广东省仲元中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案.doc

广东仲元中学 2015 学年第二学期期末考试高二年级 理科数学试卷
命题人:高三备课组 审题人:高三备课组 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1.已知集合 A ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x y ? ln(2 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. (1,3) 2.复数 z ? B. (1,3] C. [ ?1, 2) ) ) D. (?1, 2)

(2 ? i) 2 ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( i
B. 5

A.5

C.25

D. 41 )

3. 已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S3 ? S7 ? 37 ,则 19a3 ? a11 ? ( A.47 B.73
2

C.37

D.74

4. 若函数 f ( x) ? 4sin ? x ? sin ( 则 ? 的取值范围是( A. (0,1] )

?
4

?

?x
2

) ? cos 2? x (? ? 0) 在[-

? 2? , ]上是增函数, 3 2
3 ,+∞) 4

B. (0,

3 ] 4

C.[1,+∞)

D.[

5. 已知点 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 且垂直于 x 轴 a 2 b2

的直线与双曲线交于 M , N 两点,若 MF1 ? NF1 ? 0 ,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( ) B. (1, 2 ? 1) C. (1, 3) D. ( 3, ??)

uuur uuu r

A. ( 2, 2 ? 1)

6. 棱长都相等的三棱锥 P ? ABC ,平面 ? 经过点 P 且与平面 ABC 平行,平面 ? 经过 BC 且与棱 PA 平行, ? ? 平面 PBC ? m , ? ? ? ? n ,则( A. m ? n B. m, n 成 60 角
0

) D. m, n 成 30 角
0

C. m / / n

?x ? 2 y ? 4 ? 0 y?2 ? 7. 若实数 x 、 y 满足 ? x ? 0 ,则 z ? 的取值范围为( x ?1 ?y ? 0 ?



A . (??, ?4] ? [ , ??) D. [ ?4, ]

2 3

B . (??, ?2] ? [ , ??)

2 3

C . [ ?2, ]

2 3

2 3

8. 有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流,则每个班至少去一 名的 不同分派方法种数为( A. 150 ) B. 180 C. 200 D. 280

9. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 2,则输入的正整数 a 的可能 取值的 集合是( ) B. {1, 2,3, 4,5,6} C. {2,3, 4,5}

A. {1, 2,3, 4,5} D. {2,3, 4,5,6} 10.

2 ) 过 点 P( 0 , 可 以 作 三 条 直 线 与 函 数
1 3 a 2 x ? x ? 1相切,则实数 a 的 3 2
) B. (2 3 3, ??) D. (0, 2 3 3)

y ? f ( x) ?

取值范围为(

A. (??, 2 3 3) C. (?2 3 3,2 3 3)

x2 y 2 1 11. 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? , 右焦点为 2 a b
F (c, 0) ,
函数 f ( x ) ? ax ?

c ? b 的两个零点分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) 满足( x
B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外 D.以上三种情形都有可能 )



A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 C.必在圆 x ? y ? 2 内
2 2

12. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( A.

13 ? + 3 3

B.5+ D.

C.5+

? 3

13 ? + 3 2

? 4

二.填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分). 13.若向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (0, ?1) ,则 | a ? b | 的最大值为 14. 在 x ( x ? ) 的展开式中, x 的系数为
9



1 x

. (用数字填写答案)

15. 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个 数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn , n ? 1 ,则数列 an 的通项公式为 16. 已知三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在平面 ABC 内的射影为点 H ,侧棱 PA ? PB ? PC , 点 O 为 三 棱 锥 P ? ABC 的 外 接 球 O 的 球 心 , AB ? 8 , AC ? 6 , 已 知

???? ??? ? ???? AO ? ? AB ? ? AC ?

? 1 ??? HP ,且 ? ? ? ? 1 ,则球 O 的表面积为___________. 1? 3

三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分)

DD :C A D : 如图, 在 ?ABC 中,AD ? BC , 垂足为 D , 且B
(1)求 ?BAC 的大小; (2)若 E 在 AC 上,且 AC ? 3 AE 。已知 ?ABC 的面积为 15, 求 BE 的长。

? 2:3 :6

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 F ? ABCD 的 底 面 A B C D 是菱形,其对角线

AC ? 2, BD ? 2 , AE 、 CF 都与平面 ABCD 垂直, AE ? 1, CF ? 2 .
(1)求二面角 B ? AF ? D 的大小; (2) 在答题卡的图中画出四棱锥 F ? ABCD 与四棱锥 E ? ABCD 的 公共部分,并计算此公共部分的体积.

19.

(本题满分 12 分)

某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系, 对该校 200 名高三学生的课外体 育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如下表: (平均每天锻炼的时间单位:分钟) 平均每天锻炼

[0,10)

[10, 20)

[20,30)

[30, 40)

[40,50)

[50,60)

的时间(分钟) 总人数 20 36 44 50 40 10

将学生日均课外课外体育运动时间在 [40, 60) 上的学生评价为“课外体育达标”. (Ⅰ)请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并通过计算判断是否能在犯 错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关? 课外体育不达标 男 女 合计 (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校高三学生中,抽取 3 名学生,记 被抽取的 3 名学生中的“课外体育达标”学生人数为 X ,若每次抽取的结果是相互独立 的,求 X 的数学期望和方差. 参考公式: K = 参 考 数据:
2

课外体育达标

合计

20

110

? a ? b? ? c ? d ? ? a ? c ? ? b ? d ?
0.10 2.706 0.05 3.841

n ? ad ? bc ?

2

,其中 n ? a ? b ? c ? d . 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P ? K 2 ≥ k0 ?
k0

20.(本小题满分 12 分) 抛物线 C1 : y2 ? 2 px( p ? 0) ,圆 C2 : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1,抛物线 C1 上只有顶点在圆 C2 上,其他点均在圆 C2 的外面。 (1)求 p 的取值范围; ( 2 ) 过 抛 物 线 C1 上 一 定 点 M ( x0 , y0 ) (y0?

0, ) 作两条直线分别交抛物线于

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,当 MA 与 MB 的斜率存在且倾斜角互补时,证明直线 AB 的斜率是非
零常数。

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x ) ?

1? x x e , 1 ? x2

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)证明: f ( x1 ) ? f ( x2 )( x1 ? x2 ) 时, x1 ? x2 ? 0

请考生在第(22) 、 (23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按 所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 正方形 ABCD 边长为 2 , 以 A 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为 直径的半圆 O 交于点 F ,连结 BF 并延长交 CD 于点 E . (1)求证: E 为 CD 的中点; (2)求 EF ? FB 的值.
A D E F O C

B

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C : ( x ?1) ? y ? 1 .直线 l 经过点 P ( m,0) ,且倾斜角为
2 2

? .以 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. 6
(1)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,且 PA ? PB ? 1,求实数 m 的值.

广东仲元中学 2015 学年第二学期期末考试高二年级 理科数学试卷答案
一.选择题 二.填空题 1-5 CADBB 13. 2 14.-84 6-10 CAACB 11-12 CD 16. 150 ? 15. an ? n ? 2, n ? N *

17. (1) tan ?BAD ?

1 1 , tan ?CAD ? , 3 2

1 1 ? 则 tan ?BAC ? tan(?BAD ? ?CAD) ? 3 2 ? 1 , 1 1 1? ? 3 2
又 ?BAC ? (0, ? ) ,故 ?BAC ?

?
4

.

2 (2)设 BD ? 2t (t ? 0) ,则 DC ? 3t , AD ? 6t ,由已知得 15t ? 15 ,则 t ? 1 ,

故 BD ? 2 , DC ? 3 , AD ? 6 , AE ?

1 AC ? 5 , AB ? 2 10 , 3

2 2 2 在 ?ABE 中,由余弦定理得 BE ? AB ? AE ? 2 AB ? AE ? cos ?A ? 25 ,? BE ? 5 .

18. 解: (1)法 1:连接 AC 、 BD 交于菱形的中心 O ,过 O 作 OG ? AF ,

G 为垂足。连接 BG 、 DG 。? CF ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD ,
BD ? CF

? BD ? AC , BD ? CF , AC ? CF ? C ,? BD ? 平面ACF ,
而 AF ? 平面ACF ,故 BD ? AF 。

? AF ? BD ? ? AF ? 平面BGD , ? AF ? OG ? BD ? OG ? O ?
所以 BG ? AF , DG ? AF , ?BGD 为二面角 B ? AF ? D 的平面角。 由 FC ? AC , FC ? AC ? 2 ,得 ?FAC ?

?
4

, OG ?

2 2

由 OB ? OG, OB ? OD ?

? 2 ,得 ?BGD ? 2?BGO ? 2 2

所以二面角 B ? AF ? D 为直二面角。

法 2:以 A 为坐标原点, BD 、 AC 、 AE 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间 直角坐标系,则 A(0, ?1,0), B(?

??? ?

??? ?

??? ?

2 2 ,0,0), F (0,1, 2), D( ,0,0) 2 2

设平面 ABF 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,

??

?? ??? ? ? 2 ? ? ? n1 ? AB ? 0 ?? x? y ?0 ? x ? ? 2 ?? 则由 ? ?? ???? 得? 2 , 令 z ? 1 ,得 ? , n1 ? (? 2, ?1,1) y ? ? 1 n ? AF ? 0 ? ? ? ?2 y ? 2 z ? 0 ? 1 ? ?? ? 同理,可求得平面 ADF 的法向量 n2 ? ( 2, ?1,1) 。
由 n1 ? n2 ? 0 知,平面 ABF 与平面 ADF 垂直,二面角 B ? AF ? D 的大小等于

?? ?? ?

? 。 2

(2)连 EB, EC , ED ,设直线 AF ? CE ? H ,则公共部分为四棱锥 H ? ABCD 。 过 H 作 HP ? 平面ABCD , P 为垂足。 因为 EA ? 平面ABCD , FC ? 平面ABCD , 所以平面 ACFE ⊥平面 ABCD ,从而 P ? AC , HP ? AC.

2 HP HP AP PC ? ? ? ? 1, 得 HP ? 。 3 CF AE AC AC 1 又因为 S菱形ABCD ? AC ? BD ? 2, 2
由 故四棱锥 H ? ABCD 的体积 V ? 19.解答: (Ⅰ) 课外体育不达标 男 女 合计 60 90 150 课外体育达标 30 20 50 合计 90 110 200 所以在犯错误的概率不超 过 0.01 的前提下不能判断 “课 外体育达标”与性别有关. (Ⅱ)由表中数据可得,抽到“课外体育达标”学生的频率为 0.25,将频率视为概率,
K2= 200 ? ? 60 ? 20 ? 30 ? 90 ? 150 ? 50 ? 90 ? 110
2

1 2 2 S菱形ABCD ? HP ? . 3 9

?

200 ? 6.060 ? 6. 33

1 ? X ? B(3, ), 4

? E( X ) ? 3 ?

1 4

?

3 4

,

D( X ) ? 3 ?

1 4

?

3 4

?

9 . 16

20.解: (1)由已知有 C1 (1, 0) ,设点 D ( x, y ) 为抛物线 C1 上任意一点,则

DC1 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? x 2 ? 2(1 ? p) x ? 1( x ? 0)
令 f ( x) ? x2 ? 2(1 ? p) x ? 1, x ?[0, ??) ,即当且仅当 x ? 0 时, f ( x ) 有最小值 1 , 若 0 ? p ? 1 ,则当 x ? 1 ? p 取到最小值,令 1 ? p ? 0 ,则 p ? 1 ,矛盾; 若 p ? 1 ,则当 x ? 0 取到最小值 1,符合要求, 综上 p ? 1 (2)设直线 MA 的斜率为 k ,直线 MB 的斜率为 ? k , k ? 0 , 直线 MA 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,将 x ?

y2 代入整理得到 2p

2p 2p ? y0 , ,那么 y A ? k k 2p 2y 又 yA ? y0 ? k ( xA ? x0 ) ,整理得到 x A ? 2 ? 0 ? x0 ,将其中的 k 换成 ? k ,得到 k k 2p 2y 2p xB ? 2 ? 0 ? x0 , yB ? ? ? y0 k k k 2p 2p ? ? y0 ? ( ? y0 ) y ? yA p k k 那么直线 AB 的斜率 K AB ? B ? ?? 2 y 2 y 2 p 2 p xB ? xA y0 ? 0 ? x0 ? ( 2 ? 0 ? x0 ) 2 k k k k

ky2 ? 2 py ? 2 py0 ? 2 pkx0 ? 0 ,则 y A ? y0 ?

21.解: (1) f ' ( x) ?

2 (?1 ? 1 ? x)e x ( ? 1 ? x 2 ) ? (1 ? x)e x ? 2 x x ? 3 ? x ? 2x ? xe ? . ( 1 ? x2 )2 ( 1 ? x2 )2

? ? ? 2 2 ? 4 ? 2 ? 0 ? 当x ? ( - ?, 0]时,f ' ( x) ? 0, y ? f ( x)单调递增;

当x ? [0, ? ?)时,f ' ( x) ? 0, y ? f ( x)单调递减 . 0]上单调递增;在x ? [0, ? ?)上单调递减 . 所以, y ? f ( x)在( - ?,
(2)由(1)知,只需要证明:当 x ? 0 时 f ( x) ? f (? x) 即可.

f ( x) ? f (? x) ?

1 ? x x 1 ? x ?x e?x e ? e ? [(1 ? x)e 2 x ? 1 ? x] . 2 2 2 1? x 1? x 1? x

令g ( x) ? (1 ? x)e 2 x ? 1 ? x, x ? 0 ? g ' ( x) ? (1 ? 2 x)e 2 x ? 1 .

令h( x) ? (1 ? 2 x)e 2 x ? 1 ? h' ( x) ? (1 ? 2 x)e 2 x ? ?4 xe 2 x ? 0,
? y ? h( x)在(0, ??)上递减,? h( x) ? h(0) ? 0
? y ? g ( x)在(0, ??)上递减,? g ( x) ? g (0) ? 0
e? x ?y ? [(1 ? x)e 2 x ? 1 ? x]在(0, ??)上递减,而且当x ? 0时y ? 0. 2 1? x
? f ( x) ? f (? x) ? 0 ? f ( x) ? f (? x)
。 ;

所以,当f ( x1 ) ? f ( x 2 )且x1 ? x 2时,x1 ? x 2 ? 0.

? 是以为 A 圆心, DA 为半径作圆,而 22. 解: (Ⅰ)由题可知 BD

ABCD 为正方形,
∴ ED 为圆 A 的切线,依据切割线定理得 ED 2 ? EF ? EB ∵圆 O 以 BC 为直径,∴ EC 是圆 O 的切线, 依据切割线定理得 EC 2 ? EF ? EB ,故 EC ? ED . (Ⅱ)连结 CF ,∵ BC 为圆 O 的直径,∴ CF ? BF 由 S ?BCE ? ∴ E 为 CD 的中点.

1 1 1? 2 2 5 BC ? CE ? BE ? CF ,得 CF ? ? 2 2 5 5
2

又在 Rt ?BCE 中,由射影定理得 EF ? FB ? CF ?

4 . 5

23.解:(1)曲线C的普通方程为: ( x ?1) ? y ? 1,即x ? y ? 2x, 即 ? ? 2? cos ? ,
2 2 2 2 2

即曲线C的极坐标方程为: ? ? 2cos?
? 3 x ? m? t ? ? 2 (t为参数). 直线l的参数方程为 ? ?y ? 1 t ? ? 2
(2) 设A, B两点对应的参数分别为t1 , t2 , 将直线l的参数方程代入 x ? y ? 2x中,
2 2

.

得t 2 ? ( 3m ? 3)t ? m2 ? 2m ? 0, 所以t1t2 ? m2 ? 2m ,

由题意得 | m2 ? 2m |? 1, 得m ? 1,1 ? 2或1 ? 2


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