专题一:函数定义域求法总结

专题一:函数定义域求法总结
一、 定义域是函数 y=f(x)中的自变量 x 的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于 0。 (4)指数、对数的底数大于 0,且不等于 1 (5)y=tanx 中 x≠kπ +π /2;y=cotx 中 x≠k π 等等。 ( 6 ) x 中 x? 0
0

得到此类解法为:可先由 f [ g ?x ?] 定义域求得 f ?x ? 的定义域,再由 f ?x ? 的定义域求得 f [h?x ?] 的定义 域。 4.已知 f ( x ) 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而 成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先 求出各个函数的定义域,再求交集。

f (2x ? 1)的定义域是
的定义域为 。

; 函数 f ( ? 2)

1 x

4、 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 [?1, 1] , 且 函 数

F ( x) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m) 的定义域存在,求
实数 m 的取值范围。

一、 求函数的定义域
1、求下列函数的定义域: ⑴y?

二、抽象函数的定义域
1.已知 f ( x) 的定义域,求复合函数 f [ g ?x ?] 的定义 域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数, 则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之 中 , 因 此 可 得 其 方 法 为 : 若 f ( x) 的 定 义 域 为

x 2 ? 2 x ? 15 x ?3 ?3

5、若函数 f ( x ) =

x?4 的定义域为 R , mx ? 4mx ? 3
2

则实数 m 的取值范围是 ( A、 (-∞,+∞) B、 (0,



⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

3 ] 4

C、 (

3 3 ) ,+∞) D、 [0, 4 4

6、若函数 f ( x) ? mx 2 ? mx ? 1 的定义域为 R ,则 实数 m 的取值范围是( ) (A) 0 ? m ? 4 (B) 0 ? m ? 4 (C) m ? 4 (D)

x ? ?a, b ? ,求出 f [ g ( x)] 中 a ? g ( x) ? b 的解 x 的
范围,即为 f [ g ( x)] 的定义域。 2.已知复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域,求 f ( x) 的定义 域 方法是:若 f [ g ?x ?] 的定义域为 x ? ?a, b ? ,则 由 a ? x ? b 确定 g ( x) 的范围即为 f ( x) 的定义域。 3.已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域,求 f [h( x)] 的定 义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以

⑶y?

1 1 1? x ?1

? (2 x ? 1)0 ? 4 ? x 2

0?m?4

2 2、设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x )

7.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ??15 , ? ,求 f (3x ? 5) 的定义域.

的定义域为_ ________;

_

_;函数 f ( x ? 2) 的定义域为

3 、若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2,3] ,则函数

8. 若 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 ? ,2? , 则 ?2 ?

?1 ?

f ( l o2 g x) 的定义域为



, 则 y=f(3x-5)的定义域为________。
9.已知函数 f ( x 2 ? 2 x ? 2) 的定义域为 ?0, 3? ,求函 数 f ( x ) 的定义域. 的定义域。 14. 已 知 函 数 的 定 义 域 是 , 求

1 1 4、 设函数 y=f(x)的定义域为 [0, 1] , 求 y=f( x ? ) ? f ( x ? ) 3 3
定义域。

10.已知函数 ,则

的定义域为 的定义域为________。
15.若函数 f(x+1)的定义域为[- 义域.

5、若函数 y ?

ax2 ? ax ?

1 的定义域是 R,求实数 a 的取 a

1 2 ,2],求 f(x )的定 2

值范围

王新敞
奎屯

新疆

6、已知函数

的定义域是 R,

11. 函数

定义域是 的定义域是( )

,则

巩固训练

求实数 k 的取值范围.

1. 设函数 (1)函数

的定义域为

,则

的定义域为________。 的定义域为__________。
7、半径为 R 的圆内接等腰梯形 ABCD,它的下底 AB 是⊙O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,写出这个 梯形周长 y 和腰长 x 的函数关系式,并写出它的定 义域.

A.

B.
x

C.

D.

(2)函数 12.已知函数 f(2 )的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定 义域.?
2、已知函数 ,则 13. 若

的定义域为 的定义域为__________

f ( x) 的 定 义 域 为

5? ??3,

, 求

?(x ? ) f ? ( x ? ) f ( 的定义域. ? x 2 5 )

3、已知函数

的定义域为

1、 ( 1 ) {x | x ? 5或x ? ?3或x ? ?6}

(2) 3 )

例 5、已知函数 R,求实数 k 的取值范围. 解答:

的定义域是

{x | x ? 0}
{x | ?2 ? x ? 2且x ? 0, x ?
2 、 [?1,1] ;



1 , x ? 1} 2

5 [ 4 , 9 ] 3 、 [0, ]; 2
4、 ?1 ? m ? 1

①当 k=0 时,函数 是 R;

,显然它的定义域

设腰 AD=BC=x,作 DE⊥AB.垂足为 E,连 BD. 由 Rt△ADE∽Rt△

1 1 (??, ? ] ? [ , ??) 3 2

②当 k≠0 时,由函数 y 的定义域为 R 可知, ABD 不等式 对一切实数 x 均成立, ,

DB

? 4 10 ? 7. ? , ? 8. x | 2 ? x ? 4 ?3 3 ?

?

?

9. ?1 , 5? .10. 13. ? ?4, 0? .14.
15.{x|- 3 <x<- 练 1. ( 1 )定义域为

11.选 A12.[ 2 ,4]

因此一定有 解得 0<k≤1,∴0≤k≤1.



2 2 或 <x< 3 }.巩固训 2 2

点拨:此题是已知函数 y 的定义域,据此逆向求 解函数中参数 k 的取值,需要将问题准确转化成 不等式问题. 例 6、半径为 R 的圆内接等腰梯形 ABCD,它的下 底 AB 是⊙O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,写 出这个梯形周长 y 和腰长 x 的函数关系式,并写 出它的定义域. 为 解: 如图所示,AB=2R,CD 在⊙O 在半圆周上.

( 2 )定义域为

2.

3.5/3



x



2.4.







a?0 ? 1 2? ? 1 ?0?a?2 , ? .5. 等价于? ? ? a 2 ? 4a ? ? 0 3 3? ? a ?

一、选择题

4、已知函数 的定义域是( ) 函数 __________.

的定义域为[-1,2],那么 7、解答下列各题: 的定义域是 (1)已知 的定义域为[0,1],求 及

1、函数 A.[-2,2] 2)∪(2,+∞)

B.{-2,2} C.(-∞,- D.(-2,2) 5、若函数 的定义域为 R,则

的定义域.

2、若函数 数

的定义域为[-1,2],则函

实数 m 的取值范围是__________.

的定义域是( ) 三、解答题

A.

B.[-1,2]

6、求下列函数的定义域:

(2) 设 的定义域.

的定义域是[-2, 3) , 求

C.[-1,5]

D. ① ② 8、已知函数 的定义域为[-1,1],求

3、已知函数

的定义域为 A, (a>0)的定义域. 的定义域为 B, 若 = . 则 ③y=lg(ax-2·3x)(a>0 且 a≠1) B.(-2,4) D.[-1,3] 9、设 f(x)=lg ,如果当 x∈(-∞,

实数 m 的取值范围是( ) A.(-3,-1) C.[-2,4] 二、填空题

1]时 f(x)有意义,求实数 a 的取值范围.

3、由 x2-2x-8≥0 得 A={x|x≥4 或 x≤-2}. 由 1-|x-m|>0 得,B={x|m-1<x<1+m}, ② .





③ ∵ax-2·3x>0,∴(

)x>2.

当 a>3 时,此函数的定义域为(log 2,+∞);

二.4.

解析:由 当 0<a<3 且 a≠1 时, 函数定义域为(-∞, log 2). 得 ≤x≤1. 当 a=3 时,函数无意义.

5.

7.解:(1)设 1.

的定义域为[0,1],∴0≤t≤

解析:当 m=0, 当 m≠0,由

,定义域为 R,

当 t=x2, 可得 0≤x2≤1, ∴-1≤x≤1, ∴ 的定义域为[-1,1].

的定义域为 R 知抛物线 y=mx2+

4mx+3 与 x 轴无交点,即Δ =16m2-12m<0,解得

答案:一.1.B 2.C 3.D
.综上可知 m∈ 提示: ∴ 6.解:① 1、 得 x2=4,x=±2. . .

同理,由





的定义域是



(2)∵

的定义域是[-2,3),

9.解:由题设可知,不等式 1+2x+4x·a>0 在 x ∈(-∞,1]上恒成立,

∴-2≤x<3 域是[-3,2).

-3≤x-1<2,即

的定义 即( )2x+( )x+a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立.



,∴函数

设 t=(

)x,则 t≥

,又设 g(t)=t2+t+a,其

的定义域为



对称轴为 t=-

.

8.解: 须使



都有意义.

使

有意义则

只需 g(

)=(

)2+

+a>0,得 a>-



;使

有意义则

. 所以 a 的取值范围是 a>- .



时,



的定义域为





时,



的定义域为

.


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