高一数学-三角函数21(4.6.5) 精品

4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切(5) 教学目的: 进一步熟悉有关技巧,继续提高学生综合应用能力。 教学重点:两角和与差的余弦、正弦、正切公式. 教学难点:灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明. 教学过程: 一、复习引入: 1.和角与差角公式 2.几个重要结论(衍生公式) ? 1 ? tan ? tan( ? ? ) ? . 4 1 tan ? 3. 若 ? ? 2 ?x? tan ? ? tan ? ? (tan ? ? ? )(1 tan ? tan ? ) ? 2 ,求 f (x)= 3 sinx+cosx 的最大值和最小值,并求出此时的 x 值。 二、讲解新课: 化 a sin ? ? b cos ? 为同角同名三角函数的形式. a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 ( a a2 ? b2 a a ?b 2 2 a a2 ? b2 )2 ? 1 sin ? ? b a2 ? b2 cos? ) 由于 ( )2 ? ( b a2 ? b2 sin2θ +cos2θ =1 (1)若令 =sinθ ,则 b a ? b2 2 =cosθ ∴asinα +bcosα = a 2 ? b 2 (sinθ sinα +cosθ cosα )= a 2 ? b 2 cos(θ -α 即 a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b 2 cos(α -θ (2)若令 a a2 ? b2 =cos ? ,则 b a2 ? b2 =sin ? ∴ a sinα +bcosα = a 2 ? b 2 (sinα cos ? +cosα sin ? )= a 2 ? b 2 sin(α + ? ) 综上所述 a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 cos(? ? ? ); (其中cos? = b a ?b 2 2 ,sin ? ? a a ? b2 2 ) 或a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ). (其中cos? = 三、讲解范例: a a 2 ? b2 ,sin ? ? b a 2 ? b2 ) ? 例 1 求函数 y ? 3 sin( ? 2 x) ? cos 2 x 的最小值。 3 ? 5 例 2 已知 sin( x ? ) ? ? ,求 sin 2 x的值。 4 13 例3 例4 例5 计算:(1 + 3 )tan15?? 3 2 ,且 45? < ? < 90?,求 sin? 3 已知?是三角形中的一个最小的内角, ? ? ? ? 且 a cos 2 ? sin 2 ? cos 2 ? a sin 2 ? a ? 1 ,求 a 的取值范围 2 2 2 2 已知 sin(45? ? ?) = ? ? 例 6 试求函数 y ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x ? 2 的最大值和最小值。若 x ? [0, ] 呢? 2 ? 例 7 已知 tan? = 3tan(? + ?), ? ? ,求 sin(2? + ?)的值。 6 四、课堂练习: 1 ? (1) sin ? ? sin ? ? ? ? ? 3 1. 已知 ? ?cos? ? cos ? ? 1 ( 2) ? ? 2 ? 、 ? 均为锐角,求 sin(? ? ? ) 的值. 2 . 已知 0 ? ? ? ? ? 4 4 , ?? ? 3? ? 3 3? 5 , cos( ? ? ) ? , sin( ? ? ) ? , 求 sin(? ? ? ) 的值. 4 4 5 4 13 3. 已知 cos(? ? ? ) ? 0, 求证 sin(? ? 2? ) ? sin ? . 五、作业: 1. (1) 3 1 ? sin ? ? cos? ? sin(? ? ) 2 2 6 (2) cos? ? sin ? ? 2 sin(? ? ? 4 ) (3) 2 (sin x ? cos x) ? 2 cos(x ? ) 4 ? 2.利用和(差) 3 1 sin x ? cos x 2 2 (2)3 15 sin x ? 3 5 cos x (1) (3) 3 sin x ? cos x (4) 2 ? 6 ? sin( ? x) ? cos( ? x) 6 3 6 3 1~16 《精析精练》P32

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