【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 双基限时练22 新人教A版必修4

双基限时练(二十二)
1.在△ABC 中,AB=AC,D,E 分别是 AB,AC 的中点,则( → → A.BD=CE → → C.BE=BC 解析 由题意知,DE 为△ABC 的中位线, → 答案 D → 是( ) A.直角三角形 C.等腰直角三角形 → → → → =|AC|.故选 B. 答案 B 3.(2009·福建高考)设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且 满足 a 与 b 不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于( A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 B.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 C.以 a,b 为两边的三角形的面积 D.以 b,c 为两边的三角形的面积 解析 ) → → → → → → → → → → → B.等腰三角形 D.等边三角形 → → → → →
2

)

→ → B.BD与CE共线 → → D.DE与BC共线



∴DE∥BC,∴DE与BC共线.





→ →

2.设平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△ABC

解析 DB+DC-2DA=(DB+AD)+(DC+AD)=AB+AC, →
2


2


2



∴(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(AB-AC)=AB -AC =0.即AB =AC ,∴|AB|

1

如右图,设 b 与 c 的夹角为 θ ,a 与 b 的夹角为 α , ∵a⊥c,∴|cosθ |=|sinα |. 又|a|=|c|, ∴|b·c|=|b||c||cosθ | =|b||a||sinα |,即|b·c|的值一定等于以 a,b 为邻边的平行四边形的面积. 答案 A 3? ? 4.已知点 A,B 的坐标分别为 A(4,6),B?-3, ?,则与直线 AB 平行的向量的坐标可 2? ? 以是( ①? )

?14,3?;②?7,9?;③?-14,-3?;④(-7,9). ? ? 2? ? 3 ? ?3 ? ? ? ? ?
B.①② D.①②③④

A.① C.①②③ 3? ? 解析 ∵A(4,6),B?-3, ?, 2? ?

9? ? ∴AB=?-7,- ?,易知①、②、③与AB平行,故选 C. 2? ? 答案 C → → → ≥PA·PB,则实数 λ 的取值范围是( ) B.?1- D.?1- → → → → → → 5.设 O(0,0),A(1,0),B(0,1),点 P 是线段 AB 上的一个动点,AP=λ AB,若OP·AB





?1 ? A.? ,1? ?2 ?
2? ?1 C.? ,1+ ? 2? ?2

? ? ? ?

2 ? ,1? 2 ? 2 2? ,1+ ? 2 2? →

解析 设 P(x,y),则OP=(x,y),AB=(-1,1),PA=(1-x,-y),PB=(-x,1-y),

2





∵AP=λ AB,∴(x-1,y)=(-λ ,λ ),∴?
? ?x=1-λ , ?y=λ , ?

?x-1=-λ , ? ?y=λ , ?

∴?



→ → →



又∵OP·AB=(x,y)·(-1,1)=-x+y,

PA·PB=(1-x,-y)·(-x,1-y)=-x(1-x)-y(1-y),
∴-x+y≥-x(1-x)-y(1-y),将①代入可得:λ -1+λ ≥(λ -1)·λ -λ (1- λ ), 整理可得:2λ -4λ +1≤0,解得:1- ∴λ ≤1,∴1- 答案 B |PA| +|PB| 6. 在 Rt△ABC 中, 点 D 是斜边 AB 的中点, 点 P 为线段 CD 的中点, 则 =( 2 |PC| A.2 C.5 → →
2 2 2 2

2 2 ≤λ ≤1+ ,又 P 是线段 AB 上的动点, 2 2

2 ≤λ ≤1,故选 B. 2

)

B.4 D.10 → → → → →
2

解析 ∵PA=CA-CP, →
2

∴|PA| =CA -2CP·CA+CP . → → →
2

→ →
2


2


2

→ → → →


2

∵PB=CB-CP,∴|PB| =CB -2CP·CB+CP . →
2


2

→ →
2


2


2

→ →




2

∴|PA| +|PB| =(CA +CB )-2CP·(CA+CB)+2CP =AB -2CP·2CD+2CP . →
2


2






2

又AB =16CP ,CD=2CP,代入上式整理得|PA| +|PB| =10CP ,故所求值为 10. 答案 D → 为________. → → → → 解析 ∵PA+PB+PC=AB, → → → 7.在△ABC 所在平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PAB 与△ABC 的面积之比

2

3

→ →

→ →

→ →





∴PC=AB-PA-PB=AP+AB+BP=2AP, ∴A,P,C 三点共线,且点 P 是靠近点 A 的线段 AC 的三等分点, 故

S△PAB 1 = . S△ABC 3
1 3

答案

8.质量 m=2.0 kg 的物体,在 4 N 的水平力作用下,由静止开始在光滑水平面上运动 了 3 s,则水平力在 3 s 内对物体所做的功为__________.已知直线 ax+by+c=0 与圆 x → → +y =1 相交于 A,B 两点,且|AB|= 3,则OA·OB=________.
2 2

π 解析 如图,∵AB= 3,取 D 为 AB 的中点,又 OA=1,∴∠AOD= . 3 2π ∴∠AOB= . 3 2π 1 ∴OA·OB=1×1×cos =- . 3 2 1 答案 - 2 9. → →

4

→ → 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若AB·AF → → = 2,则AE·BF的值是________. 解析 以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系, 则由题意知,点 B( 2,0),点 E( 2,1),设点 F(a,2), → → 所以AB=( 2,0),AF=(a,2). 由条件解得点 F(1,2), → → → → 所以AE=( 2,1),BF=(1- 2,2). 所以AE·BF= 2. 答案 2

10.如下图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同 → → → → 的两点 M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为________.

解析 如下图,过 B 作 BD∥MN, 易知 m= =

AB AD AC ,n= , AM AN AN

∴m+n=

AD+AC BO DN .∵ = =1, AN OC NC

∴AD+AC=2AN. ∴m+n=2.

5

答案 2 11.

如图所示,若 D 是△ABC 内的一点,且 AB -AC =DB -DC . 求证:AD⊥BC. 分析 解答本题可先表示出图中线段对应的向量, 找出所给等式所蕴含的等量关系, 再 利用它计算所需向量的数量积. →
2 2

2

2

2

2


2


2 2




2

证明 设AB=a,AC=b,AD=e,DB=c,DC=d,则 a=e+c,b=e+d. ∴a -b =(e+c) -(e+d) =c +2e·c-2e·d-d . 由已知 a -b =c -d , ∴c +2e·c-2e·d-d =c -d ,即 e·(c-d)=0. → → → → ∴AD·BC=e·(d-c)=0. → → ∴AD⊥BC,即 AD⊥BC. → → → → 12.已知点 A、B 的坐标分别是(-4,3),(2,5),并且OC=3OA,OD=3OB,求证:AB∥ → ∵BC=BD+DC=d-c,
2 2 2 2 2 2 2 2

CD.
→ → → → 证明 ∵OC=3OA,OD=3OB, ∴C(-12,9),D(6,15), → → → → ∴AB=(6,2),CD=(18,6). ∴CD=3AB,∴AB∥CD. 13.如图所示,以原点和 A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,∠B=90°,求点

B 的坐标.

6

→ 解 设 B(x,y),则|OB|= x +y . ∵B(x,y),A(5,2), → ∴|AB|= ?x-5? +?y-2? . → → 又|AB|=|OB|, ∴ ?x-5? +?y-2? = x +y , 整理,得 10x+4y=29① → → → ∴OB·AB=0,∴x(x-5)+y(y-2)=0, 即 x +y -5x-2y=0,② 3 ? ?x=2, 由①、②解得? 7 ?y=2, ? 3? ?3 7? ?7 ∴B? , ?或? ,- ?. 2 2 2 2? ? ? ? 7 ? ?x=2, 或? 3 ?y=-2. ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



→ →

∴又OB=(x,y),AB=(x-5,y-2),且OB⊥AB.

7


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