成都七中2018-2019学年高二下学期入学考试数学(理)试题

成都七中高 2020 届高二下期入学考试数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(共 12 题,每题 5 分,满分 60 分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请 把答案填涂在答题卷上) 1.抛物线 y 2 =4 x 的准线方程为( A. y ? ?1 B. y ? 1 ) C. x ? ?1 D. x ? 1

x2 y 2 2.双曲线 ? ? 1 的焦距为( 12 4
A. 2 2 B. 8



C. 2

D. 4 )

3.过点 (2,1) 的直线中,被圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 截得的最长弦所在的直线方程为( A.3x-y-5=0 4.已知 p:“ a ? B.3x+y-7=0 C.x+3y-5=0 D.x-3y+1=0

2 ”,q:“直线 x ? y ? 0 与圆 x 2 ? ( y ? a) 2 ? 1 相切”,则 p 是 q 的(
B.必要不充分条件 C.充要条件



A.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.为了测试小班教学的实践效果,任课教师对 A 、 B 两班的学生进行了阶段测试,并将所得成绩统计 如图所示; 记本次测试中, A 、B 两班学生的平均成绩分别为 x A ,x B ,

A 、 B 两班学生成绩的方差
分别为 s A , s B ,则观察茎叶图可知(
2 2 A. x A ? x B , s A ? s B 2 2



2 2 B. x A ? x B , s A ? s B

2 2 C. x A ? x B , s A ? s B

2 2 D. x A ? x B , s A ? s B

6.某高中在校学生有 2000 人.为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了跑步和登山比赛活动.每人 都参加而且只限参与了其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表: 高一年级 跑步 登山 高二年级 高三年级

a x

b y

c z

其中 a : b : c ? 2: 3: 5 ,全校参与登山的人数占总人数的 60% ,为了了解学生对本次活动的满意程度, 现用分层抽样从中抽取了一个 100 人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取( )

A.6 人 B.12 人 C.18 人 D.24 人 7.在区间[0,2π]上随机取一个数 x,则事件“ sin x ? cos x ”发生的概率为( 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 那么两个空 8.右面程序框图是为了求出满足 3n ? 2n ? 1000 的最小偶数 n, 白框中可以分别填入( A.A >1000? B.A >1000? 和 n=n+1 和 n=n+2 )



C.A ? 1000? 和 n=n+1 D.A ? 1000? 和 n=n+2 9.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线 l ,则点 A 9 16
) C. B.

到直线 l 的距离为( A.

8 15

32 5

32 15

D.

8 5

10.已知椭圆的左焦点为 F1 ,有一质点 A 从 F1 处以速度 v 开始沿直线运动,经椭圆内壁反射(无论经过几 次反射速率始终保持不变) ,若质点第一次回到 F1 时,它所用的最长时间是最短时间的 7 倍,则椭圆的离心 率 e 为( A.


2 3

B.

3 4

C.

3 5

D.

5 7

11.已知点 E 是抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的对称轴与准线的交点,点 F 为抛物线 C 的焦点,点 在抛物
2

线 C 上. 在 ?EFP 中, 若 sin ?EFP ? ? ? sin ?FEP , 则 ? 的最大值为 (



A.

2 2

B.

3 2

C. 2

D. 3

12.如图, A1 , A2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 长轴的左、右端点, O 为坐标原点, S , Q, T 为椭圆上不同于 A1 , A2 9 5
2 2

的三点,直线 QA1 , QA2 , OS , OT 围成一个平行四边形 OPQR ,则 OS ? OT A. 7 B. 9 C. 12 D. 14

?(



二、填空题(共 4 题,每题 5 分,满分 20 分.请把答案填写在答题卷上) 13 . 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别是 F1 , F2 ,点 P 是 C 上任意一点,则 36 16

PF1 ? PF2 ? ________.
14.如图是抛物线形拱桥,此时水面宽 4 米,拱顶离水面 2 米.当水位下降 1 米 后,则水面宽为_________米.

15. 已知直线 l 过椭圆 C :

x2 若以线段 AB ? y 2 ? 1 的左焦点 F 且交椭圆 C 于 A 、B 两点,O 为坐标原点. 2

为直径的圆经过点 O ,则点 O 到直线 AB 的距离为_________.

16.已知椭圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) ,圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 ? a 2 在第一象限有公共点 P ,设圆 C 在点 P 处的切 a2
k1 的取值范围为_________. k2

线斜率为 k1 ,椭圆 ? 在点 P 处的切线斜率为 k 2 ,则

三、解答题(共 6 题,满分 70 分.第 17 题 10 分,第 18~22 题每题 12 分;解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤.请将解答过程写在答题卷的相应题号的下面)

17.命题 p :方程

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 表示椭圆;命题 q :双曲线 C : 2 ? ? 1(m ? 0) 的虚轴长于实轴. m?2 4?m m 4

(1)当简单命题 p 为真命题时,求实数 m 的取值范围; (2)当复合命题 “p∧q”为真命题时,求实数 m 的取值范围. 18. 过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点作倾斜角为 45 的直线,交抛物线于 A 、B 两点,求:
0

(1)被抛物线截得的弦长 AB ;

(2)线段 AB 的中点到直线 x ? 2 ? 0 的距离.

19. 2019 年的流感来得要比往年更猛烈一些.据四川电视台 SCTV -4“新闻现场”播报,近日四川省人民 医院一天的最高接诊量超过了一万四千人,成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上.这些 浩浩荡荡的看病大军中,有不少人都是因为感冒来的医院.某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲,欲研究昼 夜温差大小与患感冒人数之间的关系,他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年 1 到 6 月每 月 20 日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数,得到如下资料: 日期 1月 20 日 10 22 2月 20 日 11 25 3月 20 日 13 29 4月 20 日 12 26 5月 20 日 8 16 6月 20 日 6 12

昼夜温差 x( 0 C )

就诊人数 y(人)

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再用 被选取的 2 组数据进行检验. (1) 若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 月至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 ;

y ? bx ? a

(2) 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性回 归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

(参考公式: b ?

? ( xi ? x)( yi ? y )
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1

2

i

? nx

2

, a ? y ? bx )

20.如图,已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ,点 P 坐标为 (2, ?1) , 过点 P 作圆 C 的切线,切点为 A ,B .
(第 20 题)

(1)求直线 PA ,PB 的方程; (2)求过 P 点的圆的切线长;

(3)求直线 AB 的方程.

21.某市电视台为宣传所在城市,随机对该市 15~65 岁的人群抽取了 n 人调查,回答预设答案的问题“本 市著名旅游景点有哪些?”,统计结果如下列表格和频率分布直方图所示: 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65] 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 0.5

a
18

x
0.9 0.36

b
9 3

y

(1)分别求出题设或表格中 n , a , b , x 和 y 的值;

(2)根据频率分布直方图估算这组数据的中位数(保留小数点后 两位)和平均数;

(3)若第 1 组回答正确的人员中有两名女性,其余均为男性,现 从中随机抽取两名,求至少抽中一名女性的概率. x2 y2 22.已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线 l 与 x a b ―→ ―→ ―→ ―→ 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q, P, 与椭圆分别交于点 M, N, 各点均不重合且满足 PM =λ1 MQ ,PN =λ2 NQ . (1)求椭圆的标准方程; (2)若 λ1 +λ2 =-3,求证:直线 l 过定点,并求出该定点.


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