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心 C

( x, y), MN线段的中点为E,由几何图像知ME ?

MN , CA2 ? CM 2 ? ME 2 ? EC 2 2

? x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 2 ? x 2 ? y 2 ? 8x (
(Ⅱ) 点 B(-1,0),

设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ),由题知y1 ? y 2 ? 0,y1 y 2 ? 0, y1 ? 8 x1 , y 2 ? 8 x2 .
2 2

y1 ? y2 y ?y ? ? 21 ? 2 2 , x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 8 y2 ? 8
可得 8( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ( y1 ? y2 ) ? 0 ? 8 ? y1 y2 ? 0 直线 PQ 方程为: y ? y1 ?

y 2 ? y1 1 2 ( x ? x1 ) ? y ? y1 ? (8 x ? y1 ) x 2 ? x1 y 2 ? y1
2

? y( y 2 ? y1 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 8 x ? y1 ? y( y 2 ? y1 ) ? 8 ? 8 x ? y ? 0, x ? 1
所以,直线 PQ 过定点(1,0)

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?c 2 3 ? ? ?a 2 ? 3 x2 ?a ? 3 ?? 2 21.解: (Ⅰ)由题设得 ? ,所求为: ? y 2 ? 1. 3 ? ? 6 ? 1 ? 1 ?b ? 1 2 2 ?a b ?
(Ⅱ)∵双曲线与直线 l : y ? kx ? 2 恒有两个不同的交点

? x2 2 ? ? y ?1 ∴方程组 ? 3 恒有两组不同的实数解, ? y ? kx ? 2 ?
∴方程 (1 ? 3k ) x ? 6 2kx ? 9 ? 0 有两个不同实根,
2 2

? 2 1 ?1 ? 3k 2 ? 0 ? ?k ? ∴? 可得 ? 3 2 2 2 ?? ? (?6 2k ) ? 4 ? 9(1 ? 3k ) ? 0 ?k ? 1 ? ?
可 得 k ? ( ?1 , ?

3 ?) 3

3 ( ? 3

3 3 , ? ) ( , ,设 两 交 点 坐 标 为 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则 1) 3 3

x1 ? x 2?

6 2k 9 , x x1 ?2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
2

∵ OA ? OB ? 2 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2

??? ??? ? ?

k2 ?3 3 3 ? 0 又 k 2 ? 1 ,∴ k ? (?1, ? ) ? ( ,1) 可得 2 3 3 1 ? 3k

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