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3.2



































第二 课时
一元 二次 不等 式的 解法 (2)

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应用创新演练

第二课时一元二次不等式的解法(2)

[例 1] 解下列不等式 (1)1x-+x2<0;(2)xx-+21≤2. [思路点拨] 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等 式组求得.

[精解详析] (1)由x1+ -2x<0, 得xx+ -21>0, 此不等式等价于(x+2)(x-1)>0, ∴原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}.

(2)法一:移项得xx+-12-2≤0, 左边通分并化简有-x-x+25≤0, 即xx--52≥0,

它的同解不等式为??????xx--22≠??x0-,5?≥0, ∴x<2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.

法二:原不等式可化为xx--52≥0, 此不等式等价于?????xx--52≥>00, ① 或?????xx--52≤<00,, ② 解①得 x≥5,解②得 x<2, ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.

[一点通] (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化 为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注 意分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先 移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零, 然后再用上述方法求解.

1.不等式 x<1x的解集是

()

A.{x|x≤-1}

B.{x|x<-1 或 x>1}

C.{x|-1<x<1}

D.{x|x<-1 或 0<x<1}

解析:x<1x?x2-x 1<0??????xx<2-0 1>0

或???x2-1<0 ??x>0

?x<-1 或 0<x<1.

答案:D

2.解下列不等式:

(1)3x- +x2≥0;

2x-1 (2)3-4x>1.

解:(1)原不等式等价于??????3x-+x2≠??30-,x?≥0,

即??????xx≠+32??x-3?≤0, ?-2≤x<3.

∴原不等式的解集为{x|-2≤x<3}.

(2)原不等式可化为23x--41x-1>0,即34xx--23<0. 等价于(3x-2)(4x-3)<0. ∴23<x<34. ∴原不等式的解集为{x|23<x<34}.

[例2] 已知不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对于所有的实数x 都成立,求a的取值范围. [思路点拨] 原不等式对所有的实数x都成立,即原不等式 (关于x)的解集为R.注意到二次项的系数为参数a,故应分a =0与a≠0两种情况分类讨论,当a≠0时,可借助于“三个二 次”关系求解.

[精解详析] 若a=0,则原不等式为-x-1<0,即 x>-1,不合题意.故a≠0. 令f(x)=ax2+(a-1)x+a-1, ∵原不等式对任意x∈R都成立, ∴二次函数f(x)的图象在x轴的下方. ∴a<0且Δ=(a-1)2-4a(a-1)<0.

即?????a?a<-0,1??3a+1?>0. ∴a<-13. 故 a 的取值范围为(-∞,-13).

[一点通] 不等式对任意实数 x 恒成立,就是不等式的 解集为 R,对于一元二次不等式 ax2+bx+c>0,它的解集 为 R 的条件为?????aΔ>=0b,2-4ac<0;

一元二次不等式 ax2+bx+c≥0,它的解集为 R 的条件为?????aΔ>=0b,2-4ac≤0;
一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为?的条 件为?????Δa<≤00,.

3.若关于x的不等式x2+x+k>0恒成立,则实数k的取 值范围是________.

解析:法一:依题意,Δ=1-4k<0,∴k>14. 法二:不等式 x2+x+k>0 恒成立,(x∈R)?k>(-x2-x) 的最大值,而 y=-x2-x=-(x+12)2+14,当 x=-12时, 取最大值为14,故 k>14. 答案:(14,+∞)

4.设a≠0,对于实数f(x)=log3(ax2-x+a),若定义域 为R,求实数a的取值范围.

解析:若函数 f(x)的定义域为 R,则不等式 ax2-x+a>0 对任意 x∈R 均成立. ∴?????aΔ>=0,1-4a2<0, 解得 a>12. ∴a 的取值范围为(12,+∞).

[例2] 某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元 纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政 府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低 x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%, 试确定x的取值范围.

[思路点拨] (1)按“税收=收购总金额×税率”可建立y与 x的函数关系式;(2)将不等关系用不等式表示,从而求 解.

[精解详析] (1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收 购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%)万 元.依题意:y=200a(1+2x%)(10-x)% =a(1100+2x)(10-x)(0<x<10).(5分)
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(2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). 依题意得:a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,(9分) 化简,得x2+40x-84≤0,(10分) ∴-42≤x≤2. 又∵0<x<10,∴0<x≤2. ∴x的取值范围是0<x≤2.(12分)

[一点通] 解不等式应用题,一般可按以下四步进行 (1)阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关 系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回代实际问题.

5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式 为y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈R),若每台产 品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于 总成本)时最低产量是( ) A.100台B.120台 C.150台D.180台

解析:3000+20x-0.1x2≤25x ?x2+50x-30000≥0, 解得x≤-200(舍去)或x≥150. 答案:C

6.某地每年销售木材约20万m3,每m3价格为2400元.为 了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税, 这样每年的木材销售量减少t万5 m3.为了既减少木材消耗 2 又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是 ________.

解析:设按销售收入的 t%征收木材税时,税金收入为 y 万元,则 y=2 400(20-52t)×t%=60(8t-t2). 令 y≥900,即 60(8t-t2)≥900,解得 3≤t≤5.
答案:[3,5]

1.解不等式的过程实际上就是不断转化的过程,是同解 不等式的逐步代换,基本思路是:代数化、分式整式化、 有理化、低次化、低维化,最后转化到可解的常见一元 一次不等式、一元二次不等式上来. 2.有关不等式恒成立的问题,往往是求其中参数的取值 范围;常用解法有:①分离参变量,转化为函数的最值 问题;②构造函数法,利用基本函数求解.

3.用一元二次不等式解决实际问题的步骤大致可分为 (1)理解题意,把条件进行转化,或者画出示意图,理清各 量满足的条件; (2)依据条件建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学 问题,即一元二次不等式问题; (3)解所得的不等式,进而根据题目的实际意义解决原问 题.

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