上海高中数学辅导班 上海高二秋季班


课前检测 n ' ' n ?1 1、 ; C ? 0 (C为常数); ( x ) ? nx ' ' ?sin x ? ? cos x ; (cosx) ? ? sin x

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?1? 2、

?u ? v ? ? ; ' ?2? ?u ? v ? ? u ??v? ?v u?v.?
'

' 特批: x

? 1

(Cu) ?
'

Cu ? ?C为常数?; (kx ? b) ? k .
'

?1? ? ; ? ? ? x2 ; ? x?

'

1

? x? ? 2
'

1 x .

求函数的导数的方法是:(三步法)

步骤:

(1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2) 算 比 值 ? ; ?x ?x ?y ( 3) 当?x ? 0时, 则 ? f ?( x); ?x

审给定函数y=f(x)
计算 ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? ?x ?x

令?x无限趋近于0
?y 无限趋近于f ' ( x) ?x

f? (x)
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示例1用导数的定义求下列各函数的导数:
(1) f ( x) ? kx ? b(其中k , b为常数) ( 2) f(x) ? C (C为常数) ( 3) f ( x ) ? x

1 (6 ) f ( x ) ? (7 ) f ( x ) ? x x ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) k ( x ? ?x ) ? b ? ( kx ? b) (1)提 示 : ? ? ?k ?x ?x ?x ?y ?当?x ? 0时 , ? k ?x 即f ' ( x ) ? k

(4) f ( x) ? x 2

(5) f ( x) ? x 3

(1)( kx ? b )' ? k ( k , b为常数) ( 2 )C ' ? 0(C为常数) ( 3)( x )' ? 1 (4)(x 2 )' ? 2x (5)(x 3 )' ? 3 x 2 1 ' 1 (6 )( ) ? ? 2 x x 1 ' (7 )( x ) ? a a ?1 ? 对 幂 函 数 y ? x 求 导 公 式 为 : y ? ax 2 x
口 诀 为: 求 导 幂 减 一 , 原 幂 作 乘 数.

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(1)( x ) ? ?x
x ' x

? '

? ?1

(?为常数)

( 2)(a ) ? a lna(a ? 0,且a ? 1)
1 1 ( 3)( loga x ) ? loga e ? (a ? 0 , 且a ? 1) x xlna 1 x ' x ' (5)(lnx) ? (4 )(e ) ? e x
'

(6 )(sinx) ? cosx

'

' (7)(cosx) ? ? sinx

一、幂函数求导法则
对幂函数 y ? x a求 导 公 式 为 : y ? ? ax a ?1 口 诀 为: 求 导 幂 减 一 , 原 幂 作 乘 数.

二、正、余函数求导法则

(1)(sinx) ? cosx ' (2)(cosx) ? ? sinx

'

三、对数函数与指数函数的求导法则
1、对数函数的导数
1 (ln x ) ? x
'

?1?

?2?

1 1 (log a x ) ? log a e ? x x ln a
'

2、指数函数的导数

?1?

(a ) ? a ln a

x '

x

?2?

(e ) ? e

x '

x

巩固1求下列函数的导数:
(1) y ? x
12

(2) y ?

1 x
4

(3) y ?
4 x5

5

x

3

(4) y ?
3 5 x2
5

1
3

x
1 3 x4
3

答案(1) y ? ? 12 x 11 (2) y? ? ?

(3) y ? ?

(4) y? ? ?

(5) y ? sinx
答 案(5) y ? ? cosx

(6) y ? x 2008 (7) y ? log2 x (8) y ? 5 x
(6) y ? ? 2008x
2007

1 (7) y ? ? (8) y ? ? 5 x ln 5 x ln 2

四、课堂练习
1、利用幂函数的求导公式,求下列函数的导数:

(1) y ? x
( 3) y ? 1 x

1.8

( 2) y ? x ?3

(4) y ? x 3 ? 4 x

解: (1) y? ? 1.8 x1.8?1 ? 1.8 x 0.8
( 3) y ? ? ( 1
1 x2

(2) y? ? ?3x ?3?1 ? ?3x ?4
1 2
1 ? ?1 x 2

)? ? ( x

?

1 2

)? ? ?

??

1 x 2

?

3 2

1 1 13 3? (4) y ? ? ( x 3 ? x 4 )? ? ( x 4 )? ? ( x 4 )? ?

13 13 4 ?1 x

4

?

9 13 4 x

4

2、已知y ? x 3 , 求y? x?2
解:? y? ? ( x 3 )? ? 3x 3?1 ? 3x 2

? y? x?2 ? 3 ? (2)2 ? 12

3、已知y ?

1 x2

, 求y? x ?3

解:? y? ? ( x ?2 )? ? ?2x ?2?1 ? ?2x ?3
? y? x?3 ? ?2 ? (3)
?3

1 2 ? ?2 ? ? ? 27 27

1.(1)函数y ? x 3 ? x的导数为 ________;
(2)曲线y ? cos x在点( ,0)处的切线的倾斜角为 _____; 2 ? 1 2.(1)求过曲线y ? cosx上点P( , )且与过这点的切线 3 2 垂直的直线方程. π 3 ( 2)曲线y = sinx在点P( , )处的切线斜率为_____; 3 2
(3)求曲线y ? 3x ? x 2上过点A(2,?2)的切线方程为 _____;

?

引例1 求y ? x 2 lnx? 3x在点(1,3)处 的切线方程.

? 3x ? 2? 引例2 求函数 y?
x

2

在点 (?1, ? 1)处的切线方程


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