人教版高中数学必修4精品课件2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义_图文

2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义 情景引入 θ F F θ S O 位移S A 如果一个物体在力F作用下产生位移S, 那么F所做的功为: W=|F| |S|cosθ θ 表示力F的方向与位移S的方向的夹角。 数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ,它们的夹 角为? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做a 与 b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即 a ? b ?| a || b | cos? ? ?? a 规定: 0 ? a ? 0 . 注 ’不能省. 意 (1) a ·b不能写成a×b ,‘· (2)两向量的数量积是一个数量,不是向量。 向量在方向上的投影 作 O A ? a, O B ? b ,过点B作B B 1 ? 直 线 O A 则 OB1 的数量是| b | cosθ (不是向量) B b ? O B1 a A | a | cosθ叫 向量a在b 方向上的投影. 数量积的几何意义 B b B b B b ? O B1 a A B1 ? O a ? A O a A θ为锐角时, | b | cosθ>0 θ为钝角时, | b | cosθ<0 θ为直角时, | b | cosθ=0 a· b的几何意义:数量积a · b等于a的长度 |a|与b在a的方向上投影|b|cos?的乘积。 a 例题讲解 例1.已知|a |=5,|b |=4,a与b的夹角 ? ? 120 求: (1) a · b ? (2)a在b上的投影 a · b (3)b在a上的投影 数量积的性质: 设a,b都是非零向量,则: b=0 判断垂直的又一条件 ( 1 ) a⊥ b ? a · | b |, (2)当a 与b 同向时,a · b= |a|· a· b =-| a | · | b |. 当a 与b 反向时, a ?b 求 (3) cos ? ? (4)|a · b| ≤|a|· |b| 角 | a || b | 特别地: a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a 求模的方法 2 数量积的运算律 类比数量积得运算律: 交换律: 在实数中 ab=ba 在向量运算中 a b?b a (√ ) 结合律: (ab)c=a(bc) (a b)c ? a(b c) (×) (? a) b ? ?(a b) ? a (?b) ( √ ) 分配律: (a+b)c=ab+bc (a ? b) c ? a c ? b c (√ ) 消去律: ab=bc(b≠0) ?a=c a b ? b c(b ? 0) ? a ? c ( ×) 数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数 ?,则: (1)???a ? b ? b ? a ; (2)??( ? a ) ? b ? ? (?a ? b ) ? a ? ( ? b ) (3)??? a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c 例题讲解 例2.已知向量a,b,求证下列各式 () 1 ( a ? b ) ? a ? 2a ? b ? b 2 2 2 (2)??(a ? b) ? (a ? b) ? a ? b 2 2 证明:(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b) =(a+b)· a+(a+b)· b = a· a+b· a+a· b+b· b =a2+2a· b+b2. (2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b = a· a + b· a- a· b- b· b = a2- b2. 向量的数量积运算类似于多项式运算 例题讲解 例3.已知 | a |? 6,| b |? 4, a与b夹角为60 , 求: ( a ? 2b) ? ( a ? 3b) r r r r 解:(a ? 2b) ( g a -3b) r r r r r r ? a ga ? a g b ? 6bg b r 2 rr r 2 ?| a | ?a g b?6|b| r 2 r r r 2 ?| a | ? | a |g | b | cosθ ? 6 | b | ? 36 ? 12 ? 96 ? ?72 r r 变式1 、已知 | a |? 6,| b |? 4, r r o a与b夹角为60 , r r 求: a ? 2b r r 变式2、已知 | a |? 6,| b |? 4, r r r r ( a ? 2b) ? ( a ? 3b)=-48, r r 求: a与b的夹角 例题讲解 例4.已知 | a |? 3,| b |? 4, 且 a与b不共线. k为何值时, ( a ? kb) ? ( a ? kb)? r r r r 变式3.已知 | a |? 3,| b |? 4, 且a与b不共线. r r r r k为何值时,向量a ? kb与a ? kb夹角 为钝角? 小结 1、一个意义 2、两个定义(数量积、投影) 3、三个运算律 4、四条性质 证明运算律(3) 向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, a b a+b O M N c 则: (a + b) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.

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