甘肃省嘉峪关一中2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

嘉峪关市一中 2013—2014 学年第二学期期中考试

高二数学(理)试卷
一.选择题(5×12=60) 1.若点 A(1,m-1,1)和点 B(-1,-3,-1)关于原点对称,则 m=( A.-4 B.4 C.2 D.-2 )

【答案】B 【解析】因为点 A(1,m-1,1)和点 B(-1,-3,-1)关于原点对称,所以 m-1=3,即 m=4. 2.长方体一个顶点上的三条棱长分别为 3、4、5,若它的八个顶点都在同一个 球面上,则这个球的表面积是( A.20 2π 【答案】C 【解析】易知长方体外接球的半径为 r ? 面积为 S ? 4? R2 ? 50? 。 3.与函数 y=|x|为同一函数的是( A.y=( x)2 ?x,x>0 C.y=? ?-x,x<0 【答案】B 【解析】A.y=( x)2 定义域不同,不是同一函数;
1 2 5 2 ,所以外接球的表 3 ? 42 ? 52 ? 2 2

) C.50π D.200π

B.25 2π

) B.y= x2 D.y=alogax

B.y= x2=|x|,是同一函数; ?x,x>0 C.y=? ?-x,x<0 定义域不同,不是同一函数;

D.y=alogax 不是同一函数。 4.已知 m,n 是两条不同直线,α ,β ,γ 是三个不同平面,下列命题中正确 的是( )

A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β C.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β

D.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n 【答案】D 【解析】A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n,错误,m 与 n 可能平行或异面; B.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β ,错误,可能相交或平行; C.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β ,错误,可能相交或平行; D.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n,正确,此为线面垂直的性质定理。 5.三个数 6 0.7 、 0.76 、 log 0.7 6 的大小顺序是( B. log 0.7 6 ? 0.76 ? 60.7 C. 0.76 ? 60.7 ? log 0.7 6 【答案】B
0 1 【 解 析 】 因 为 60 . 7? 6 ? 、 6 0 0 ? 0.7 ? 0.7 ? 1 、 log0.7 6 ? log0.7 1 ? 0 , 所 以

) A. 0.76 ? log 0.7 6 ? 60.7

D. log 0.7 6 ? 60.7 ? 0.76
1 l

2 2 1

2 2 1

6 ? 60.7 。 l o 0 g . ? 7 0 6. 7

主视图

左视图

俯视图

6.已知某个几何体的三视图如 下,根据图中数据,求这个几何体的体积是( A.
2 3



B.

4 3

C.

8 3

D. 2

【答案】B 【解析】由三视图知:该几何体为三棱锥,其中三棱锥的底面为等腰三角形,此 等腰三角形的底边长为 2,高为 2;三棱锥的高为 2,所以该几何体的体积为 1 1 4 V ? ? ? 2? 2? 2 ? 。 3 2 3 7. 若 P(2, -1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点, 则直线 AB 的方程为( ) A.x-y-3=0 【答案】A 【解析】设圆心为 O,则 O(1,0) ,所以 kop ? ?1,所以所求直线的斜率为 1, 所以所求直线方程为 y ? 1 ? x ? 2,即x ? y ? 3 ? 0 。 8.已知四棱锥 S-ABCD 的侧棱长与底面边长都是 2,且 SO⊥平面 ABCD,O 为底面 的中心,则侧棱与底面所成的角为( A.75° 【答案】C B.60° ) C.45° D.30° B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0

【解析】设侧棱与底面所成的角为 ? ,则 cos? ?

AO 2 ,所以侧棱与底面所 ? SA 2

成的角为 45°。 9.已知函数 f(x)=log1 (3x2-ax+5)在[-1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值 2 范围是( ) B.-8<a<-6 D.a≤-6

A.-8≤a≤-6 C.-8<a≤-6 【答案】C

【解析】因为函数 f(x) = log 1 (3x2 - ax + 5) 在 [ - 1 ,+∞) 上是减函数,所以 2 ?a ? ? ?1 , 解得-8<a ? 6 。 ?6 ?3 ?1 ? a ? ? ?1? ? 5 ? 0 ? 10.已知函数 y?f( 则y 的定义域是 ( 3] , x ? 1 )的定义域是 [?2, ?f( 2 x ? 1 ) A. [ 0 , )

5 ] 2

B. [?1, 4]

C. [?5, 5]

D. [?3, 7]

【答案】A 【 解 析 】 因 为 函 数 y?f( 3] , 所 以 x ? 1 ) 的 定 义 域 是 [?2, 5 ?1 ? x ? 1 所以 ? 4 , ?1 x ?2 即 ? 0 1 ? 4x , , 所 ? 以? y ?f( 2 x ? 1 )的 定 义 域 是 2 5 [0, ] 。 2 11. 已知 f ( x) ?
e x ? e?x ,则下列正确的是( 2

)源:A]

A.f(x)是奇函数,在 R 上为增函数 C.f(x)是奇函数,在 R 上为减函数 【答案】A

B.f(x)是偶函数,在 R 上为增函数 D.f(x)是偶函数,在 R 上为减函数

e? x ? e x ? ? f ( x) ,所以 f(x)是奇函 【解析】易知函数的定义域为 R,又 f (? x) ? 2 e x ? e?x 数;因为 y ? ex和y ? ?e? x 都是增函数,所以 f ( x) ? 2 是 R 上的增函数。
x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1有公共点,则( a b

12.若直线



A. a 2 ? b2 ≤1

B. a 2 ? b2 ≥1

C.

1 1 ? 2 ≤1 2 a b

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

【答案】D 【解析】因为直线
1 1 ? 2 ≥1 。 2 a b

0 ? 0 ? ab x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1 有公共点,所以 ? 1 ,即 a b a 2 ? b2

二.填空题(5×4=20) 13.如右图所示,Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC 的 直观图, 其中 A′C′⊥B′C′, B′O′=O′C′=1, 则 △ABC 的面积是 【答案】 2 2 【解析】根据题意和直观图可知:原三角形为等腰三角形,三角形的底面边长为 1 2,髙为 2 2 ,所以△ABC 的面积是 ? 2 ? 2 2 ? 2 2 。 2 14.已知 f ( x) 是定义在 (?1,1) 上的减函数,若 f (2 ? a) ? f (a ? 3) ? 0 . 则实数 a 的取值范围是 . 【答案】2﹤a﹤
5 2

【解析】因为 f ( x) 是定义在 (?1,1) 上的减函数,且 f (2 ? a) ? f (a ? 3) ? 0 ,所以 ?2 ? a ? a ? 3 5 ? ??1 ? 2 ? a ? 1, 解得2 ? a ? 。 2 ? ?1 ? a ? 3 ? 1 ? 15.设点 A(2,-3),B(-3,-2),点 P(x,y)是线段 AB 上任一点,则 取值范围是 【答案】k≥
3 或 k≤-4 4

y ?1 的 x ?1

【解析】如图,取 Q(1,1) ,则 值范围,

y ?1 的取值范围等价于直线 PQ 的斜率 k 的取 x ?1 3 , 4

∵点 A (2, -3) , B (-3, -2) , 点P (x, y) 是线段 AB 上任一点, 所以 k AQ ? ?4, k BQ ? 所以 k≥
3 或 k≤-4。 4

x x<0, ?a , f(x1)-f(x2) 16.已知函数 f(x)=? 若对任意 x1≠x2,都有 <0 成 x1-x2 ?(a-3)x+4a, x≥0.

立,则 a 的取值范围是 1 【答案】(0, ] 4 【 解 析 】 因 为 对 任 意 x1≠x2 , 都 有 f(x1)-f(x2) <0 成 立 , 所 以 函 数 f(x) = x1-x2

?0 ? a ? 1 x x<0, ?a , 1 ? ? 是 R 上的减函数,所以 ?a ? 3 ? 0, 解得0 ? a ? 。 ?(a-3)x+4a, x≥0. 4 ? a 0 ? 4a ?

三.解答题(17 题 10 分,18,19,20,21,22 题各 12 分) 17.已知集合 A={x|x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5}. (1)若 a=-2,求 A∩?RB; (2)若 A?B,求 a 的取值范围.

18.已知直线 l : x ? 3 y ? 1 ? 0 ,一个圆的圆心 C 在 x 轴正半轴上,且该圆与直线 l 和
y 轴均相切.

(1)求该圆的方程; (2)若直线: mx ? y ? m ? 0 与圆 C 交于 A, B 两点,且 | AB |? 3 ,求 m 的值.
f ( x) ? a ? 2 2 ?1 , (1)若 f ( x) 是奇函数,
x

1 2

19.已知函数

求 a 的值; (2)证明函数 f ( x) 在 R 上是增函数。

20.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°, PA 垂直于平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB. (1)若 F 为 PC 的中点,求证:PC⊥平面 AEF; (2)求证:EC∥平面 PAB. 21. 某租赁公司拥有汽车 100 辆, 当每辆车的月租金为 3000 元时, 可全部租出. 当 每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月 需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多 少?

22.已知函数 f(x)和 g(x)的图像关于原点对称,并且 f ( x) ? x2 ? 2x . (1)解不等式 g ( x) ? f ( x)? | x-1| (2)若 h( x) ? g ( x) ? mf ( x) ? 1 在 ?-1,1? 上是增函数,求实数 m 的取值范围.

答案: 1 B 7 A 2 C 8 C 3 B 9 C 4 D 10 A 5 B 11 A
3 或 k≤-4 4

6 B 12 D
1 ] 4

5 2 17.①A∩?RB={x|-1≤x≤1}.
13. 2 2

14.2﹤a﹤

15.k≥ ②a﹤-4

16.(0,

2 2 18. ① (x ?1) ? y ?1

②m=±

2 4

19. (1)f(x)的定义域是 R,并且 f(x)是奇函数,则 f(0)=0 得 a=1 (2)用定义法证明略 20. 证明 (1)由题意得 PA=CA,∵F 为 PC 的中点,

∴AF⊥PC.∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面 PAC, ∴CD⊥PC.∵E 为 PD 的中点,F 为 PC 的中点, ∴EF∥CD,∴EF⊥PC. ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF. (2)方法一 如图,取 AD 的中点 M, 连接 EM,CM. 则 EM∥PA. ∵EM?平面 PAB,PA?平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60°,MC=AM, ∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB. ∵MC?平面 PAB,AB?平面 PAB, ∴MC∥平面 PAB.∵EM∩MC=M, ∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC?平面 EMC, ∴EC∥平面 PAB. 方法二 如图,延长 DC、AB,设它们交于点 N,连接 PN. ∵∠NAC=∠DAC=60°,

AC⊥CD,∴C 为 ND 的中点.
∵E 为 PD 的中点,∴EC∥PN. ∵EC?平面 PAB,PN?平面 PAB,

∴EC∥平面 PAB.
3600-3000 21. 解:(1)当每辆车的月租金为 3600 元时,未租出的车辆数为 =12.所以这时租 50 出了 88 辆车.

(2)设每辆车的月租金为 x 元.则租赁公司的月收益为 f(x)=(100- -150)- 整理得 x2 1 f(x)=- +162x-21000=- (x-4050)2+307050. 50 50 x-3000 ×50, 50

x-3000 )(x 50

所以,当 x=4050 时,f(x)最大,最大值为 f(4050)=307050.即当每辆车的月 租金为 4050 元时,租赁公司的月收益最大.最大月收益为 307050 元.
22.略


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