【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第2讲 空间几何体的表面积与体积(含解析)新人教A版


第 2 讲 空间几何体的表面积与体积
一、选择题 1.棱长为 2 的正四面体的表面积是( A. 3 B.4 ). C.4 3 D.16

1 3 解析 每个面的面积为: ×2×2× = 3.∴正四面体的表面积为:4 3. 2 2 答案 C 2.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 ( A.2 倍 解析 B.2 2倍 C. 2倍 ).

3 D. 2倍

4 3 由题意知球的半径扩大到原来的 2倍,则体积 V= π R ,知体积扩大到原来的 3

2 2倍. 答案 B 3.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位:cm2)为 ( ).

A.48

B.64

C.80

D.120

解析 据三视图知, 该几何体是一个正四棱锥(底面 边长为 8),直观图如图,PE 为侧面△PAB 的边 AB 上的高, 且 PE=5.∴此几何体的侧面积是 S=4S△PAB 1 =4× ×8×5=80(cm2). 2 答案 C 4. 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 ( A. 2 6 B. 3 6 C. 2 3 D. 2 2 ).

解析 在直角三角形 ASC 中,AC=1,∠SAC=90° ,SC=2,∴SA= 4-1= 3;同理
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SB= 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点,连接 DB,因△SAC≌△SBC,故 BD⊥SC, 1 3 故 SC⊥平面 ABD,且平面 ABD 为等腰三角形,因∠ASC=30° ,故 AD= SA= ,则 2 2 1 △ABD 的面积为 ×1× 2 = 1?2 AD2-? ?2?

2 1 2 2 ,则三棱锥的体积为 × ×2= . 4 3 4 6

答案 A 5.某品牌香水瓶的三视图如下(单位:cm),则该几何体的表面积为 ( ).

π? 2 A.? ?95-2?cm π? 2 C.? ?94+2?cm

π? 2 B.? ?94-2?cm π? 2 D.? ?95+2?cm

解析 该几何体的上下为长方体,中间为圆柱. 1 S 表面积=S 下长方体+S 上长方体+S 圆柱侧-2S 圆柱底=2×4×4+4×4×2+2×3×3+4×3×1+2π× 2 1?2 π ×1-2×π? ?2? =94+2. 答案 C 6.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱 锥 S-ABC 的体积为( A.3 3 ). B.2 3 C. 3 D.1

解析 由题可知 AB 一定在与直径 SC 垂直的小圆面上,作过 AB 的小圆交直径 SC 于 D, 设 SD=x,则 DC=4-x,此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD 和 C-ABD,在△SAD 和

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△SBD 中, 由已知条件可得 AD=BD=

3 x, 又因为 SC 为直径, 所以∠SBC=∠SAC=90°, 3 3 x= 3(4-x),所以 3

所以∠DCB=∠DCA=60°,在△BDC 中 ,BD= 3(4-x),所以 1 3

x=3,AD=BD= 3,所以三角形 ABD 为正三角形,所以 V= S△ABD×4= 3.
答案 C 二、填空题 7.已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC= 2, 则球 O 的表面积等于________. 解析 将三棱锥 S-ABC 补形成以 SA、AB、BC 为棱的长方体,其对角线 SC 为球 O 的 直径,所以 2R=SC=2,R=1,∴表面积为 4πR2=4π. 答案 4π 8.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正 三角形组成,则该多面体的体积是________.

解析 由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为 1,侧棱长为 1,斜高为 和底面中心即为高,可求得高为 答案 2 6 2 1 2 2 ,所以体积 V= ×1×1× = . 2 3 2 6

3 ,连接顶点 2

9.已知某几何体的直观图及三视图如图所示,三视图的轮廓 均为正方形,则该几何体的表面积为________.

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解析 借助常见的正方体模型解决.由三视图知,该 几何体由正方体沿面 AB1D1 与面 CB1D1 截去两个角所 得,其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一 个正方形组成.计算得其表面积为 12+4 3. 答案 12+4 3 10.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 6,则 以正方体 ABCD-A1B1C1D1 的中心为顶点,以平面 AB1D1 截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面 积为________. 解析 设 O 为正方体外接球的球心,则 O 也是正方体 1 的中心,O 到平面 AB1D1 的距离是体对角线长的 ,即 6 为 3.又球的半径是正方体对角线长的一半, 即为 3 3, 由勾股定理可知,截面圆的半径为 ?3 3?2-? 3?2 = 2 6,圆锥底面面积为 S1=π·(2 6)2=24π,圆锥的母线即为球的半径 3 3,圆锥的侧面 积为 S2=π×2 6×3 3=18 2π.因此圆锥的全面积为 S=S2+S1=18 2π+24π=(18 2+ 24)π. 答案 (18 2+24)π

三、解答题 11 .一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为 1 的平行四边形,左视图是一个 长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的 矩形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S. 解 (1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如 底面是边长为 1 的正方形,高为 3, 所以 V=1×1× 3= 3. (2)由三视图可知,该平行六面体中, A1D⊥平面 ABCD,CD⊥平面 BCC1B1, 所以 AA1=2,侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形, S=2×(1×1+1× 3+1×2)=6+2 3. 12.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ACB= 90° ,AC=6,BC=CC1= 2,P 是 BC1 上一动点,如图所示, 图),其

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求 CP+PA1 的最小值. 解 PA1 在平面 A1BC1 内, PC 在平面 BCC1 内, 将其铺平后转化为平面上的问题解决. 铺 平平面 A1BC1、平面 BCC1,如图所示.计算 A1B=AB1= 40,BC1=2,又 A1C1=6,故 △A1BC1 是∠A1C1B=90° 的直角三角形.

CP+PA1≥A1C.在△AC1C 中,由余弦定理,得 A1C= 62+? 2?2-2· 6· 2· cos 135° = 50=5 2, 故(CP+PA1)min=5 2. 13.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示,墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH, 下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 2、图 3 分别是该标识墩的主视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的左视图; (2)求该安全标识墩的体积. 解 (1)左视图同主视图,如图所示: (2)该安全标识墩的体积为

V=VPEFGH+VABCDEFGH
1 2 2 = ×40 ×60+40 ×20 3 =64 000(cm ). 14.如图(a),在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D-ABC,如图(b)所示.
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(1)求证:BC⊥平面 ACD;
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(2)求几何体 D-ABC 的体积. (1)证明 在图中,可得 AC=BC=2 2, 从而 AC2+BC2=AB2, 故 AC⊥BC, 又平面 ADC⊥平面 ABC, 平面 ADC∩平面 ABC=AC, BC?平面 ABC, ∴BC⊥平面 ACD. (2)解 由(1)可知,BC 为三棱锥 B-ACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2,

1 1 4 2 ∴VB-ACD= S△ACD· BC= ×2×2 2= , 3 3 3 4 2 由等体积性可知,几何体 D-ABC 的体积为 . 3

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