高二数学人教版课件第三章 3.2 第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)


3.2 第二 课时 第 三 章 一元 二次 不等 式及 其解 法(习 题课)

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第二课时

一元二次不等式及其解法(习题课)

1.如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之 间的关系?

2.判别式Δ的值对一元二次不等式的解集有何影响?

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[例 1]

解下列不等式

x+2 x+1 (1) <0;(2) ≤2. 1-x x-2

[解]

x+ 2 x+2 (1)由 <0,得 >0, 1- x x-1

此不等式等价于(x+2)(x-1)>0, ∴原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}.
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x+1 -x+5 (2)法一: 移项得 -2≤0, 左边通分并化简有 ≤0, x-2 x- 2 x- 5 即 ≥0, x- 2
? ??x-2??x-5?≥0, 它的同解不等式为? ? ?x-2≠0,

∴x<2 或 x≥5.

∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.法二:原不等式可化 x- 5 为 ≥0, x- 2

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? ?x-5≥0, 此不等式等价于 ? ? ?x-2>0

? ?x-5≤0, ①或 ? ? ?x-2<0,

②解①得

x≥5,解②得 x<2, ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.

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[类题通法] 1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不 等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项 再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上 述方法求解.

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[活学活用] 1.解下列不等式: x+2 (1) ≥0; 3-x 2x-1 (2) >1. 3-4x

? ??x+2??3-x?≥0, 解:(1)原不等式等价于? ? ?3-x≠0, ? ??x+2??x-3?≤0, 即? ? ?x≠3

?-2≤x<3.

∴原不等式的解集为{x|-2≤x<3}.

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2x-1 3x-2 (2)原不等式可化为 -1>0,即 <0. 3-4x 4x-3 等价于(3x-2)(4x-3)<0. 2 3 ∴ <x< . 3 4 2 3 ∴原不等式的解集为{x| <x< }. 3 4

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[例 2]

关于 x 的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1 对 x∈R 恒成

立,求实数 m 的取值范围.

[解]

原不等式等价于 mx2+mx+m-1<0,对 x∈R 恒成立,

当 m=0 时,0· x2+0· x-1<0 对 x∈R 恒成立.当 m≠0 时,由题意,
? ?m<0, 得? 2 ? ?Δ=m -4m?m-1?<0 ? ?m<0, ?? 2 ? ?3m -4m>0

? ?m<0, ?? 4 ? ? ?m<0,或m>3

m<0.综上,m 的取值范围为 m≤0.

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[类题通法] 不等式对任意实数 x 恒成立, 就是不等式的解集为 R, 对于一 元 二 次 不 等 式 ax2 + bx + c > 0 , 它 的 解 集 为 R 的 条 件 为
? ?a>0, ? 2 ? ?Δ=b -4ac<0;

一元二次不等式 ax2+bx+c≥0, 它的解集为 R

? ?a>0, 的条件为? 2 ? Δ = b -4ac≤0; ? ? ?a<0, 集为?的条件为? ? ?Δ≤0.

一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解

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[活学活用] 2.若关于 x 的不等式 ax2+2x+2>0 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

解:当 a=0 时,原不等式可化为 2x+2>0,其解集不为 R,故 a=0 不满足题意,舍去;当 a≠0 时,要使原不等式的解集为 R,只
? ?a>0, 需? 2 ? ?Δ=2 -4×2a<0, ?1 ? ? ,+∞?. ?2 ?

1 解得 a> .综上,所求实数 a 的取值范围为 2

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[例 3]

某农贸公司按每担 200 元收购某农产品,并按每 100

元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点),计划可收购 a 万担, 政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低 x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加 2x 个百分点. (1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后, 不少于原计划税收的 83.2%, 试确定 x 的取值范围.

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[ 解]

(1)降低税率后的税率为(10-x)%, 农产品的收购量为

a(1+2x%)万担,收购总金额为 200a(1+2x%).依题意得,y= 1 200a(1 + 2x%)(10 - x)% = a(100 + 2x)(10 - x)(0 < x < 10). (2) 50 1 原计划税收为 200a· 10%=20a(万元). 依题意得, a(100+2x)(10 50 -x)≥20a×83.2%,化简得 x2+40x-84≤0,∴-42≤x≤2.又 ∵0<x<10,∴0<x≤2.∴x 的取值范围是{x|0<x≤2}.

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[类题通法] 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是: (1)理解题意,搞清量与量之间的关系; (2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元 二次不等式问题; (3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.

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[活学活用] 3.某校园内有一块长为 800 m,宽为 600 m 的长方形地面,现要 对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草 坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围.
解:设花卉带的宽度为 x m,则中间草坪的长为(800-2x) m,宽 1 为(600-2x) m.根据题意可得(800-2x)(600-2x)≥ ×800×600,整 2 理得 x2-700x+600×100≥0, 即(x-600)(x-100)≥0, 所以 0<x≤100 或 x≥600,x≥600 不符合题意,舍去. 故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.

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5.探究不等式恒成立的问题
[典例] 已知 f(x)=x2+2(a-2)x+4,
由题意可知,只有当二次函数 f(x)=x2+2(a-2)x+4

如果对一切 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围;
[ 解]

的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点时,才满足题意,

则其相应方程 x2+2(a-2)+4=0 此时应满足 Δ<0,即 4(a-2)2- 16<0,解得 0<a<4.故 a 的取值范围是{a|0<a<4}.

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【探究一】

解决此类问题要注意三个“二次”之间的相互联

系, 并能在一定条件下相互转换, 若一元二次不等式的解集为 R 或?, 则问题可转化为恒成立问题, 此时可以根据二次函数图象与 x 轴的交 点情况确定判别式的符号,进而求出参数的范围. 【探究二】 若 x2 的系数为参数, 应参考本节例 2 及变式的解法. 【探究三】 对于 x∈[a,b],f(x)<0(或>0)恒成立,应利用函

数图象.如:是否存在实数 a,使得对任意 x∈[-3,1],f(x)<0 恒成 立.若存在求出 a 的取值范围;若不存在说明理由.

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[解]

若对任意,x∈[-3,1],f(x)<0恒成立,则满足题意

的函数f(x)=x2+2(a-2)x+4的图象如图所 示.由图象可知,此时a应该满足 ?f?-3?<0, ? ?f?1?<0, ?-3<2-a<1, ?

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?25-6a<0, ? 即?1+2a<0, ?1<a<5, ?

25 ? ?a> 6 , ? 1 解得? ?a<-2, ? ?1<a<5.

这样的实数a是不存在的,所以不存在实数a满足:对任意x ∈[-3,1],f(x)<0恒成立.

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【探究四】 量.如:

对此类问题,要弄清楚哪个是参数,哪个是自变

已知函数 y=x2+2(a-2)x+4, 对任意 a∈[-3,1], y<0 恒成立, 试求 x 的取值范围.

解:原函数可化为g(a)=2xa+x2-4x+4,是关于a的一元一次 函数.要使对任意a∈[-3,1],y<0恒成立,只需满足
? ?g?1?<0, ? ? ?g?-3?<0,
2 ? ?x -2x+4<0, 即? 2 ? ?x -10x+4<0.

因为x2-2x+4<0的解集是空集,所以不存在实数x,使函数y =x2+2(a-2)x+4,对任意a∈[-3,1],y<0恒成立.

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[随堂即时演练] x-2 1.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B={x| x ≤0},则A∩B= ( A.{x|-1≤x<0} C.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1} )

解析:∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤1}.

答案:B

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2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是 ( A.-4≤a≤4 C.a≤-4或a≥4 B.-4<a<4 D.a<-4或a>4 )

解析:依题意应有Δ=a2-16≤0,解得-4≤a≤4,故选A.

答案:A

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x+1 3.不等式 ≤3的解集为________. x

x+1 x+1 2x-1 解析: ≤3? -3≤0? ≥0?x(2x-1)≥0且 x x x 1 x≠0?x<0或x≥ . 2 ?

1? 答案:?x|x<0或x≥2? ? ?

4.若函数f(x)=log2(x2-2ax-a)的定义域为R,则a的取值范围为 ________.

解析:已知函数定义域为R,即x2-2ax-a>0对任意x∈R恒 成立.∴Δ=(-2a)2+4a<0.解得-1<a<0.
答案:(-1,0)

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5.你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形 吗?

解:设围成的矩形一边的长为x m,则另一边的长为(50- x) m,且0<x<50. 由题意,得围成矩形的面积S=x(50-x)>600, 即x2-50x+600<0,解得20<x<30. 所以,当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时,能围成 一个面积大于600 m2的矩形.
“课时达标检测”见“课 时跟踪检测(十六)”

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