河南省方城县第一高级中学2019届高三12月月考数学(理)试题

方城县第一高级中学 2019 届高三 12 月月考 数学(理)试题
一 、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.集合 A={1,2},B= {1,2,3} ,P={ x | x ? a ? b ,a ?A,b ? B}, 则集合 P 的元素的个数为 ( A.3 2. 已知复数 z ? ? A. ? B. 4 C. 5 ) C. D. 6 )

1 3 ? i ,则 z ? | z |? ( 2 2
B. ?

1 3 ? i 2 2
B. 2

1 3 ? i 2 2
C. 3

1 3 ? i 2 2
D. 4 ) C. a ? b ? 0
2 2

D.

1 3 ? i 2 2


3. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N (2,9) ,若 P(? ? c) = P(? ? c ? 2) ,则 c 的值是( A. 1 4. 函数

f ( x) ? x x ? a ? b

是奇函数的充要条件是( B. a ? b ? 0

A. ab ? 0 5. 设双曲线 A.ln2

Da ? b )

a 1 x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0? 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 ? ( ) dx 的值为( 2 1 x 9 a

B. 0

C. ln3

D. 1

6. 某同学有相同的名信片 2 张,同样的小饰品 3 件,从中取出 4 样送给 4 位朋友,每位朋友 1 样, 则不同的赠送方法共有( A.4 种 B. 10 种 ) C. 18 种 D. 20 种

7. 执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数 ① f ?x ? ? sin x ② f ?x ? ? cos x ) C. 2 个 D. 3 个 ③ f ?x ? ? e
| x|

④ f ?x ? ?| ln x |

则输出的函数的个数为( A. 0 个 B. 1 个

8 若 G 是 ?ABC 的重心, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若
aGA ? bGB ? 3 cGC ? 0 ,则角 A ? ( ) 3 B. 60 C. 45 D. 30
·1·

A. 90

9. 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ( )

1 ,则该几何体的俯视图可以是 2

10. 对于函数 f ( x) ? e ax ? ln x ,( a 是实常数),下列结论正确的一个是( A. a ? 1 时, f ( x ) 有极大值,且极大值点 x0 ? ( ,1) B. a ? 2 时, f ( x ) 有极小值,且极小值点 x0 ? (0, ) C. a ?



1 2

1 4

1 时, f ( x ) 有极小值,且极小值点 x0 ? (1,2) 2

D. a ? 0 时, f ( x ) 有极大值,且极大值点 x0 ? (??,0) 11. 已知函数 f ? x ? ?| 1 ? A. ab ? 1 C. ab ?

1 | ? x ? 0 ? ,当 0 ? a ? b ,若 f ?a ? ? f ?b? 时,则有( x
B. ab ? 1 D. ab ?



1 2

1 2
3 平面上任一点 P 关

12. 在平面斜坐标系

xoy 中,x 轴方向水平向右, y 轴指向左上方,且∠xoy=2?.

→ xe ? ye2 e ,e y 于斜坐标是这样定义的:若OP= 1 (其中向量 1 2 分别为 x 轴、 轴同方向的单位向量) ,则 P 点的斜坐标为 ( x, y ) .那么以 O 为顶点,F(1,0)为焦点,x 轴为对称轴的抛物线方程为( A. 3 y ?16x ? 8 y ? 0
2



B. 3 y ? 16x ? 8 y ? 0
2

C.

3 y2 ? 1 6x ? 8y ? 0

D. 3 y ? 16x ? 8 y ? 0
2

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.已知△ ABC 的角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , cos A ?

3 ? , b ? 5 3 , B ? ,则 5 3


a ? __________.
14. 在区间 [0,2] 和 [0,1] 分别取一个数,记为 x、y,则 y ? ? x ? 2x 的概率为
2

·2·

15.设 g ?( x ) 是函数 g ( x) 的导函数,且 f ( x) ? g ?( x) .现给出以下四个命题: ①若 f ( x ) 是奇函数,则 g ( x) 必是偶函数; ②若 f ( x ) 是偶函数,则 g ( x) 必是奇函数;

③若 f ( x ) 是周期函数,则 g ( x) 必是周期函数;④若 f ( x ) 是单调函数,则 g ( x) 必是单调函数. 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号)

16. 已知 f ?x ? ? | cos x | ?x ? 0? , y ? g ( x) 是经过原点且与 f ?x ? 图像恰有两个交点的直线,这两个 交点的横坐标分别为 ? , ? (0< ? < ? ) ,那么下列结论中正确 的有______. .. ① f ?x ? ? g ?x ? ? 0 的解集为[ ? , ? ? ) ② y ? f ?x ? ? g ?x ? 在(0, ? )上单调递减 ③ ? cos ? ? ? cos? ? 0 ④当 x ? ? 时, y ? f ?x ? ? g ?x ? 取得最小值 三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) 已知正项数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若
p ?q {an } , 若对于任意正整数 p、q 均有 ap ? aq ? 2 成立.

{an } 的通项公式;

bn ? nan , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 12 分) 某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,每个 用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是 10 分。上个月该网站共卖出了 100 份团 购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一 组[0,2) ,第二组[2,4) ,第三组[4,6) ,第四组[6,8) ,第五组[8,10],得到的频率分布直方图如 图所示。

·3·

(Ⅰ)分别求第三,四,五组的频率; (Ⅱ)该网站在得分较高的第三,四,五组中用分层抽样的方法抽取 6 个产品。 ①已知甲产品和乙产品均在第三组,求甲、乙同时被选中的概率; ②某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买,设第 4 组中有 X 个产品被购买,求 X 的分布列 和数学期望。

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 4 正三角形,AA1⊥平面 ABC,AA1= 2 6 , M 为

A1B1 的中点.
(I)求证:MC⊥AB; (II)在棱 CC1 上是否存在点 P ,使得 MC ? 平面 ABP ?若存在, 确定点 P 的位置;若不存在,说明理由. (Ⅲ)若点 P 为 CC1 的中点,求二面角 B ? AP ? C 的余弦值. 20. (本大题满分 12 分)

? x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,过点 A(- a ,0) ,B(0, b )的直线的倾斜角为 ,原点 6 a b
到该直线的距离为

2 , 2

(1)求椭圆的方程; (2)是否存在实数 k ,直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 Q,P 两点,以 PQ 为直径的圆过点
·4·

D(-1,0) ,若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本大题满分 12 分) 设函数 f ?x? ? x ? e kx ?k ? 0? (1)求曲线 y ? f ?x ? 在点(0, f ?0? )处的切线方程; (2)求函数 f ?x ? 的单调区间; (3)若函数 f ?x ? 在区间(-1,1)内单调递增,求 k 的取值范围

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B,C 两点,D 是圆上一点,且 AB∥CD,DC 的 延长线交 PQ 于点 Q。

(Ⅰ)求证:AC2=CQ·AB; (Ⅱ)若 AQ=2AP,AB= 3 ,BP=2,求 QD。

·5·

23. (本小题满分 10 分)选修 4 一 4 坐标系与参数方程 在极坐标系下,已知圆 O ? ? cos ? ? sin ? 和直线 l (I)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (II)求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .

? 2 ? sin(? ? ) ?
4

2 .

24. (本小题满分 10 分) 选修 4―5 不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?5 x . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 5x ? 1 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤0 的解集为 {x | x ? ?1} ,求 a 的值.

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