2014辽宁学业水平测试预测题(最新版)数学(二)答案

2014 年沈阳市省普通高中学生学业水平模拟考试(二) 数学学科参考答案及评分细则

(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 100 分,考试时间 90 分钟)
参考公式: 柱体体积公式 V ? Sh ,锥体体积公式 V ? 球的体积公式 V ?

1 : Sh (其中 S 为底面面积, h 为高) 3

4 3 ?R (其中 R 为球的半径). 3

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、D;2、D;3、D;4、C;5、B;6、B;7、A;8、C;9、A;10、D;11、B;12、A.

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分,要求直接写出结果,不必写出计算 过程或推证过程 13、4;14.

1 ? 4 3? ? 4 3? ? 1? ;15、 ? , ? 或 ? ? , ? ? ;16、 ? 0, ? . 3 ?5 5? ? 5 5? ? 5?
?? ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(1)∵ m ? ? a, b ? , n ? ? sin B, ? cos A ? ,且 m ? n ? 0 , ∴ a sin B ? b cos A ? 0 ,∴由正弦定理得 sin A sin B ? sin B cos A ? 0 . ∵ 0 ? B ? ? ,∴ sin B ? 0 ,∴ sin A ? cos A , tan A ? 1. ∵ 0 ? A ? ? , sin A ? cos A ? 0 ,∴ A ?
2 2

?? ?

?

4

.
2 2

(2)∵ a ? 10 ,∴由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 10 , 即 b ? c ? 2bc ? 100 .
2 2

2 2 ∵ b ? c ? 2bc ,∴ 100 ? 2bc ? 2bc ,∴ 100 ? 2 ? 2 bc .

?

?

∵S ?

1 2 2 100 bc sin A ? bc ? ? ? 25 2 4 4 2? 2

?

2 ?1 ,

?

∴当且仅当 b ? c 时, △ABC 面积有最大值,最大值为 25

?

2 ?1 .

?

数学试卷

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18.(1)∵ f ? x ? 在 ? 2, ?? ? 上单调递增,在 ? ??, 2 ? 上单调递减, ∴函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 2 ? x ? a ? 1 对称轴为 x ? ?
2

a?2 ? 2 ,∴ a ? ?2 , 2

∴ f ? x ? ? x ? 4x ? 3 .
2 2 (2)∵ f ? x ? ? x ? 4 x ? 3 ,∴当且仅当 x ? 2 时, f ? x ? min ? ?3 ?

? ?4 ?

2

4 ?1

? ?7 .

2 2 (3)∵ f ? x ? ? ?2 ,∴ x ? 4 x ? 3 ? ?2 ,∴ x ? 4 x ? 1 ? 0 .

∵ x1,2 ?

4 ? 16 ? 4 ? 1? ? ?1? 2

? 2? 5,

∴不等式 f ? x ? ? ?2 的解集为 ??, 2 ? 5 ? ? ? 2 ? 5, ?? .

?

?

?

?

19. AG∥平面BEC1 . 证明:连结 AF , AD1 .∵ E , F 为 DD1 , BB1 的中点,∴ ED1 与 BF 平行且相等, ∴四边形 BED1 F 为平行四边形,
D1 C1 G E B1 F D C B

∴ D1F∥BE ,∴ D1 F∥平面BEC1 . ∵四边形 ABC1 D1 为平行四边形, ∴ A1 D∥BC1 ,∴ AD1∥平面BEC1 . ∵ AD1 ? D1 F ? D1 ,∴平面 AFD1∥平面BEC1 . ∵ AG ? 平面AFD1 ,∴ AG∥平面BEC1 .

A1

A

20. (1)∵等差数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n , a5 ? a6 ? 11 , S 4 ? 10 ,

?a1 ? 4d ? a1 ? 5d ? 11 ? 2a1 ? 9 d ? 11 ?a1 ? 1 ? ∴? ,∴ ? ,∴ ? , 4?3 4a1 ? d ? 10 ?d ? 1 ? 2a1 ? 3d ? 5 ? ? 2
∴数列 {a n } 的通项公式为 an ? n . (2)∵数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,∴ bn ? 2
n ?1

.

数学试卷

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∵数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn , ∴ Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 2
2 3 n ?1


n

∴ 2Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 , 两式相减得 ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 n ?1

? n ? 2n ,
n

∴ Tn ? n ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
n 2 3

?

n ?1

? ? n?2
2

?

1 ? 2n ? ? n ? 1? 2n ? 1 1? 2

解: (1)解法 1:∵圆心 C 在直线 x ? 3 上, ∴设圆 C 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? b ? ? R .
2 2

∵圆 C 经过 A ? 5, 2 ? , B 3 ? 2, 2 ? 2 ,

?

?

?? 5 ? 3?2 ? ? b ? 2 ?2 ? R 2 ? ∴? 2 3? 2 ?3 ? b ? 2? 2 ? ?

?

? ? ?

?

2

? R2



?4 ? ? b ? 2 ?2 ? R 2 ?b ? 2 ? ∴? ,∴解方程组得 ? , 2 2 R ? 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 ? R ? ?

?

∴设圆 C 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 .
2 2

解法 2:∵圆 C 经过 A ? 5, 2 ? , B 3 ? 2, 2 ? 2 , ∴圆心 C 在 AB 的垂直平分线 l 上,且 AB 的中点坐标 D ? 4 ?

?

?

? ? ?

2 2? ,2 ? ?. 2 2 ? ?

∵ k AB ?

y A ? yB 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? 1 ,∴ kl ? ? xA ? xB 5 ? 3 ? 2 2? 2
? ? ? 2? ??? 2 ? ?

? ?

? ?

?

2 ?1 .

?

∴直线 l 方程为 y ? ? 2 ?

?

? 2? 2 ?1 ? ?x?4? 2 ? ?. ? ?

?

∵圆心 C 在直线 x ? 3 上,∴ y ? ? 2 ?

? ? ?

2? ??? 2 ? ?

?

? 2? 2 ?1 ? ? 1 ? ?, ? 2 ? ? ?

?

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∴y?

?

? 2? 2 2 ?1 ? 1 ? ? 2 ? ? 2 ,∴圆心 C ? 3, 2 ? , ? ? ? 2 2 ? ?

?

∵R?

?5 ? 3? ? ? 2 ? 2?
2

2

? 2 ,∴圆 C 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 .
2 2

(2)当斜率不存在时,不存在经过 D ? 0,1? 的切线; 解法 1:当斜率存在时,设切线的斜率为 k ,则切线方程为 y ? kx ? 1 .

解方程组 ?
2

? ? y ? kx ? 1 , 2 2 x ? 3 ? y ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? ?
2

2 2 得 ? x ? 3? ? ? kx ? 1? ? 4 ,即 k ? 1 x ? 2 ? k ? 3 ? x ? 6 ? 0 .

?

?

2 ∵方程有唯一一个解,∴ ? ? 4 ? k ? 3? ? 4 ? 6 k ? 1 ? 0 ,∴ 5k ? 6k ? 3 ? 0 ,
2 2

?

?

∴解方程得 k ?

3? 2 6 3? 2 6 x ?1. ,所以切线方程 y ? 5 5

解法 2:∵直线与圆相切,∴圆心 C ? 3, 2 ? 到直线 kx ? y ? 1 ? 0 的距离等于圆的半径, ∴d ? r ?

3k ? 2 ? 1 k ?1
2

? 2 ,∴

3k ? 1 k ?1
2

? 2 ,∴ 4k 2 ? 4 ? 9k 2 ? 6k ? 1 ,

∴ 5k ? 6k ? 3 ? 0 ,∴解方程得 k ?
2

3? 2 6 3? 2 6 x ?1. ,所以切线方程 y ? 5 5

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