《一元二次方程的实根分布问题》

一元二次方程的实根分布问题

问题 已知方程x? +(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。 y 条件1:若方程有两个正根。
分析 设f(x)=x? +(m–3)x+m 如右图知

?? ? (m ? 3) 2 ?4m ? 0 ? ? m?3 ?0 ? ?? 2 ? f ( 0 ) ? m ? 0 ? ?

O

x

0 ? m ?1

问题 已知方程x? +(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。
条件2:若方程的两个根均小于1。 分析 设f(x)=x? +(m–3)x+m 如右图知
x
y

?? ? (m ? 3) ?4m ? 0 ? ? m?3 ?1 ? ?? 2 ? f ( 1 ) ? 2 m ? 2 ? 0 ? ?
2

O

1

m?9

问题 已知方程x? +(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。
条件3:若方程的一个根大于1,一个根小于1。 分析 设f(x)=x? +(m–3)x+m 如右图知

y

O

1

x

f (1) ? 2m ? 2 ? 0 ?

m ?1

问题 已知方程x? +(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。 条件4:若方程的两个根均在( 0,2)内。 分析 设f(x)=x? +(m–3)x+m
如右图知
y

?? ? (m ? 3) 2 ?4m ? 0 O ? m?3 ? ?2 2 ?0 ? ? ? ? m ?1 2 ? 3 ? f (0) ? m ? 0 ? ? ? f (2) ? 3m ? 2 ? 0

2

x

问题 已知方程x? +(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。 条件5:若方程的两个根有且仅有一个在( 0,2)内。
分析 设f(x)=x? +(m–3)x+m 如右图知

y
2
O

2 ? m ?1 3、 f (0) ? f (2) ? m(3m ? 2) ? 0 ? 3

3? m f (0) ? 0且0 ? ?1? ? 1、 2 3? m ?2? m ? 2、f (2) ? 0且1 ? 2

2 3

x

2 ? m ?1 由于1,2,3知m的取值范围是 3

问题 已知方程x? +(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。 条件6:若方程的一个根在(–2 ,0),另一个根 在(0 ,4)。 y
分析 设f(x)=x? +(m–3)x+m 如右图知
?2O 4

x

? f (?2) ? ?m ? 10 ? 0 4 ? ? ? ?m?0 ? f (0) ? m ? 0 5 ? f (4) ? 5m ? 4 ? 0 ?

问题 已知方程x? +(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。 条件7:若方程的一个根小于2,另一个根大于4。 y 分析 设f(x)=x? +(m–3)x+m
如右图知
O

2 4

x

? f (2) ? 3m ? 2 ? 0 4 ? m?? ? 5 ? f (4) ? 5m ? 4 ? 0

问题 已知方程x? +(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。 条件8:若方程有一个正根,一个负根且正根 的绝对值较大。
y

分析 设f(x)=x? +(m–3)x+m 如右图知
O

x

? f (0) ? m ? 0 ? ? m?0 ? m?3 ? ?0 ? 2 ?

小结
一元二次方程的根,其实质就是其相应二次函数的图象 与x轴交点的横坐标,因此,可以借助于二次函数及其图象, 利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题,

下面通过例题具体情况来说明。
设二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)的二实根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 )

? ? b 2 ? 4ac 方程对应的二次函数为 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)

小结:一般地,一元二次方程ax? +bx+c=0(a>0)的实根分布 两个根均小于k
y

两个根均大于k
y

一个根小于k, 一个根大于k。
y

O

k

x

O k

x

O

k

x

?? ? 0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f (k ) ? 0

?? ? 0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f (k ) ? 0

f (k ) ? 0

小结:一般地,一元二次方程ax? +bx+c=0(a>0)的实根分布 两个根均在 (m,n)内
y

两根均在[m,n] 外两旁
y

X1∈(m,n) , X2∈(p,q) 。
y

m
O m

n x

n

x

O

n

p q x

m

O

?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? 2a ? ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0

? f (m ? 0) ? ? f ( n) ? 0

?f ?f ? ? ?f ? ?f

( m) ? 0 ( n) ? 0 ( p) ? 0 (q) ? 0

小结:一般地,一元二次方程ax? +bx+c=0(a>0)的实根分布 两个根有且仅有一个在(m,n)内
y y y

n
O

m

x

O

m

n x

O

m

n x

b m?n ? f (m) ? f (n) ? 0 或 f (m) ? 0且m ? ? 2a 2 m?n b 或 f (n) ? 0且 ?? ?n 2 2a

注意:
由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件,一般 考虑以下三个方面: ①判别式 ? ? b 2 ? 4ac 的符号;
k b ②对称轴 x ? ? 的位置分布; 2a

③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。

课堂练习:
1.若方程7x? –(m+13)x+m? –m–2=0在区间(0,1)、 (1,2)上各有一个实根,求实数m的取值范围。

(?2,?1) ? (3,4)
2.若方程2x? –(m–2)x–2m? –m=0的两根在区间[0,1] 之外两旁,求实数m的取值范围。

(??,?2) ? (1,??)

课堂练习:
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根,一个小于1, 另一个大于1,则求实数k的取值范围。

(??,?4) ? (0,??)
4.若方程x? –2mx+m–1=0在区间(–2,4)上有两根, 求实数m的取值范围。

( ?1,3)


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