【步步高】(广东专用)高考数学二轮复习 专题突破训练六 第3讲 圆锥曲线中的热点问题 理(含高考真题)

第3讲
考情解读

圆锥曲线中的热点问题

1.本部分主要以解答题形式考查, 往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物

线为背景,考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大.2.求轨迹 方程也是高考的热点与重点,若在客观题中出现通常用定义法,若在解答题中出现一般用直 接法、代入法、参数法或待定系数法,往往出现在解答题的第(1)问中.

1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若 Δ >0,则直线与 椭圆相交;若 Δ =0,则直线与椭圆相切;若 Δ <0,则直线与椭圆相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法: 将直线方程与双曲线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax +bx+c=0(或 ay +by +c=0). ①若 a≠0,当 Δ >0 时,直线与双曲线相交;当 Δ =0 时,直线与双曲线相切;当 Δ <0 时, 直线与双曲线相离. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点. (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法: 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax +bx+c=0(或 ay +by +c=0). ①当 a≠0 时,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点. 2.有关弦长问题 有关弦长问题,应注意运用弦长公式;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以 简化运算. (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2), 则所得弦长|P1P2|= 1+k |x2 -x1|或|P1P2|= 1 1+ 2|y2-y1|.
2 2 2 2 2

k

(2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式). 3.弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算.

4.轨迹方程问题 (1)求轨迹方程的基本步骤: ①建立适当的平面直角坐标系,设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法). ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系. ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化. ④化简整理方程——简化. ⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性. (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:将几何关系直接翻译成代数方程; ②定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系数法求方程; ③代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系; ④交轨法:写出两条动直线的方程直接消参,求得两条动直线交点的轨迹; (3)注意①建系要符合最优化原则;②求轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是图形, 而轨迹方程则是代数表达式.步骤②⑤省略后,验证时常用途径:化简是否同解变形,是否 满足题意,验证特殊点是否成立等.

热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题 例1

x2 y2 (2013·浙江)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0) a b
2 2

的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x +y =4 的直径.l1,l2 是过点 P 且 互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另 一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. 思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点,圆 C2 的直径等于椭圆长轴长;(2)设直线 l1 的斜率为 k, 将△ABD 的面积表示为关于 k 的函数. 解 (1)由题意得?
?b=1, ? ?a=2. ?

所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1.

x2

2

又圆 C2:x +y =4, 故点 O 到直线 l1 的距离

2

2

d=

1

k2+1

, 4k +3 . k2+1
2

所以|AB|=2 4-d =2

2

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. 由?
? ?x+ky+k=0, ?x +4y =4. ?
2 2 2 2

消去 y,整理得(4+k )x +8kx=0, 8k 故 x0=- 2. 4+k 8 k +1 所以|PD|= 2 . 4+k 设△ABD 的面积为 S, 1 8 4k +3 则 S= |AB|·|PD|= , 2 2 4+k 所以 S=
2 2 2

32 4k +3+ 13 4k +3
2

≤ 2
2

32 4k +3· 13
2

16 13 = , 13

4k +3

当且仅当 k=±

10 时取等号. 2 10 x-1. 2

所以所求直线 l1 的方程为 y=±

思维升华 求最值及参数范围的方法有两种:①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一 个关于参数的函数关系式,将其代入由题目列出的不等式(即为消元),然后求解不等式;② 由题目条件和结论建立目标函数,进而转化为求函数的值域. 1 已知椭圆 C 的左,右焦点分别为 F1,F2,椭圆的离心率为 ,且椭圆经过点 P(1, 2 3 ). 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; → → (2)线段 PQ 是椭圆过点 F2 的弦,且PF2=λ F2Q,求△PF1Q 内切圆面积最大时实数 λ 的值. 3
2

2 c 1 3 1 解 (1)e= = ,P(1, )满足 2+ 2 =1, a 2 2 a b 又 a =b +c ,∵a =4,b =3,
2 2 2 2 2

∴椭圆标准方程为 + =1. 4 3 (2)显然直线 PQ 不与 x 轴重合, 当直线 PQ 与 x 轴垂直时,|PQ|=3,|F1F2|=2,

x2 y2

S ?PF Q =3;
1

当直线 PQ 不与 x 轴垂直时,设直线 PQ:y=k(x-1),k≠0 代入椭圆 C 的标准方程, 整理,得(3+4k )y +6ky-9k =0, -3k+6 k +k -3k-6 k +k 则 y1= ,y2= , 2 2 3+4k 3+4k
2 4 2 4 2 2 2

S ?PF Q = ×|F1F2|×|y1-y2|=12
1

1 2

k2+k4 2 +4k


2



令 t=3+4k ,∴t>3,k = ∴S ?PF1Q =3 1 1 ∵0< < , t 3 ∴S ?PF1Q ∈(0,3), - 1 1 + t 3

2

2

t-3
4

2

4 + , 3

∴当直线 PQ 与 x 轴垂直时 S△PF1Q 最大,且最大面积为 3. 设△PF1Q 内切圆半径为 r, 1 则 S ?PF1Q = (|PF1|+|QF1|+|PQ|)·r=4r≤3. 2 3 即 rmax= ,此时直线 PQ 与 x 轴垂直,△PF1Q 内切圆面积最大, 4 → → ∴PF2=F2Q,∴λ =1. 热点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 例2 (2013·陕西)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.

(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明:直线 l 过定点. 思维启迪 (1)设动圆圆心坐标, 利用圆的半径、 半弦长和弦心距组成的直角三角形求解; (2) 设直线方程 y=kx+b,将其和轨迹 C 的方程联立,再设两个交点坐标,由题意知直线 BP 和

BQ 的斜率互为相反数,推出 k 和 b 的关系,最后证明直线过定点.
(1)解 如图,设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|, 当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点,

∴|O1M|= x +4 , 又|O1A|= ∴

2

2

x-
2 2

2

+y ,
2 2

2

x-
2

+y = x +4 ,

化简得 y =8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程 y =8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y =8x. (2)证明 如图由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0),
2 2

P(x1,y1),Q(x2,y2),
将 y=kx+b 代入 y =8x 中, 得 k x +(2bk-8)x+b =0. 其中 Δ =-32kb+64>0. 得 x1,2= -2bk 2k
2 2 2 2 2

-32kb+64



8-2bk 则 x1+x2= ,① 2

k

b2 x1x2= 2,② k
∵x 轴是∠PBQ 的角平分线, ∴

y1 y2 =- , x1+1 x2+1

即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0③ 将①②代入③得 2kb +(k+b)(8-2bk)+2k b=0, ∴k=-b,此时 Δ >0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). 思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题, 基本思想是使用参数表示要解 决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式: y-y0=k(x-x0),则直线必过定点 (x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). 1 已知椭圆 C 的中点在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是 2 抛物线 x =8 3y 的焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,点 A、B 是椭圆上不同的两个动点,且满足∠APQ=
2 2 2

∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

解 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),

x2 y2 a b

c 1 2 2 2 则 b=2 3.由 = ,a =c +b ,得 a=4, a 2
∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 (2)当∠APQ=∠BPQ 时,PA、PB 的斜率之和为 0, 设直线 PA 的斜率为 k, 则 PB 的斜率为-k,PA 的直线方程为 y-3=k(x-2),

x2

y2

y-3=k x- ? ? 2 由? x y2 + =1, ? ?16 12
2 2

, 整理得

(3+4k )x +8(3-2k)kx+4(3-2k) -48=0,

2

x1+2=

k- k , 2 3+4k

同理 PB 的直线方程为 y-3=-k(x-2), -8k -2k- 可得 x2+2= 2 3+4k
2



8k

k+ 2 3+4k

.

16k -12 -48k ∴x1+x2= 2 ,x1-x2= 2, 3+4k 3+4k

y1-y2 k x1- kAB= = x1-x2


+3+k x2- x1-x2

-3

k x1+x2 -4k 1 = , x1-x2 2

1 ∴直线 AB 的斜率为定值 . 2 热点三 圆锥曲线中的探索性问题 例3 已知椭圆 C1、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O,从每条

曲线上各取两个点,将其坐标记录于下表中:

x y
(1)求 C1,C2 的标准方程;

3 -2 3

-2 0

4 -4

2 2 2

→ → (2)是否存在直线 l 满足条件: ①过 C2 的焦点 F; ②与 C1 交于不同的两点 M, N, 且满足OM⊥ON? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 思维启迪 (1)比较椭圆及抛物线方程可知,C2 的方程易求,确定其上两点,剩余两点,利用 待定系数法求 C1 方程. (2) 联立方程,转化已知条件进行求解. 解 (1)设抛物线 C2:y =2px(p≠0), 则有 =2p(x≠0), 据此验证四个点知(3,-2 3),(4,-4)在 C2 上, 易求得 C2 的标准方程为 y =4x.
2 2

y2 x

x2 y2 设椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0), a b
4 =1 ? ? a 2 2, )代入得? 2 2 1 ? ?a +2b =1
2 2 2

把点(-2,0),(



解得?

?a =4 ? ? ?b =1
2

2

,所以 C1 的标准方程为 +y =1. 4

x2

2

(2)容易验证当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x-1), 与 C1 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2).

x ? ? +y2=1 由? 4 ?y=k x- ?
消去 y 并整理得(1+4k )x -8k x+4(k -1)=0, 8k ± 64k - 于是 x1,2= 8k 则 x1+x2= 2,① 1+4k
2 2 4 2 2 2 2

2

+4k 2 +4k

2

k2-



x1x2=

k2- .② 2 1+4k
2

所以 y1y2=k (x1-1)(x2-1) =k [x1x2-(x1+x2)+1] 8k 3k 2 4k -1 =k [ 2- 2+1]=- 2.③ 1+4k 1+4k 1+4k
2 2 2 2

→ → → → 由OM⊥ON,即OM·ON=0,得 x1x2+y1y2=0.(*)
2 k2- 3k k2-4 将②③代入(*)式,得 - 2 2= 2=0, 1+4k 1+4k 1+4k

解得 k=±2,所以存在直线 l 满足条件, 且直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+y-2=0. 思维升华 解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题型.解决问题 的一般策略是先假设结论成立,然后进行演绎推理或导出矛盾,即可否定假设或推出合理结 论,验证后肯定结论,对于“存在”或“不存在”的问题,直接用条件证明或采用反证法证 明.解答时,不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识,还 要具备较强的审题能力、 逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力. 错误!未找到引用源。 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其 右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

x2 y2 解 方法一 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),且可知其左焦点为 F′(- a b
2,0). 从而有?
2

? ?c=2, ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ?
2 2 2

解得?

? ?c=2, ?a=4. ?

又 a =b +c ,所以 b =12, 故椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y= x+t. 2 3 ? ?y=2x+t, 由? x y ?16+12=1, ?
2 2

x2

y2

得 3x +3tx+t -12=0.

2

2

因为直线 l 与椭圆 C 有公共点,所以 Δ =(3t) -4×3×(t -12)≥0,解得-4 3≤t≤4 3. 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4,得 |t| =4,解得 t=±2 13.由于±2 13?[- 9 +1 4

2

2

4 3,4 3], 所以符合题意的直线 l 不存在.

方法二 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 4 9 ? ? 2+ 2=1, a b 且有? 2 ? ?a -b2=4.
2

x2 y2 a b

解得 b =12,b =-3(舍去).

2

2

从而 a =16.所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 (2)同方法一.

x2

y2

1.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决; (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再 求这个函数的最值,在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关 系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 2.定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题,处理时可以直接推理求出定值,也可以先通过 特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题,通过特殊值法探求定点、定值能达到事 半功倍的效果. 3.探索性问题的解法 探索是否存在的问题,一般是先假设存在,然后寻找理由去确定结论,如果真的存在,则可 以得出相应存在的结论;若不存在,则会由条件得出矛盾,再下结论不存在即可.

错误!未找到引用源。真题感悟 (2014·北京)已知椭圆 C:x +2y =4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与圆
2 2

x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论.

解 (1)由题意,得椭圆 C 的标准方程为 + =1, 4 2 所以 a =4,b =2,从而 c =a -b =2. 因此 a=2,c= 2. 故椭圆 C 的离心率 e= =
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

c a

2 . 2

(2)直线 AB 与圆 x +y =2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA·OB=0, 即 tx0+2y0=0,解得 t=- 2y0 .

x0

当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程,得 t=± 2, 2 故直线 AB 的方程为 x=± 2, 圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2. 此时直线 AB 与圆 x +y =2 相切. 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离
2 2

t2

y0-2 (x-t). x0-t

d=

|2x0-ty0|

y0-

2



x0-t x0

2

.

2y0 2 2 又 x0+2y0=4,t=- ,

故 d=

= x +y + 2 +4
2 0 2 0

?2x0+2y0? ? x0 ? ? ?
x0
2

2

?4+x0? ? x0 ? ? ?

2

4y0

2

2 x4 0+8x0+16 2 2x0

= 2.

此时直线 AB 与圆 x +y =2 相切. 押题精练 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

2

x2 y2 a b

2 ,其左、右焦点分别是 F1、F2,过点 F1 的直线 l 2

交椭圆 C 于 E、G 两点,且△EGF2 的周长为 4 2. (1)求椭圆 C 的方程; → → → (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A、B,设 P 为椭圆上一点,且满足OA+OB=tOP

→ → 2 5 (O 为坐标原点),当|PA-PB|< 时,求实数 t 的取值范围. 3 解 (1)由题意知椭圆的离心率 e= = ∴e = 2=
2

c a

2 , 2

c2 a2-b2 1 2 2 = ,即 a =2b . a a2 2

又△EGF2 的周长为 4 2,即 4a=4 2, ∴a =2,b =1. ∴椭圆 C 的方程为 +y =1. 2 (2)由题意知直线 AB 的斜率存在,即 t≠0. 设直线 AB 的方程为 y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
2 2

x2

2

y=k x- , ? ? 2 由?x 2 +y =1, ? ?2

得(1+2k )x -8k x+8k -2=0.

2

2

2

2

4 2 2 2 1 由 Δ =64k -4(2k +1)(8k -2)>0,得 k < . 2

8k ± 64k - ∴x1,2=
2

2

4

k2+ 2 +2k
2

k2-



8k 8k -2 ∴x1+x2= 2,x1x2= 2, 1+2k 1+2k → → → ∵OA+OB=tOP, ∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),

x1+x2 x= = t t

8k , 2 +2k -4k . 2 +2k
2 2 2

2

y1+y2 1 y= = [k(x1+x2)-4k]= t t t
∵点 P 在椭圆 C 上,∴ [t ∴16k =t (1+2k ).
2 2 2

k2
+2k

+2 [t

-4k 2 +2k

2 2

=2,

2 5 → → 2 5 2 ∵|PA-PB|< ,∴ 1+k |x1-x2|< , 3 3 ∴(1+k )[(x1+x2) -4x1x2]< ∴(1+k )[
2 2 2

20 , 9
2

64k 2 +2k

4

8k -2 20 , 2-4· 2]< 1+2k 9

1 2 1 2 2 2 1 ∴(4k -1)(14k +13)>0,∴k > .∴ <k < . 4 4 2 ∵16k =t (1+2k ),∴t =
2 2 2 2

16k 8 2=8- 2, 1+2k 1+2k

2

3 8 2 8 2 又 <1+2k <2,∴ <t =8- 2<4, 2 3 1+2k 2 6 2 6 ∴-2<t<- 或 <t<2, 3 3 2 6 2 6 ∴实数 t 的取值范围为(-2,- )∪( ,2). 3 3

(推荐时间:50 分钟) 一、选择题 1. 已知点 M 与双曲线 - =1 的左、 右焦点的距离之比为 2∶3, 则点 M 的轨迹方程为( 16 9 A.x -y +26x+25=0 B.x +y +16x+81=0 C.x +y +26x+25=0 D.x +y +16x-81=0 答案 C 解析 设点 M(x,y),F1(-5,0),F2(5,0), |MF1| 2 则由题意得 = , |MF2| 3 将坐标代入,得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

)

x+ x-

2 2

+y 4 2= , +y 9

2

化简,得 x +y +26x+25=0. 2.已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 且斜率为 2 的直线交椭圆 E 于 P、Q 两点, 若△PF1F2 为直角三角形,则椭圆 E 的离心率为( A. C. 5 3 2 3 2 B. 3 1 D. 3 )

答案 A 解析 由题意可知,∠F1PF2 是直角,且 tan∠PF1F2=2,



|PF2| =2,又|PF1|+|PF2|=2a, |PF1|

2a 4a ∴|PF1|= ,|PF2|= . 3 3

?2a?2 ?4a?2 2 根据勾股定理得? ? +? ? =(2c) , ?3? ?3?
所以离心率 e= =
2

c a

5 . 3

3.已知抛物线 y =8x 的焦点 F 到双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为
2

y2 x2 a b

4 5 ,点 P 5

是抛物线 y =8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距 离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( A. - =1 2 3 C. -x =1 4 答案 C 解析 由题意得,抛物线 y =8x 的焦点 F(2,0),
2

)

y2 x2 y2

B.y - =1 4 D. - =1 3 2

2

x2

2

y2 x2

y2 x2 双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 ax-by=0, a b y x 4 5 2 ∵抛物线 y =8x 的焦点 F 到双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为 , a b 5
∴ 4 5 = , 5 a +b
2 2 2 2

2a

∴a=2b. ∵P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3, ∴|FF1|=3,∴c +4=9,∴c= 5, ∵c =a +b ,a=2b,∴a=2,b=1. ∴双曲线的方程为 -x =1,故选 C. 4
2 2 2 2

y2

2

x y → → 4. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则OP·FP 4 3
的最大值为( )

2

2

A.2 B.3 C.6 D.8 答案 C 解析 设 P(x0,y0),则

x2 y2 0 0

3x0 2 + =1,即 y0=3- , 4 3 4

2

又因为 F(-1,0), 1 2 → → 2 所以OP·FP=x0·(x0+1)+y0= x0+x0+3 4 1 2 = (x0+2) +2, 4 → → 又 x0∈[-2,2],即OP·FP∈[2,6], → → 所以(OP·FP)max=6. 5.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心,|FM|为半径 的圆和抛物线的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) 答案 C 解析 依题意得 F(0,2),准线方程为 y=-2, 又∵以 F 为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交,且|FM|=|y0+2|, ∴|FM|>4,即|y0+2|>4, 又 y0≥0,∴y0>2. B.[0,2] D.[2,+∞) )
2

x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存 a b
在点 P 满足 = ,则该双曲线的离心率的取值范围为( sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 B.(1, 3) D.( 2+1,+∞)

a

c

)

A.(1, 2+1) C.( 3,+∞) 答案 A

|PF2| |PF1| 解析 根据正弦定理得 = , sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 所以由 = sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 可得 = , |PF2| |PF1| 即 |PF1| c = =e, |PF2| a

a

c

a

c

所以|PF1|=e|PF2|. 因为 e>1,所以|PF1|>|PF2|, 点 P 在双曲线的右支上.

又|PF1|-|PF2|=e|PF2|-|PF2| =|PF2|(e-1)=2a, 解得|PF2|= 2a , e-1

因为|PF2|>c-a, 所以 2a 2 >c-a,即 >e-1, e-1 e-1
2

即(e-1) <2,解得 1- 2<e< 2+1. 又 e>1,所以 e∈(1, 2+1),故选 A. 二、填空题 7.直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围是________. 5 m 答案 m≥1 且 m≠5 解析 ∵方程 + =1 表示椭圆, 5 m ∴m>0 且 m≠5. ∵直线 y=kx+1 恒过(0,1)点, ∴要使直线与椭圆总有公共点,应有: 0 1 + ≤1,m≥1, 5 m ∴m 的取值范围是 m≥1 且 m≠5. 8.在直线 y=-2 上任取一点 Q,过 Q 作抛物线 x =4y 的切线,切点分别为 A、B,则直线
2 2 2

x2 y2

x2 y2

AB 恒过定点________.
答案 (0,2) 1 2 1 解析 设 Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为 y= x ,则 y′= x,则在点 A 4 2 1 1 处的切线方程为 y-y1= x1(x-x1),化简得,y= x1x-y1,同理,在点 B 处的切线方程为 y 2 2 1 1 1 = x2x-y2.又点 Q(t,-2)的坐标满足这两个方程,代入得:-2= x1t-y1,-2= x2t-y2, 2 2 2 1 1 则说明 A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2= xt-y,即直线 AB 的方程为:y-2= tx,因 2 2 此直线 AB 恒过定点(0,2). 9.(2014·辽宁)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称 9 4 点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________. 答案 12

x2 y2

解析 椭圆 + =1 中,a=3. 9 4 如图,设 MN 的中点为 D, 则|DF1|+|DF2|=2a=6. ∵D,F1,F2 分别为 MN,AM,BM 的中点, ∴|BN|=2|DF2|, |AN|=2|DF1|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12. 10.(2013·安徽)已知直线 y=a 交抛物线 y=x 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得 ∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. 答案 [1,+∞) 解析 以 AB 为直径的圆的方程为 x +(y-a) =a,
? ?y=x 由? 2 ?x + ?
2 2 2 2 2

x2 y2

y-a

2

=a,
2

得 y +(1-2a)y+a -a=0. 即(y-a)[y-(a-1)]=0, 由已知?
? ?a>0, ?a-1≥0, ?

解得 a≥1.

三、解答题 11.已知点 A、B 的坐标分别是(0,-1)、(0,1),直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的斜率之 1 积为- . 2 (1)求点 M 轨迹 C 的方程; (2)若过点 D(0,2)的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F,试求△OEF 面积的取值范 围.(O 为坐标原点) 解 (1)设点 M 的坐标为(x,y), 1 ∵kAM·kBM=- . 2 ∴

y+1 y-1 1 · =- . x x 2 x2
2

整理,得 +y =1(x≠0), 2 即 M 的轨迹方程为 +y =1. 2 (2)由题意知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y=kx+2,①

x2

2

错误!未找到引用源。 将①代入 +y =1 得: 2 (2k +1)x +8kx+6=0,
2 3 由 Δ >0,解得 k > . 2 2 2

x2

2

-4k- 4k -6 ? x = , ? 2k +1 设 E(x ,y ),F(x ,y ),则? -4k+ 4k -6 ? ?x = 2k +1 ,
2 2 2 1 1 2 2 2 1 2

2 4k -6 则|x1-x2|= . 2 2k +1

2

S△OEF=S△OED-S△OFD= OD·|x1|- OD·|x2|= OD·|x1-x2|= ×2·|x1-x2|=|x1-x2| k2-
= 3 2
2

1 2

1 2

1 2

1 2

k2+

.

3 3 2 2 令 k - =t(t>0),所以 k =t+ (t>0), 2 2 所以 S△OEF=|x1-x2|= 16t t+
2



4t t+ 1 2 = , 4+4 2

2

=2

t =2 t +4t+4
2

1 ≤2 4 t+ +4

t

故△EOF 面积的取值范围是(0,

2 ]. 2 3 ,以椭圆 C 2

12.如图,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为
2 2 2

x2 y2 a b

的左顶点 T 为圆心作圆 T:(x+2) +y =r (r>0),设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)求TM·TN的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S,O 为坐 标原点,求证:|OR|·|OS|为定值. (1)解 依题意,得 a=2,e= = 所以 c= 3,b= a -c =1.
2 2

c a

3 , 2

故椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)解 点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1),

x2

2

N(x1,-y1),不妨设 y1>0.
由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1=1- .(*) 4 由已知得 T(-2,0), → → 则TM=(x1+2,y1),TN=(x1+2,-y1), → → 2 2 所以TM·TN=(x1+2) -y1
2

x2 1

x1 5 2 2 =(x1+2) -(1- )= x1+4x1+3 4 4
5 8 2 1 = (x1+ ) - . 4 5 5 8 1 → → 由于-2<x1<2,故当 x1=- 时,TM·TN取得最小值为- . 5 5 8 把 x1=- 代入(*)式,得. 5

2

y1= ,故 M(- , ),
13 2 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r = . 25 13 2 2 故圆 T 的方程为:(x+2) +y = . 25 (3)证明 设 P(x0,y0),则直线 MP 的方程为:

3 5

8 5

3 5

y0-y1 y-y0= (x-x0), x0-x1
令 y=0,得 xR= 故 xR·xS=

x1y0-x0y1 x1y0+x0y1 ,同理:xS= , y0-y1 y0+y1

2 2 2 x2 1y0-x0y1 ,(**) 2 y0-y2 1

又点 M 与点 P 在椭圆上, 故 x0=4(1-y0),x1=4(1-y1), 代入(**)式,得 xR·xS= -y1
2 2 2 2 2

y2 0- 2 2 y0 -y1

-y0

2

y2 1



2 y2 0-y1 =4. 2 2 y0-y1

所以|OR|·|OS|=|xR|·|xS|=|xR·xS|=4 为定值.


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