第九章第1节二重积分的概念与性质_图文

第一节 二重积分的概念与性质
一、问题的提出
1.曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 高 特点:平顶.
z ? f (x, y)
柱体体积=? 特点:曲顶.
D
1

求曲边梯形面积的步骤:y

n
1、分割 A ? ? ?Ai

i ?1

2、 近 似

o a x1

b xi??1i xi xn?1

x

?Ai ? f (?i )?xi ?xi ? xi ? xi?1,

3、 求 和

?i为[ xi?1, xi ]上任一点

n

n

? ? A ? ?Ai ? f (?i )?xi

i ?1

i ?1

4、取极限 (? ? max{ ?x1, ?x2 ,??xn })

? ? n

b

A ? lim ? ?0 i ?1

f (?i )?xi ?

a

f ( x)dx

2

求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求 和、取极限”的方法,如下动画演示.
3

步骤如下:
n
1、分割 V ? ? ?Vi i ?1
2、 近 似

z z ? f (x, y)

?Vk ? f (?k , ?k )?? k

3、 求 和

n

? V ? f (?k , ?k )?? k

k ?1

x

4、取极限

n

? V

? lim ? ?0 i?1

f (?i ,?i )?? i .

o
?D

y
(?i ,?i )

?? i

?

? max? 1?k ?n

?(?? k )

?

4

2.求平面薄片的质量

设有一平面薄片,占有 xoy 面上的闭区域

D ,在点( x, y)处的面密度为? ( x, y) ,假定

? ( x, y)在D 上连续,平面薄片的质量为多少?

n
? 1、分割 M ? ?Mi

y

i ?1

2、近似?Mk ? ?(?k , ?k )?? k

? 3、求和 n
M ? ? (?k , ?k )?? k

o

(?i ,?i )
?
?? i
x

k ?1

n

? 4、取极限 M ? lim ? ?0

? (?i ,?i )?? i .

i ?1

5

二、二重积分的概念

定义 设 f (x, y)是有界闭区域D 上的有界函

数,将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域?? 1 ,

?? 2 , ?,?? n ,其中?? i 表示第 i 个小闭区域,

也 表 示 它 的 面 积 , 在 每 个?? i 上 任 取 一 点

(?i ,?i ),

作乘积 f (?i ,?i )?? i ,

(i ? 1,2,?, n),

n
并作和 ? f (?i ,?i )?? i ,
i ?1

6

如果当各小闭区域的直径中的最大值? 趋近于零

时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f ( x, y)

在闭区域 D 上的二重积分,

记为?? f ( x, y)d? ,

D

n

即??
D

f

( x,

y)d?

?

lim ?
? ?0 i?1

f

(?i ,?i

)??

i.

积被 积 分积 分 区函 变 域数 量

被面 积积 积 表元 分 达素 和 式

7

说明: (1) 定义中,对闭区域的划分是任意的,积分值只与 f ( x, y)及D有关,与分划及(?i ,?i )的选取无关;
(2)当 f ( x, y)在闭区域上连续时,定义中和式
的极限必存在,即二重积分必存在.

V ? ?? f ( x, y)d?
D
二重积分的几何意义
(1)z ? f ( x, y) ? 0

M ? ?? ? ( x, y)d?
D
zz? f ( x, y)

?? f (x, y)d? ? V

y

D

xD

8

(2)z ? f ( x, y) ? 0

?? f ( x, y)d? ? ?V

D

D

z ? f (x, y)
(3)z ? f ( x, y)在D上变号
?? f ( x, y)d?等于xoy面上方柱体的体积减去
D
下 方 柱 体的 体 积.
9

三、二重积分的性质

(二重积分与定积分有类似的性质)

性质1 当k为常数时,

?? kf ( x, y)d? ?k?? f ( x, y)d? .

D

D

性质2 ??[ f ( x, y) ? g( x, y)]d?
D

? ?? f ( x, y)d? ? ?? g( x, y)d? .

D

D

10

性质3 对区域具有可加性 ( D ? D1 ? D2 )

?? f ( x, y)d? ? ?? f ( x, y)d? ? ?? f ( x, y)d? .

D

D1

D2

性质4 若 ? 为D的面积,? ? ?? 1? d? ? ?? d? .

D

D

性质5 若在D上 f ( x, y) ? g( x, y),

则有 ?? f ( x, y)d? ??? g( x, y)d? .

D

D

特殊地 ?? f ( x, y)d? ? ?? f ( x, y)d? .

D

D

11

性质6 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
最大值和最小值,? 为 D 的面积,则
m? ? ?? f ( x, y)d? ? M?
D
(二重积分估值不等式)

性质7 设函数 f ( x, y)在闭区域 D上连续,? 为D 的面积,则在 D 上至少存在一点(? ,? )使得

?? f ( x, y)d? ? f (?,?) ? ?

D

(二重积分中值定理)

12

?? 例 1 不作计算,估计 I ? e( x2? y2 )d? 的值,

D

其中D

是椭圆闭区域:

x2 a2

?

y2 b2

?

1

(0 ? b ? a).

解 区域 D 的面积? ? ab? ,

在D上 ?0 ? x2 ? y2 ? a2,

?1 ? e0 ? ex2? y2 ? ea2 ,

?? 由性质 6 知 ? ? ? e d ( x2 ? y2 ) ? ? ? ea2 ,
D
?? ab? ? ? e d ( x2 ? y2 ) ? ab?ea2 .
D
13

?? 例 2 估计I ?

d?

的值,

D x2 ? y2 ? 2 xy ? 16

其中 D: 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2.

解 ? f (x, y) ?

1

,

( x ? y)2 ? 16

区域面积? ? 2,

在D上 f ( x, y)的最大值 M ? 1 ( x ? y ? 0) 4
f ( x, y)的最小值 m ? 1 ? 1 ( x ? 1, y ? 2) 32 ? 42 5

故2 ? I ? 2 ? 0.4 ? I ? 0.5.

5

4

14

例 3 比较积分?? ln( x ? y)d? 与??[ln( x ? y)]2 d?

D

D

的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),

(1,1), (2,0).
y

解 三角形斜边方程 x ? y ? 2

1
在 D 内有 1 ? x ? y ? 2 ? e,

D

故 ln( x ? y) ? 1,

o

12x

于是ln( x ? y) ? ?ln( x ? y)?2,

因此 ?? ln( x ? y)d? ? ??[ln( x ? y)]2 d? .

D

D

15

例4.比较下列积分的大小

y

?? ( x ? y)2d? , ?? ( x ? y)3d? ,

D

D

1

D

其中 D : ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 2

0 1 2x

3

x? y ?1

解: 积分域 D 的边界为圆周 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 2

它与 x 轴交于点(1,0)与直线 x ? y ? 1 相切.
而域D位于直线的上方, 故 x ? y ? 1
从而 ( x ? y)2 ? ( x ? y)3

? ?? ( x ? y)2d? ? ?? ( x ? y)3d?

D

D

16

习题10 ?1 P136 4,5(1)(4)
17


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