福建省漳州市2016届高三数学毕业班模拟试题(一)文

2016 年漳州市高三毕业班模拟(一) 数学(文科)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)已知集合 A = {x | x(1- x) > 0} , B = {0,1, 2} ,则 A ? B ? (A) ? (2)复数 z ?(1 (A) 2 - 2 i (B) {0,1} (C) {1, 2} (D) {0,1, 2}

i) = 1 +

3 i ,则 z =
(C) 2 + 2i (D) 1 + i

(B) 1- i

(3)命题 p : 若 a = (1, - 2), b = (- 2, 4) ,则 a // b ;命题 q : 若 a = (1, - 3), b = (4, - 2) , l a + b 与 a 垂 直,则 l = 1 ,则下列命题中真命题是 (A) p ? q (B) p ? q

p) (C) (刭

(? q) (D) (刳 p) q
1 2x

(4)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 (A) y ? x ? sin 2 x (5)若 sin a = (B) y ? x ? cos x
2
x (C) y ? 2 ?

(D) y ? x ? sin x
2

3 p , a 是第三象限的角,则 cos(a + ) = 5 4
(B)

(A) -

7 2 10

7 2 10

(C) -

2 10

(D)

2 10

(6)设函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0, ? x ? 6, x ? 0,

则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是

(A) (?3,1) ? (3,??) (C) (?1,1) ? (3,??)

(B) (?3,1) ? (2,??) (D) (??,?3) ? (1,3)

(7)已知曲线 f ( x) = sin wx +

3 coswx (w > 0)的两条相邻的对称轴之间的距离为

p ,且曲线关于点 2

p ( x0 ,0) 成中心对称,若 x0 ? [0, ] ,则 x0 = 2 p p p (A) (B) (C) 12 6 3

(D)

5p 12

(8)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (A) 3p (B) 4 p (C) 5p (D) 6p
2 (9) 已知抛物线 y = 2 px( p > 0) 上一点 M (1, m)(m > 0) 到其

焦点

(第 (8) 题图)

1

x2 2 的距离为 5 ,双曲线 G : 2 - y = 1(a > 0) 的左顶点为 A ,若双曲线 G 的一条渐近线与直线 AM 平 a
行,则实数 a 的值为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

3 3

(D)

2 2

(10)函数 y = a x 与 y = x + a 的图象恰有两个公共点,则实数 a 的取值范围为 (A) (1, + ? ) (C) (- ? , 1] ? [1, + ? ) (B) (- 1,1) (D) (- ? , 1) ? (1, + ? )

(11)已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面 ABC , AB ? BC , SA = AB = 1 ,

BC =
(A)

2 ,则球 O 的体积等于
(B)

3p 2

4p 3

(C)

2p 3

(D)

p 6

O 为线段 AB 的中点, AB = 2, BC = 1 , (12) 如图, 已知矩形 ABCD 中, 动点 P 从 B 出发, 沿矩形 ABCD
的边逆时针运动,运动至 A 点时终止.设 ? BOP

x , OP = d ,将
D
d

d 表示为 x 的函数 d = f ( x) .则下列命题中:① f ( x) 有最小值 1 ;
② f ( x ) 有最大值 2 ;③ f ( x ) 有 3 个极值点;④ f ( x ) 有 4 个单调区 间,正确的是 (A)①② (B)②③ (C)①②④ (D)①②③④

C P

A

B O (第 12 题图)

x

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题, 题考生都必须作答。 第(22)题~第(24)题为选考题, 考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题 ,每小题 5 分. (13)执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为 .

开始 k=0,a=3,q= a=aq k=k+1 否
a? 1 ? 4 1 2

每个试

ì x ? 1, ? ? ? (14)已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 í y ? x, 则 ? ? ? ? ? x - 2 y + 3 ? 0,
( x - 2)2 + ( y - 1) 2 的最小值为


是 输出 k 结束 (第(13)题图)
2

(15)已知 D ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 B ?

? , 3

b = 4 ,则 D ABC 的面积的最大值为
(16)设 F 1 、 F2 分别是椭圆



x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为 (6, 4) ,则 25 16


PM ? PF 1 的最大值为

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)已知正项等比数列 {an } 中, 2a1 + a2 = a3 , 3a6 = 8a1a3 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn = log2 a1 + log2 a2 + 鬃 ? log2 an - n log2 3 ,求数列 {bn } 的通项公式. (18)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天 卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N) 的函数解析式. (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需 D 求量发生的概率,求当天的利润不少于 75 元的概率.

(19)在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, DA ^ 平面 ABP , E 是棱 AB 的中点, F 在棱 BC 上,且

C F A E B P

AP = BP =

2, AB = 2, AD = 3, BF = 2 .

(Ⅰ)求证: DF ^ 平面 EFP ; (Ⅱ)求三棱锥 E - DFP 的体积.

(20)在平面直角坐 标系 xOy 中,已知经过原点 O 的直线 l 与圆 C : x ? y ? 4x ?1 ? 0 交于 A, B 两点.
2 2

(Ⅰ)若直线 m : ax ? 2 y ? a ? 2 ? 0(a ? 0) 与圆 C 相切,切点为 B ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与 x 轴的正半轴的交点为 D ,求 ?ABD 面积的最大值.
3

(21)已知函数 f ( x) = ex- m - ln x . (Ⅰ)若 x = 1 是 f ( x ) 的极值点,求 m 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 m ? 2 ,求证: f ( x) > 0 .

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所 做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 是⊙O 上的两点,OC⊥AB,过点 F 作⊙O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点

D.连结 CF 交 AB 于点 E.
(Ⅰ)求证:DE =DB?DA; (Ⅱ)若 DB=2,DF=4,试求 CE 的长. A O E B D
2

C

F

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C1 的极坐 标方程为 r = 8 2 cos(q -

ì x = 8cos q, ? 3p ) ,曲线 C2 的参数方程为 ? . (q 为参数) í ? 4 y = 3sin q ? ?

(Ⅰ)将曲线 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线 C2 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)若 P 为 C2 上的动点,求点 P 到直线 l : ? í

ì ? x = 3 + 2t , (t 为参数)的距离的最小值. ? ? ? y = - 2+ t

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 f ( x) = x - 2 - x - a . (Ⅰ)当 a = - 5 时,解不等式 f ( x) < 1 ;

4

(Ⅱ)若 f ( x) ?

x-

1 的解集包含 [1, 2] ,求实数 a 的取值范围. 4

2016 年漳州市高三毕业班模拟(一 ) 数学(文科) 参考答案 一、选择题 (1)A (2)B (3)A 解析: (4)D (5)C (6)A (7)C (8)C (9)A (10)D (11)B (12)D

(1)∵A={x|0<x<1},B={0,1,2},∴A∩B= ? ,故选 A. (2)∵z(1+i)=2,z=
2 ? 1 ? i ,故选 B. 1? i

(3)p 真,q 假,故 p ? q 为真,故选 A. (4)易知 A 为奇函数,B、C 是偶函数,故选 D.
? 2 2 2 3 4 ? sin? ? ?? (5)由条件,有 sin? ? ? , cos? ? ? ,∴ cos(? ? ) ? cos? ? ,故选 C 4 2 2 10 5 5
? ?x ? 0 ?x ? 0 (6) f ( x) ? f (1) ? 3 ? ? 2 或? ? -3<x<1 或 x>3,故选 A. ? ?x ? 4 x ? 6 ? 3 ? x ? 6 ? 3

? 2? k? ? (7) f ( x) ? 2 sin( ?x ? ) ,由条件有 f ( x) 的周期 T ? ? ? , ? ? 2 , f ( x 0 ) ? 0 ,解得 x0 ? ? ,k∈Z, 6 ? 2 6
当 x=1 时, x 0 ?

?
3

,故选 C.

1 1 1 (8) S ? ? ?12 ? ? ?12 ? ? 4? ?12 ? 2? ?1?1 ? ? ?12 ? 5? ,故选 C. 2 2 4
5

(9) M(1,m)到抛物线 y =2px(p>0)的准线 x= ?
2

2

p p 的距离等于 M 到其焦点的距离 5, ∴ ? =-4 2 2

∴p=8,

抛物线方程为 y =16x,A(-a,0),不妨设 m>0,则 M(1,4),

AM//直线 y ?

1 x a

∴ k AM ?

4 1 1 ? ,解得 a ? ,故选 A. 1? a a 3

(10) 分 a<0, a=0, a>0 三种情况作出两个函数的图象, 观察图象可得 a 的取值范围为{a|a<-1 或 a>1}, 故选 D. ( 11 )注意到∠SAC=∠SBC= 90? ,∴ SC 为球 O 的直径,又可求得 SC=2 ,∴球 O 的半径 R=1 ,体积 4 4 V ? ?R 3 ? ? ,故选 B. 3 3 (12)B?C,d 递增;C?CD 的中点 E,d 递减;E?D,d 递增;D?A,d 递减.当 P 在 A,B,E 时,d=1, 当 P 在 C、D 时,d= 2 。由此可知①②③④都正确,故选 D. 二、填空题 (13) 4 (14)

1 2

(15) 4 3

(16) 15

解析: (13)依次执行程序,即可得 k=4. (14)点 A(2,1)到直线 x-y=0 的距离 d= (15)16=b =a +c -2accos ∴ S ?ABC ?
2 2 2

1 2 ,作图可知所求的最小值为 d 2 ? . 2 2

? 2 2 =a +c -ac≥2ac-ac=ac, 3

1 1 3 ac sin B ? ?16? ? 4 3 ,当且仅当 a=c=4 时, (S ?ABC ) max ? 4 3 2 2 2 (16)∵||PF1|+|PF2|=2a ∴|PF1|=2a -|PF2|,∴|PM|+PF1|=|PM|+2a-|PF2|≤2a+|MF2|=2×5+5=15,

连结 MF2 并延长交椭圆于 P 0 ,当 P 位于 P 0 时,|PM|+PF1|max=15 三、解答题 (17)解析:( Ⅰ)设正项等比数列 {an } 的公比为 q(q > 1) ,由 2a1 + a2 = a3 得 .…… 2 分 2a1 + a1q = a1q2 ,故 q2 - q - 2 = 0 ,解得 q = 2 ,或 q = - 1 (舍去)
2 2 由 3a6 = 8a1a3 得 3a1q5 = 8a1 q ,故 a1 = 3 . …………………………………… 4 分

于是数列 {an } 的通项公式为 an = 3? 2n- 1 .………………………………………… 6 分 (Ⅱ)由于 log2 an = log2 (3? 2
n- 1

)

log2 3 + n - 1 …………………………… 8 分

故 bn = (log2 3 + 0) + (log2 3 + 1) + (log2 3 + 2) 鬃 ? (log2 3 + n - 1) - n log2 3

= 1+ 2 + 鬃 ? (n - 1) =

n(n - 1) . ……………………………………………… 12 分 2

(18)解:(Ⅰ )当日需求量 n≥17 时,利润 y=85 当日需求量 n<17 时,利润 y=10n-85

6

所以 y 关于 n 的函数解析式 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17, (n∈N). …………………… 6 分 n ? 17 ?85,

(Ⅱ) (i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的日利润的平均数为

1 (55 ? 10 ? 65 ? 20 ? 75 ? 16 ? 85 ? 54) ? 76.4 ………………………………… 9 分 100
( ii )利润不低于 75 元当且仅当需求量不少于 16 枝.故当天的利润不少于 75 元的概率为 p=0.16+0.16+0.1 5+0.13+0.1=0.7 ……………………… 12 分 D (19)解析:(Ⅰ)证明:因为 AP = BP , E 为 AB 的中点,所以 PE ^ AB . 因为 DA ^ 平面 ABP , PE ? 平面 ABP ,所以 DA ^ PE , C 又因为 DA ? AB = A ,所以 PE ^ 平面 ABCD , 又 DF ? 平面 ABCD ,所以 PE ^ DF . …………… 2 分 在 RtD DCF 中, DF = 在 RtD DAE 中, DE = 在 RtD BEF 中, EF = F A E B P

DC + CF = 5 ; DA2 + AE2 = 10 ; BE2 + BF 2 = 5 .

2

2

2 2 2 所以 DE = DF + EF ,因此 DF ^ EF , ………………………………………… 4 分

又因为 PE ^ DF , EF ? PE = E ,所以 DF ^ 平面 EFP . ……………………… 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 PE ^ 平面 ABCD ,故 PE 为三棱锥 P - DEF 的高, ……………… 7 分 在 D ABP 中, AP = BP =

2, AB = 2, ,所以 AB2 = AP2 + BP2 ,得 AP ^ BP ,

1 AB = 1 . ………………………………………… 8 分 2 1 5 由(Ⅰ)得 DF ^ EF ,故 SD DEF = 创DF EF = , …………………………… 10 分 2 2 1 5 5 所以 VE- DFP = VP- DEF = 创 1 = .……………………………………………… 12 分 3 2 6
又 E 是 AB 的中点,所以 PE = (20)解析: (Ⅰ)由直线 m 与圆 C 相切得

3a ? 2 a2 ? 4

? 5
, ……………………… 1 分

2 化简得: a ? 3a ? 4 ? 0 ,解得 a ? 1或a ? ?4 ,由于 a ? 0 ,故 a ? 1 , ………… 3 分

由直线 m 与圆相切于点 B(1, 2) ,得 l : y ? 2 x , …………………………………… 5 分 (Ⅱ)设 A, B 两点的纵坐标分别为 y1 , y2 ,易知 D(2 ? 5,0) , S ?ABD ?

1 (2 ? 5)( y1 ? y2 ) ,易知 2

y1 ? y2 ? y1 ? y2 , …… 6 分
设 AB 方程为 x ? ty ,由 ?

? x ? ty
2 2 ?x ? y ? 4x ?1 ? 0

消元得 (t ? 1) y ? 4ty ?1 ? 0 , … 7 分
2 2

7

y1 ? y2 ?
2

5t 2 ? 1 ? 20t 2 ? 4 2 = ? (t 2 ? 1) 2 1? t2 1? t2 . …………………………………… 10 分

设 m = 5t + 1 , 则 y1 - y2 = 2

25m 25 5 ? ,当且仅当 m = 4 时取等号. = 2 16 2 m + 8m + 16 m+ 8+ m
2

故 ?ABD 面积最大值为

5 (2 ? 5) 4 . …………………………………………… 12 分

( x) (21)解析:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, + ? ) , f ?
由题意 x = 1 是 f ( x ) 的极值点,故 f ? (1)

e x- m -

1 , …………… 1 分 x

e1- m - 1 = 0 ,解得 m = 1 .………… 2 分

1 , x 1 x- 1 ( x) 0 , f ( x) 在 (0,1) 上单调递减; ……… 3 分 当 x ? (0,1) 时, e < 1, > 1, 故 f ? x 1 x- 1 ( x) 0 , f ( x) 在 (1, + ? ) 上单调递减…4 分 当 x ? (1, ? ) 时, e > 1, 0 < < 1 ,故 f ? x 1 ( x ) e x- 2 - . (Ⅱ)当 m = 2 时, f ( x) = ex- 2 - ln x , f ? x 1 1 x- 2 ( x) e x- 2 + 2 > 0 ,故 g ( x) 在 (0, + ? ) 上单调递增, …5 分 令 g ( x) = e ,则 g ? x x 1 - 1 又 g (1) = e - 1 < 0, g (2) = > 0 ,故 $ x0 ? (1, 2) ,使得 g ( x0 ) = 0 . …………… 6 分 2 ( x) 此时 f ? e x- 1 -

( x) 所以当 x ? (0, x0 ) 时, g ( x) < 0 ,即 f ? ( x) 当 x ? ( x0 , ? ) 时, g ( x) > 0 ,即 f ?
又 g ( x0 ) = e
x0 - 2

0 ,故 f ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减; 0 ,故 f ( x) 在 ( x0 , + ? ) 上单调递增.… 7 分

-

1 = 0 , ………… …………………………………………………… 8 分 x0
x0 - 2

所以 f ( x)min = f ( x0 ) = e

- ln x0 =

( x - 1)2 1 - (2 - x0 ) = 0 > 0 ,……… 9 分 x0 x0

所以 m = 2 时, f ( x) > 0 .………………………………………………………… 10 分 又当 m ? 2 时, f ( x) = e
x- m

- ln x > ex- 2 - ln x , …………………………… 11 分

故 m ? 2 时, f ( x) > 0 . ………………………………………………………… 12 分 (22)解析: C
8

A

O

E

B

D

(Ⅰ)证明:连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90°. 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF =DB?DA. 所以 DE =DB?DA. (Ⅱ)解:? DF =DB?DA,DB=2,DF=4.
2 2 2

……………… 5 分

? DA= 8,

从而 AB=6, 则 OC ? 3 .

又由(1)可知,DE=DF=4, ? BE=2,OE=1. 从而 在 Rt ?COE 中, CE ? CO2 ? OE2 ? 10 . (23)解析:(Ⅰ)由 r = 8 2 cos(q ………………10 分

3p ) 得 r = - 8cos q + 8sin q , 4

所以 r 2 = - 8r cos q + 8r sin q ,故曲线 C1 的直角坐标方程为 x2 + y 2 = - 8x + 8 y , 即 ( x + 4)2 + ( y - 4)2 = 32 , ……………………………………………………… 3 分 由? í

ì x = 8cos q, ? x2 y 2 + = 1 . ………………… 5 分 消去参数 q 得 C2 的普通方程为 ? 64 9 y = 3sin q ? ?

(Ⅱ)设 P(8cos q,3sin q) ,直线 l 的普通方程为 x - 2 y - 7 = 0 ,…………………… 7 分 故点 P 到直线 l 的距离为

d=

4 3 5 5 , 8cos q - 6sin q - 7 = 10cos(q + j ) - 7 (其中 cos j = ,sin j = ) 5 5 5 5
7 时, dmin = 0 ,故点 P 到直线 l 的距离的最小值 0.……… 10 分 10

因此当 cos( ? ? ?) ?

(24)解析:(Ⅰ) 当 a = - 5 时,不等式 f ( x) < 1 化为 x - 2 - x + 5 < 1 , 当x?

5 时, - ( x - 2) + ( x + 5) < 1 ,无解; 当 - 5 < x ? 2 时, - ( x - 2) - ( x + 5) < 1 ,解得 x > - 2 ,又 - 5 < x ? 2 , 所以 - 2 < x ? 2 ; 当 x > 2 时, ( x - 2) - ( x + 5) ? 1,恒成立,又 x > 2 ,所以 x > 2 . 因此,当 a = - 5 时,解不等式 f ( x) < 1 的解集为 {x | x > - 2} .
(Ⅱ) f ( x) ?

x-

1 ? x 4

2 - x- a + x-

1 ? 0. 4

当 x ? [1, 2] 时, - ( x - 2) - x - a + x 所以 x ? a

1 7 ? 0 ,即 x - a ? , 4 4

7 或x? a 4

7 , 4
9

1 的解集包含 [1, 2] , 4 7 7 3 15 ? 2 ,故 a ? 于是 a + ? 1 或 a 或a ? . 4 4 4 4 3 15 ]?[ ,+ ? ) . 所以,实数 a 的取值范围为 (- ? , 4 4
因为 f ( x) ?

x-

10


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