高考数学专题讲座 第2讲 二次函数的综合应用问题

高考数学专题讲座 第二讲 二次函数的综合应用问题
一、考纲要求
1.理解二次函数,一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系,掌握一元二次不等式的解法; 2.以二次函数为背景的不等式问题作为代数推理题在高考中频繁出现,二次函数和绝对值不等式相 结合的题目也在高考中出现多次; 3.二次函数是简单的非线性函数之一,有着丰富的内涵,成为高考的一个热点.

二、基础过关
1.若关于 x 的不等式 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立,则 a 的取值范围是( B A. a ? ? C. ).

3 或 a ?1 5

B. ?

3 ? a ≤1 5

3 ≤ a ≤1 或 a ? ?1 5

D.以上均不对 ).

2.函数 f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 5 在区间 [?2 , ? ?) 上是增函数,则 f (1) 的取值范围是( A A. f (1) ≥25 C. f (1) ≤ 25 B. f (1) ? 25 D. f (1) ? 25 ).

3.若 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? 2mx ? 3 为偶函数,则 f (x) 在 (?3 , 1) 上是( B A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增

4.已知 a , b ? N*,方程 x 2 ? ax ? 2b ? 0 和方程 x 2 ? 2bx ? a ? 0 都有实根,则 a ? b 的最 小值是( D ). A.3 B. 4 C.5 D.6

5.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间 [0 , a ] (a ? 0) 上的最大值为 3,最小值为 2,那么 实数 a 的取值范围是 1≤a≤2 .

6.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? b 2 ? b ? 1(a , b ? R ) 对任意实数 x 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成 立,若当 x ?[?1 , 1] 时, f ( x) ? 0 恒成立,则 b 的取值范围是 b<-1 或 b>2 .

三、典型例题
例 1 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 , x ?[?5 , 5] . (1)当 a ? ?1 时,求函数 f (x) 的最大值与最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f (x) 在区间 [?5 , 5] 上是单调函数. 解: (1)当 a=-1 时, f(x)=x -2x+2=(x-1) +1, x∈ [-5,5]
2 2

∴x=1 时,f(x)的最小值为 1,x=-5 时,f(x)的最大值为 37. (2)函数 f(x)=(x+a) 2 +2-a 2 图象的对称轴为 x=-a ∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数 ∴-a≤-5 或-a≥5 故 a 的取值范围为 即 a≥5 或 a≤-5

a≤-5 或 a≥5.

例 2 (1)将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之和最 小,正方形的周长应为

4 . 4??

(2)已知函数 f ( x) ?| x 2 ? 2ax ? b | ( x ? R ) ,给出下列命题: ① f (x ) 必是偶函数; ② 当 f (0) ? f (2) 时, f (x) 的图象必关于直线 x ? 1 对称; ③ 若 a 2 ? b ≤0,则 f (x) 在区面 [ a , ? ?) 上是增函数; ④ f (x) 有最大值 | a 2 ? b | . 其中正确命题的序号是 ③ .

例 3 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (m ? 1) x ? m( x ? R ) . (1)设 A 、 B 是 ?ABC 的两个锐角,且 tan A , tan B 是方程 f ( x) ? 4 ? 0 的两个实根, 求证: m ≥5; (2)当 m ≥3 时,函数 f (sin ? ) 的最大值是 8 ,求 m 的值. 解:(1) 方程 f(x)+4=0 即 x 2 -(m+1)x+m+4=0

?? ? (m ? 1) 2 ? 4(m ? 4) ? 0 ? 依题意,得 ? tan A ? tan B ? m ? 1 ? 0 ? tan A ? tan B ? m ? 4 ? 0 ?
∴m≥5 (2)f(sin ? )=sin
2

解之得

?m ? ?3或m ? 5 ? m ? ?1 ? ? m ? ?4 ?

? -(m+1)sin ? +m=(sin ? ?


(m ? 1) 2 m ?1 2 ) +m ? 4 2

∵ m≥3

∴ 当 sin ? =-1 时,f(sin ? )取得最大值 2m+2 由题意得 2m+2=8 ∴ m=3

m ?1 ?2 2

例 4 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1( x ≥1 ) 的图象为 C1 ,曲线 C 2 与 C1 关于直线 y ? x 对称. (1)求曲线 C 2 的方程 y ? g (x) ; (2)设函数 y ? g (x) 的定义域为 M , x1 , x2 ? M ,且 x1 ? x2 . 求证: | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |?| x1 ? x 2 | ; (3)设 A 、 B 为曲线 C 2 上任意两个不同点,证明直线 AB 与直线 y ? x 必相交. 解(1) ∵ C 1 ,C 2 关于直线 y=x 对称, ∴g(x)为 f(x)的反函数.



y=x 2 -1,

即 x 2 =y+1, g(x)= x ? 1



x≥1



x= y ? 1

∴ 曲线 C 的方程为 (2)设 x 1 ,x 2 ∈M, 又

(x≥ 0)

且 x 1 ≠x 2 ,

则 x 1 -x 2 ≠0

x 1 ≥0, x 2 ≥0

∴|g(x 1 )-g(x 2 )|=| x1 ? 1 ?

x 2 ? 1 |?

| x1 ? x 2 | x1 ? 1 ? x 2 ? 1

?

| x1 ? x 2 | ?| x1 ? x 2 | 2
x 1 ,x 2 ∈M, 且 x 1 ≠x 2

(3)设 A(x 1 ,y 1 ) 、B(x 2 ,y 2 )为曲线 C 2 上任意两个不同的点, 由(2)知|k AB | ?|

y1 ? y 2 | g ( x1 ) ? g ( x 2 ) | |? ?1 x1 ? x 2 | x1 ? x 2 |

∴直线 AB 的斜率|k AB |≠1 又直线 y=x 的斜率为 1 ∴直线 AB 与直线 y=x 必相交.

四、热身演练
1.函数 y ? 1 ? 2 x ? 3 ( x ≥ 2) 的反函数是( B A. y ? C. y ? ).

1 2 x ? x ? 2( x ? R ) 2 1 2 x ? x ? 2( x ? R ) 2

B. y ? D. y ?

1 2 x ? x ? 2( x ≤ 0) 2 1 2 x ? x ? 2( x ≤ 0) 2

2.设函数 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c( a ? 0) ,满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,则 f (2 x ) 与 f (3 x ) 的大 小关系是( C ) . A. f (3 x ) ? f (2 x ) C. f (3 x ) ≥ f (2 x ) B. f (3 x ) ? f (2 x ) D. f (3 x ) ≤ f (2 x ) ) .

3.若 a , b , c 成等差数列,则函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点个数是( D A.0 B. 1 C.2 D.不确定

4.已知二次函数 f ( x) ? 4 x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 ,若在区间 (?1 , 1) 内至少存在一个 实数 c ,使 f (c) ? 0 ,则实数 p 的取值范围是( C ) .

1 1 3 1 3 , 1) B. (?3 , ? ) C. (?3 ,0 ) D. (? , ) 2 2 2 2 2 5.一辆中型客车的营运总利润 y (单位:万元)与营运年数 x( x ? N ) 的变化关系如下表所
A. (? 示,则客车的运输年数为( B )时,该客车的年平均利润最大.

x (年)
y = ax + bx + c (万元)
2

4 7 C.6

6 11

8 7

…… D.7

A.4

B. 5

6.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ? 4 的定义域为 R,值域为 [1 , ? ?) ,则 a 的取值范围 为 [-1,3] .

7.如果函数 f (x) 对于任意 x ?R,存在 M 使不等式 | f ( x) | ≤ M | x | 恒成立(其中 M 是与 x 无关的正常数),则称函数 f (x) 为有界泛函,给出下列函数: ① f1 ( x) ? 1 ;② f 2 ( x) ? x 2 ;③ f 3 ( x) ? x(sin x ? cos x) ;④ f 4 ( x) ? 其中属于有界泛函的是 ③④ (填上正确序号).

x . x ? x ?1
2

8.若方程 x 2 ? ax ? b ? 0 有不小于 2 的实根,则 a 2 ? b 2 的最小值为

16 . 5

9.已知不等式 x 2 ? 3x ? t ? 0 的解集为 {x | 1 ? x ? m , x ?R } . (1)求 t , m 的值; (2)若函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 4 在区面 (?? , 1] 上递增,求关于 x 的不等式

log a (?mx 2 ? 3x ? 2 ? t ) ? 0 的解集.
解: (1)依题意

?1 ? m ? 3 ? ? m?t

∴?

?m ? 2 ?t ? 2

(2)∵ f(x)=-(x- ) ? 4 ?
2

a 2

a2 在 (??,1] 上递增 4

∴ 又 ∴

a ?1 2



a?2

l o g (?mx 2 ? 3x ? 2 ? t ) ? l o g (?2 x 2 ? 3x) <0 a a

0 ? ?2 x 2 ? 3x ? 1 解之得 0 ? x ?

1 3 或 1 <x< 2 2

故 不等式的解集为 {x|0<x<

1 3 或 1<x< }. 2 2

10.定义在 R 上的函数 f (x) 满足:如果对任意 x1 , x 2 ? R,都有

f(

x1 ? x 2 1 ) ≤ [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] , 2 2

则称函数 f (x) 是 R 上的凹函数.已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? x(a ? R) . (1)求证:当 a ? 0 时,函数 f (x) 是凹函数; (2)如果 x ?[0 , 1] 时, | f ( x) | ≤1,试求实数 a 的取值范围.

解: (1)对任意 x 1 ,x 2 ∈R,a>0,都有 [f(x 1 )+f(x 2 )]-2f(

x1 ? x 2 x ? x2 2 x1 ? x2 2 2 )=a x1 +x 1 +ax 2 +x 2 -2[a( 1 ) ? ] 2 2 2 2 2 1 =ax 1 +ax 2 - a(x 1 +x 2 +2x 1 x 2 ) 2 1 = a(x 1 -x 2 ) 2 ≥0 2 x ? x2 1 ∴ f( 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2 2

故函数 f(x)是凹函数. (2)由|f(x)|≤1 知: -1≤f(x)≤1 当 x=0 时, a∈R 当 x∈(0,1)时, 即 -1≤ax 2 +x≤1

?ax 2 ? ? x ? 1 恒成立 ? 2 ?ax ? ? x ? 1

1 1 1 1 2 1 ? ?a ? ? x 2 ? x ? ?( x ? 2 ) ? 4 即 ? 恒成立 1 1 1 1 1 ? a ? 2 ? ? ( ? )2 ? x x 2 4 x ? 1 ∵ x∈(0,1) ∴ ?1 x 1 1 1 1 1 1 1 当 =1 即 x=1 时, ? ( ? ) 2 ? 取最大值-2, ( ? ) 2 ? 取最小值 0 x x 2 4 x 2 4
∴ -2≤a≤0, 而 a≠0 ∴-2≤a<0 即 为所求. 11.已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c . (1) a ? b ? c 且 f (1) ? 0 , 若 是否存在实数 m , 使得当 f (m) ? ?a 成立时, f (m ? 3) 为正数?若存在, 则证明你的结论;若不存在,则说明理由.

1 (2)若 ? ? ? x1 ? x 2 ? ?? , f ( x1 ) ? f ( x2 ) 且方程 f ( x) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 有两个不相等的实数根, 2 求证:必有一实数根存 x1 与 x 2 之间.
证: (1)由 f(1)=a+b+c 及 a>b>c 得 a>0,c<0,

c ?0 a c ?0 a

∵ 1 是 f ( x) ? 0 的一个根,记另一根为 ? ,则 ? ? 又 a ? b ? c, b ? ?a ? c, ∴ a>-a-c>c ∴-2a<c 即 -2<

c <0 a

假设存在实数 m,使 f(m)=-a 成立 则由

c c ,1 是 f(x)=0 的两根知: f(x)=a(x- )(x-1) a a

从而 f(m)= a(m ? 进而

c )( m ? 1) ? ?a ? 0 a



c ? m ?1 a

c ∴m+3>1 ?3? m?3 a 又 f(x)在[1, ? ?) 上单调递增 ∴f(m+3)>f(1)=0 故满足条件的实数 m 存在. 1 (2)令 g(x)=f(x)- [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] , 则 g(x)为二次函数 2 1 ∴g(x 1 )=f(x 1 )- [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 2 1 ∴g(x 2 )=f(x 2 )- [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 2 1 ∴ g(x 1 )·g(x 2 )=- [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2 ? 0 4
又 x 1 <x
2

∴ g(x)=0 必有一根在 x 1 ,x 2 之间

故 f(x)= [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 必有一根在 x 1 ,x 2 之间

1 2

2 x 2 ? bx ? c (b ? 0) 的值域为 [1 , 3] . x2 ?1 (1)求实数 b , c 的值; (2)判断函数 F ( x) ? lg f ( x) 在 [?1 , 1] 上的单调性;
12.已知函数 f ( x) ?

7 1 1 13 ≤ F (| t ? | ? | t ? |) ≤ lg . 6 6 5 5 解: (1)由 ? 法得 b=-2 c=2
(3)若 t ? R,求证: lg (2) 由(1)f(x)=

2x 2 ? 2x ? 2 2x ? 2? 2 2 x ?1 x ?1

用定义判断 f(x)在[-1,1]上单调递减. ∴F(x)在[-1,1]上单调递减. (3)∵||t-

1 1 1 1 1 |-|t+ ||≤|t- ? t ? |= 6 6 6 6 3 1 1 1 1 ∴ ? ?| t ? | ? | t ? |? 3 6 6 3
∵F(x)在[-1,1]上为减函数 ∴ F (? ) ? F (| t ? 即

1 1 1 1 | ? | t ? |) ? F ( ) 3 6 6 3 7 1 1 13 lg ? F (| t ? | ? | t ? |) ? lg 5 6 6 5


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