【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.3.2双曲线的简单性质练习 北师大版选修1-1

【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 2.3.2 双曲线的简单性质练习 北师大版选修 1-1 一、选择题 1.双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y=-x,则双曲线方程 16 64 为( ) A.x -y =96 C.x -y =80 [答案] D [解析] 由已知 c =a -b =64-16=48,故双曲线中 c =48,且焦点在 y 轴上, =1, 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 y2 B.y -x =160 D.y -x =24 2 2 2 2 a b a=b.由 c2=a2+b2 可得 a2=b2=24,故选 D. π 2.双曲线的渐近线与实轴的夹角为 ,则离心率 e 是( 6 A. 10 3 2 3 B. 3 D.2 ) C. 3 [答案] B [解析] 设双曲线焦点在 x 轴上, 则 tanθ = = b a 3 , e= 3 ) b a 2 +1= 1 2 3 +1= . 3 3 3.双曲线 2- 2=1 与 2- 2=λ (λ ≠0)有相同的( A.实轴 C.渐近线 [答案] C [解析] B.焦点 x2 y2 a b x2 y2 a b D.以上都不对 x2 y2 x2 y2 b 2- 2=λ 的渐近线方程为 2- 2=0,(bx-ay)(bx+ay)=0,即 y=± x. a b a b a 2 2 4.(2014·河北唐山市一模)双曲线 x -y =4 左支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离 为 2, 则 a+b= ( A.-2 C.-4 [答案] A ) B.2 D.4 [解析] |a-b| = 2,∴|a-b|=2, 2 ∵双曲线左支在直线 y=x 上方, ∵a<b,∴a-b=-2,又∵a -b =4,∴a+b=-2. 5.(2014·山西大学附中月考)双曲线 2- 2=1 和椭圆 2+ 2=1(a>0,m>b>0)的离心率 互为倒数,那么( A.a +b =m C.a +b <m [答案] A [解析] 双曲线离心率 e1= 椭圆离心率 e2= 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 y2 a b x2 y2 m b ) B.a +b >m D.a+b=m 2 2 2 a2+b2 , a m2-b2 , m a2+b2· m2-b2 由 e1·e2=1 得 =1, am 化简得 a +b =m . 6.已知双曲线 - 2=1(b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,其一条渐近线方程为 y=x,点 2 b 2 2 2 x2 y2 P( 3,y0)在该双曲线上,则PF1·PF2=( A.-12 C.0 [答案] C → → ) B.-2 D.4 [解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质. 由题意得 b =2,∴F1(-2,0),F2(2,0), 又点 P( 3,y0)在双曲线上,∴y0=1, → → 2 ∴PF1·PF2=(-2- 3,-y0)·(2- 3,-y0)=-1+y0=0,故选 C. 二、填空题 7.已知圆 C:x +y -6x-4y+8=0,以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦 点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为________. [答案] 2 2 2 2 x2 4 - y2 12 =1 [解析] 本题考查双曲线的标准方程. 令 x=0,则 y -4y+8=0 无解. 令 y=0,则 x -6x+8=0,∴x=4 或 2. 2 2 ∴圆 C 与 x 轴的交点坐标为(4,0)和(2,0), 故双曲线的顶点为(2,0)、焦点为(4,0), 故双曲线的标准方程为 - =1. 4 12 8.双曲线 + =1 的离心率 e∈(1,2),则 b 的取值范围是________. 4 b [答案] (-12,0) [解析] ∵b<0,∴离心率 e= ∴-12<b<0. 三、解答题 4-b ∈(1,2), 2 x2 y2 x2 y2 x y 5 9.(1)求与椭圆 + =1 有公共焦点,且离心率 e= 的双曲线的方程; 9 4 2 5 (2)求虚轴长为 12,离心率为 的双曲线的标准方程. 4 [答案] (1) -y =1 (2) - =1 或 - =1 4 64 36 64 36 [解析] (1)设双曲线的方程为 - =1(4<λ <9),则 9-λ λ -4 2 2 x2 2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 a2=9-λ ,b2=λ -4, ∴c =a +b =5, 5 c 5 5 2 ∵e= ,∴e = 2= = ,解得 λ =5, 2 a 9-λ 4 ∴所求双曲线的方程为 -y =1. 4 (2)由于无法确定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上, 所以可设双曲线标准方程为 2- 2 2 2 2 x2 2 x2 a y2 y2 x2 2=1(a>0,b>0)或 2- 2=1(a>0,b>0). b a b c 5 2 2 2 由题设知 2b=12, = 且 c =a +b , a 4 ∴b=6,c=10,a=8. ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 10.已知 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴 的双曲线的弦.如果∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率. [解析] 设 F1(c,0),由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90°, x2 y2 y2 x2 x2 y2 a b 知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|=2 2c. 由双曲线的定义得 2 2c-2c=2a. c 2 ∴e= = =1+ 2. a 2 2-2 所以所求双曲线的离心率为 1+ 2. 一、选择题 x2 y2 1.已知 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以线段

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