高中数学难点07 奇偶性与单调性(一)

难点 7 奇偶性与单调性(一) 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生 深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象. ●难点磁场 (★★★★)设 a>0,f(x)= ∞)上是增函数. ●案例探究 [例 1]已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f( 意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f( ex a ? 是 R 上的偶函数,(1)求 a 的值;(2)证明: f(x)在(0,+ a ex 1 )=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任 2 x? y ),试证明: 1 ? xy (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减. 命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力. 属★★★★题目. 知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 错解分析:本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果 很难获得. 技巧与方法:对于(1),获得 f(0)的值进而取 x=-y 是解题关键;对于(2),判定 的范围是焦点. 证明: (1)由 f(x)+f(y)=f( x 2 ? x1 1 ? x1 x 2 x?x x? y ),令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f( )=f(0)=0. 1 ? xy 1? x2 ∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减. 令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f( x 2 ? x1 ) 1 ? x1 x 2 ∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴ 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1, ∴0< x 2 ? x1 >0, 1 ? x 2 x1 x 2 ? x1 x ? x1 <1,由题意知 f( 2 )<0,? 1 ? x 2 x1 1 ? x1 x 2 即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. ∴f(x)在(-1,1)上为减函数. [ 例 2 ] 设 函 数 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 并 在 区 间 ( - ∞ ,0) 内 单 调 递 增 , f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1).求 a 的取值范围,并在该范围内求函数 y=( 间. 1 a2 ?3a ?1 ) 的单调递减区 2 命题意图: 本题主要考查函数奇偶性、 单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定 方法.本题属于★★★★★级题目. 知识依托:逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析:逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,通过 本题会解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法. 解:设 0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增, ∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减. 1 7 1 2 又2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0,3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? ) 2 ? ? 0. 4 8 3 3 由 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)得:2a2+a+1>3a2-2a+1.解之,得 0<a<3. 又 a2-3a+1=(a- ∴函数 y=( 3 2 5 )- . 2 4 1 a2 ?3a ?1 3 ) 的单调减区间是[ ,+∞] 2 2 2 3 3 结合 0<a<3,得函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调递减区间为[ ,3). 2 2 ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题及解决方法主要有: (1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性. 若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性. 同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的“磁场”及“训练”认真体会, 用好数与形的统一. 复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于:既把握复合过程,又掌握基本函数. (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目,下一节我们将展开研究奇偶 性、单调性的应用. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( ) A.f(x)=(x-1) x ?1 1? x B.f(x)= lg(1 ? x 2 ) | x 2 ? 2 | ?2 2 ? ? x ? x ( x ? 0) C.f(x)= ? 2 ? ? ? x ? x ( x ? 0) D.f(x)= 1 ? sin x ? cos x 1 ? cos x ? sin x 2.(★★★★★)函数 f(x)= A.关于 x 轴对称 1? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1 的图象( ) B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 x=1 对称 二、填空题 3.(★★★★)函数 f(x)在 R 上为增函数,则 y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 4.(★★★★★)若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),?且在 [x2,+∞ ) 上单调递增,则 b 的取值范围是_________. 三、解答题 5.(★★★★)已知函数 f(x)=ax+ x?2 (a>1). x ?1 (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程

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