命题及其关系、充分条件与必要条件 (2)

命题及其关系、充分条件与必要条件 适用学科 适用区域 知识点 高中数学 全国通用 适用年级 课时时长(分钟) 高中三年级 60分钟

命题及其关系;充分条件与必要条件 了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题;

教学目标

理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系 四种命题及其关系、命题真假的判断、充分条件与必要条件 命题真假的判断、充分条件与必要条件

教学重点 教学难点

教学过程
一、 课堂导入
1. 本部分主要考查四种命题的概念及其相互关系,考查充分条件、必要条件、充要条件的概念及其应用; 2. 题型主要以选择题、填空题的形式出现,常与集合、不等式、几何等知识相结合命题.

二、复习预习
1. 命题的概念 2. 四种命题及其关系 3. 必要条件、充分条件与充要条件的意义

三、知识讲解 考点 1 命题及其关系

(1)命题:能判断真假的语句叫做命题。 (2)四种命题 ①四种命题 原命题:如果 p,那么 q(或若 p 则 q); 否命题:若 ? p 则 ? q; ②四种命题之间的相互关系 逆命题:若 q 则 p; 逆否命题:若 ? q 则 ? p。

原命题与逆否命题,逆命题与否命题是等价命题同真假;原命题与否命题,原命题与逆命题之间真假没有关系。

考点 2 充分条件与必要条件
如果已知 p ? q ,那么 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件 如果既有 p ? q ,又有 q ? p ,记作 p ? q ,那么 p 是 q 的充要条件 从集合与集合之间的关系上看:已知 A ? ? x x 满足条件 p? , B ? ? x x 满足条件 q? : ①若 A ? B ,则 p 是 q 充分条件; ③若 A ④若 B
B ,则 p 是 q 充分而不必要条件; A ,则 p 是 q 必要而不充分条件;

②若 B ? A ,则 p 是 q 必要条件;

⑤若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件; ⑥若 A ? B 且 B ? A ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

考点 3 解题思路
1. 研究命题及其关系时,要分清命题的题设和结论,把命题写成“如果……,那么… …”的形式,当一个命题有大前提时,必须保留 大前提,只有互为逆否的命题才有相同的真假性. 2. 在解决充分条件、必要条件等问题时,要给出 p 与 q 是否可以相互推出的两次判断,同时还要弄清是 p 对 q 而言,还是 q 对 p 而 言.

四、例题精析
考点一 命题及其关系 【例题 1】 以下列命题为原命题,分别写出它们的逆命题,否命题和逆否命题。 ①已知 a、b、c、d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d;②若 x2+y2=0,则 x、y 全为 0

【答案】①原命题:“已知 a、b、c、d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d”; 逆命题:“已知 a、b、c、d 是实数,若 a+c=b+d,则 a=b,c=d”; 否命题:“已知 a、b、c、d 是实数,若 a≠b 或 c≠d,则 a+c≠b+d”; 逆否命题:“已知 a、b、c、d 是实数,若 a+c≠b+d 则 a≠b 或 c≠d”。

②原命题:“若 x2+y2=0,则 x、y 全为 0”;逆命题:“若 x、y 全为 0,则 x2+y2=0”; 否命题:“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0”; 逆否命题:“若 x、y 不全为 0,则 x2+y2≠0”。 【解析】①“已知 a、b、c、d 是实数”是大前提,不需要否定, “a=b,c=d”的否定是“a≠b 或 c≠d” ; ②“x、y 全为 0”的否定是“x,y 不全为 0”

【例题 2】 有下列四个命题:①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题; ③“若 b≤-1,则方程 x2-2bx+b2+b=0 有实根”的逆否命题; ④“若A∪B=B,则A ? B”的逆否命题,其中真命题是 ( A.①② B.②③ C.①③ D.③④ )

【答案】C 【解析】写出相应命题并判定真假 ①“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”为真命题;②“不相似三角形周长不相等”为假命题; ③“若方程 x2-2bx+b2+b=0 没有实根,则 b>-1”为真命题; ④当逆否命题不易判断真假时,可根据“原命题与其逆否命题真假相同”,易知原命题为假命题,则其逆否命题也为假命题。

考点 2 充分条件与必要条件 【例题 3】 “m ?

1 2 ”是“一元二次方程 x ? x ? m ? 0 有实数解”的( 4
B.充分必要条件



A.充分非必要条件 C.必要非充分条件

D.非充分必要条件

【答案】A
2 2 【解析】由“一元二次方程 x ? x ? m ? 0 ”有实数解得: 1 ? 4m ? 0 ? m ?

1 4

【例题 4】 对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充分且必要条件; ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充分且必要条件; ③“a>b”是“|a|>|b|”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数为________个.

【答案】2 【解析】②④正确;对于①,“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件;对于③,“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件.

【例题 5】
2 2 已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x ? 2x ? 1 ? a ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围。

【答案】 0 ? a ? 3 【解析】 ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10或x ? ?2, A ? x | x ? ?2或x ? 10

?

?

q : x2 ? 2x ?1? a2 ? 0,x ? 1? a或x ? 1? a, 记B ? ?x | x ? 1? a或x ? 1? a?
而 ?p ? q,? A

?1 ? a ? ?2 ? B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 。 ?a ? 0 ?

五、课堂小结
1. 命题及其关系 2. 充分条件与必要条件 3.解题思路 (1)研究命题及其关系时,要分清命题的题设和结论,把命题写成“如果……,那么… …”的形式,当一个命题有大前提时,必须保 留大前提,只有互为逆否的命题才有相同的真假性. (2)在解决充分条件、必要条件等问题时,要给出 p 与 q 是否可以相互推出的两次判断,同时还要弄清是 p 对 q 而言,还是 q 对 p 而言.


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