河南省方城县第一高级中学2019届高三12月月考数学(文)试题

方城县第一高级中学 2019 届高三 12 月月考 数学(文)试题

第 I 卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1. 设集合 M ? ?y y ? 2sin x, x ???5,5??, N ? ?x y ? log2 ? x ?1??,则M ? N ? ( )

A.?x 1? x ? 5?

B.?x 1? x ? 0?

C.?x ? ? ? x ? 0?

D.?x 1? x ? 2?

2. i 为虚数单位,复数 i 在复平面内对应的点到原点的距离为( ) i ?1

A. 1

B. 2

C. 1

2

2

3. 设 a ? 40.1, b ? log3 0.1, c ? 0.50.1 ,则 (

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

D. 2
)
C. a ? c ? b

D. b ? c ? a

4. 已知向量 a ? b ? ?2, ?8? , a ? b ? ??8,16? ,则 a 与 b 夹角的余弦值为( )

A. 63 65

B. ? 63 65

C. ? 63 65

5. 下列说法中正确的说法的个数是( )

D. 5 13

(1)命题“ ?x ? R ,使得 2 x ? 3 ”的否定是“ ?x ? R ,使得 2 x ? 3 ”

(2)命题“函数 f ?x? 在 x ? x0 处有极值,则 f ??x0 ? ? 0 ”的否命题是真命题 (3) f ?x? 是( ? ? ,0)∪(0, ? ? )上的奇函数, x ? 0 时的解析式是 f ?x? ? 2x ,则 x ? 0 的

解析式为 f ?x? ? ?2?x 。

A.0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

6.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图

x 的值是(



A.3

B. 9 2

C. 3 2

D.2

7. 已知数列?an ?为等差数列,?bn ?为等比数列,且满足

x

2 正视图

11 侧视图

中的

·1·

俯视图

a1003

? a1013

??

, b6

? b9

?

2 ,则 tan a1 ? a2015
1 ? b7b8

?(



A.1

B. ?1

C. 3

D. 3

3

?x ? 2y ?1? 0
8.若点 M( x, y )为平面区域 ??x ? y ? 1 ? 0 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值是( )
??x ? 0

A.?1

B.1

C.0

D. ? 1 2

9. 已知 m, n, l1, l2 表示直线, ? ,? 表示平面.若 m ? ? , n ? ? ,l1 ? ? ,l2 ? ? ,l1 l2 ? M ,则 ? / /? 的

一个充分条件是( )

A. m / /?且l1 / /? B. m / /?且n//? C. m / /?且n / /l2 D. m / /l1且n / /l2

10.

函数

f

?

x?

?

sin

?2

x

?

?

?

? ??

?

?

? 2

? ??

的图象向左平移

? 6

个单位后关于原点对称,则函数

f(x)在

???0,

? 2

? ??

上的最小值为

A. ? 3 2

B. ? 1 2

C. 1 2

D. 3 2

11.

已知数列{an} 中满足 a1

? 15 , an?1 ? an n

? 2 ,则 an n

的最小值为(



A. 7

B. 2 15 ?1

C.9

D. 27

4

12. 已知定义的 R 上的偶函数 f ? x? 在 [0,??) 上是增函数,不等式 f (ax ?1) ? f (x ? 2) 对任意

x

?

? ??

1 2

,1???

恒成立,则实数

a

的取值范围是(

)

A.??3, ?1?

B. ??2, 0?

C. ??5, ?1?

D. ??2, 1?

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 一 个 平 面 截 一 个 球 得 到 直 径 是 6 的 圆 面 , 球 心 到 这 个 平 面 的 距 离 是 4 , 则 该 球 的 体 积



.

14. 设 f ? x? 是定义在 R 上的偶函数,且对于 ?x ? R 恒有 f (x) ? f (x ? 2) ,已知当 x ??0, 1? 时,

f

?

x

?

?

? ??

1 2

?1? ??

x





f

? x? 的周期是 2;

③ f ? x? 的最大值是 1,最小值是 0;

② f ? x? 在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;

④当

x ??3,

4?

时,

f

?x?

?

? ??

1 2

x?3
? ??

·2·

其中正确的命题的序号是

.

? ? 15. 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 Sm?1 =-2, Sm =0, Sm?1 =3,则 m =______.

16.在 ?ABC 中,点 D 是 BC 中点,若 ?A ? 60? , AB AC ? 1 ,则| AD | 的最小值是

.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题 10 分)

已知数列?an ?是公比不为1的等比数列, a1 ? 1 ,且 a1, a3 , a2 成等差数列.

(Ⅰ)求数列?an ?的通项;

(Ⅱ)若数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,试求 Sn 的最大值.

18.(本小题 12 分)

已知函数

f

? x? ? sin ??x ?? ?????

? 0, ?

?

? 2

? ??

的部分图象如图所示.

(Ⅰ)求函数 f ? x? 的解析式,并写出 f ? x? 的单调减区间;

(Ⅱ)已知 ?ABC 的内角分别是 A,B,C,角 A 为锐角,且

f

? ??

A 2

?

? 12

? ??

?

1 2

,

cos

B

?

4 ,求sinC 5

的值.

19.(本小题 12 分)

设 ?ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,满足 2a sin A ? (2b ? 3c)sin B ? (2c ? 3b)sin C (Ⅰ)

求角 A 的大小;

(Ⅱ)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

20.(本小题 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB//CD ,AD=DC=CB=a,

?ABC ? 60 ,四边形 ACFE 是矩形,且平面 ACFE ? 平



ABCD,点 M 在线段 EF 上.
(I)求证: BC ? 平面 ACFE;
(II)当 EM 为何值时,AM//平面 BDF?证明你的结论.

20 题图

·3·

21.(本小题 12 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 6 ,?BAD ? 60 , AC BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 .
21 题图
(1)求 证 : OM // 平 面 ABD; (2)求 三 棱 锥 M ? A B D的 体 积 .
22.(本大题满分 12 分)
设函数 f ?x? ? e x ? ax ?1 ( e 为自然对数的底数), (Ⅰ)当 a =1 时,求过点(1, f ?1?)处的切线与坐标轴围成的面积; (Ⅱ)若 f ?x? ? x 2 在(0,1)恒成立,求实数 a 的取值范围.
·4·

一、选择题

方城一高 2019 年 12 月月考
高三文科数学答案

二、填空题

13、 500? 14.①②④ 15.5 16. 3

3

2

18.

解:(Ⅰ)由周期 1 T ? 2π ? π ? π , 得T ? π ? 2π ,

2 3 62

?

所以? ? 2.

……2 分

当 x ? π 时, f (x) ? 1,可得 sin(2 ? π ? ?) ? 1.

6

6

因为 ? ? π , 所以? ? π . 故 f (x) ? sin(2x ? π).

2

6

6

……………………4 分

由图象可得

f

(x)

的单调递减区间为

???kπ

?

π 6

, kπ

?

2π 3

? ??

,

k

? Z.

………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, sin[2( A ? ? ) ? ? ] ? 1 , 即 sin A ? 1 ,

2 12 6 2

2

又角 A 为锐角,∴ A ? π . 6

…………8 分

·5·

?0 0??BB??π?,,?sin B ? 1? cos2 B ? 3 . 5
?sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin(A ? B)
? sin AcosB ? cosAsin B ? 1 ? 4 ? 3 ? 3 ? 4 ? 3 3 . 2 5 2 5 10

……………9 分 …………10 分
……12 分

20.解析:(Ⅰ)在梯形 ABCD中,? AB// CD , AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60 ? , ? 四边形 ABCD是等腰梯形, 且 ?DCA ? ?DAC ? 30 ? , ?DCB ? 120 ? ,

??ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ,

? AC ? BC.

…………3 分

又 平面 ACFE ?平面 ABCD,交线为 AC ,

?BC ? 平面 ACFE .

…………6 分

·6·

21.
(1)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点,

所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点,

所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . …………………………………… 2 分

因为 OM ? 平面 ABD, AB ? 平面 ABD,

所以 OM // 平面 ABD.

………………………………… 4 分

(2)三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积.

由题意, OM ? OD ? 3,

因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90 , OD ? OM . 又因为菱形 ABCD,所以 OD ? AC . 因为 OM AC ? O ,所以 OD ? 平面 ABC ,即 OD ? 平面 ABM 所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高. ………………………………… 7 分

?ABM 的面积为 S?ABM =

1 BA? BM ? sin120 2

? 1 ?6?3? 2

3?9 3 2 2,

所求体积等于VM ?ABD =VD?ABM

?

1 3

?

S?ABM

? OD ?

93 2.

……………… 12 分

22.解析:(Ⅰ)当 a ? 1时, f (x) ? ex ? x ? 1 , f (1) ? e , f ?(x) ? ex ? 1 , f ?(1) ? e ? 1 ,
·7·

函数 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? e ? (e ? 1)(x ? 1) ,即 y ? (e ? 1)x ? 1

设切线与 x、y 轴的交点分别为 A,B.

令 x ? 0 得 y ? ?1 ,令 y ? 0 得 x ? 1 ,∴ A( 1 , 0) , B(0, ?1)

e ?1

e ?1

11

1

S△OAB

?

2

?

e

?1? ?1

2(e

? 1)

.

在点 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 1 2(e ? 1)

…………5 分

·8·


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